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Kreispackungen, Konvergenz und Riemann-Abbildung

Der Riemannsche Abbildungssatz sagt, daß man jedes einfach zusammenhängende Gebiet konform auf die Kreisscheibe abbilden kann, wie im Bild unten. (‘Konform’ heißt, daß man zwar Abstände ändern darf, Winkel aber gleich bleiben. Zum Beispiel sind Streckungen oder Stauchungen konform.)

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http://www.math.utk.edu/~kens/TC/TC-figures.html

Ein Beispiel zeigt das Bild unten: man kann jeden Kreis im linken Gebiet konform (nämlich durch eine Streckung oder Stauchung) auf den entsprechenden Kreis im rechten Gebiet abbilden, ebenso kann man die (krummlinigen) Dreiecke zwischen den Kreisen jeweils konform auf die entsprechenden Dreiecke im rechten Gebiet abbilden. (Bleibt noch die Frage, was man mit den verbleibenden Flächen am Rand macht…)

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Letzte Woche hatten wir darüber geschrieben, daß der Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes auf der Lösbarkeit einer bestimmten Differentialgleichung aufbaut. (Das ist der Ansatz, der 1851 von Riemann skizziert und 1907 von Koebe und Poincaré bewiesen wurde.)

Thurston hatte 1985 in einem Vortrag vermutet, daß man Kreispackungen wie im Bild oben für einen anschaulicheren Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes benutzen könne.

Es ist nämlich bekannt1, daß man zu jeder Kreispackung irgendeines ebenen Gebietes (Bild links) eine “kombinatorisch äquivalente” Kreispackung der Einheitskreisscheibe (Bild rechts) finden kann. (“Kombinatorisch äquivalent” heißt, daß Kreise im Bild rechts sich dann und nur dann berühren, wenn sich die entsprechenden Kreise im Bild links berühren.)

Um die Riemann-Abbildung (näherungsweise) zu konstruieren, füllt man das Gebiet mit immer feineren Kreispackungen aus. Zu jeder der Kreispackungen hat man eine “kombinatorisch äquivalente” Kreispackung der Einheitskreisscheibe und damit, wie oben beschrieben, eine konforme Abbildung zwischen dem Gebiet und der Einheitskreisscheibe (zumindest zwischen den Teilen, die von den beiden Kreispackungen ausgefüllt werden). Thurston vermutete: wenn man die Kreispackungen immer feiner wählt, dann konvergieren die entsprechenden konformen Abbildungen gegen die Riemann-Abbildung (d.h. eine konforme Abbildung des gesamten Gebiets auf die gesamte Einheitskreisscheibe). Thurston gab auch einen expliziten Algorithmus an, mit dem man die Riemann-Abbildung dann auf dem Computer berechnen könnte.

Bewiesen wurde das kurz darauf in einer 1987 veröffentlichten Arbeit von Rodin und Sullivan, allerdings benutzt ihr Konvergenzbeweis indirekt Folgerungen aus dem Riemannschen Abbildungssatz.

He und Schramm(On the Convergence of Circle Packings to the Riemann Map) gaben dann 1996 einen elementaren Beweis für Konvergenz, der insbesondere den Riemannschen Abbldungssatz nicht benutzt. Damit hat man dann auch einen elementaren geometrischen Beweis (ohne Differentialgleichungen) für den Riemannschen Abbildungssatz.

(Aus der Arbeit von He und Schramm stammt auch das zweite Bild oben. Schramm ist letztes Jahr beim Bergsteigen tödlich verunglückt, eine Würdigung seiner Arbeiten findet man z.B. hier.)

Ich erinnere mich dunkel, in den 90er Jahren mal einen populärwissenschaftlichen Artikel gelesen zu haben, in dem dieser Kreispackungs-Ansatz für die Riemann-Abbildung auf Fragen der Hydrodynamik angewandt wurde. Ich erinnere mich aber nicht mehr an die Einzelheiten und finde den Artkel jetzt auch nicht mehr.
Beispiele zu potentiellen Anwendungen konformer Abbildungen in der Hirnforschung findet man in diesem Artikel von Ken Stephenson. Die ersten beiden Bilder oben sind ebenfalls von Stephensons Webseite.

1Zu einer Kreispackung schaut man sich den “dualen Graphen” an: Ecken des Graphen sind die Mittelpunkte der Kreise, zwei Ecken sind durch eine Kante verbunden, wenn die Kreise sich berühren. Zwei Kreispackungen sind “kombinatorischer äquialent”, wenn sie denselben dualen Graphen haben.
Nach einem Satz von Andreev kann man zu jedem ebenen Graphen G eine Kreispackung
der Einheitskreisscheibe konstruieren, deren dualer Graph gleich G ist. Insbesondere gilt dies für den dualen Graphen der Kreispackung im Bild links oder den dualen Graphen jeder anderen Kreispackung irendeines Gebiets, der sich dann nach dem Satz von Andreev also dann auch als dualer Graph einer Kreispackung der Einheitskreisscheibe ergibt.

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Kommentare (4)

  1. #1 JörgR
    5. Juni 2009

    Hydrodynamik klingt ja nach Turbulenzen bei diesem Thema, jedenfalls würde ich da etwas mit Ähnlichkeitsabbildungen erwarten.
    Hier ist so etwas:
    http://www.stormingmedia.us/96/9649/A964922.html

  2. #2 JörgR
    5. Juni 2009

    Hydrodynamik klingt ja nach Turbulenzen bei diesem Thema, jedenfalls würde ich da etwas mit Ähnlichkeitsabbildungen erwarten.
    Hier ist so etwas:
    http://www.stormingmedia.us/96/9649/A964922.html

  3. #3 JörgR
    5. Juni 2009

    Hydrodynamik klingt ja nach Turbulenzen bei diesem Thema, jedenfalls würde ich da etwas mit Ähnlichkeitsabbildungen erwarten.
    Hier ist so etwas:
    http://www.stormingmedia.us/96/9649/A964922.html

  4. #4 Thilo Kuessner
    5. Juni 2009

    Ja, das hat (dem Abstrakt nach) eindeutig mit Kreispackungen und konformen Abbildungen zu tun. (Und einer der Autoren ist Burt Rodin vom erwähnten Rodin-Sullivan-Beweis.) Schade, daß die Arbeit nicht online abrufbar ist.