Auch wenn ich Schleichwerbung für die Uni Münster sonst eigentlich vermeide, möchte ich doch kurz berichten, daß diese Woche in Münster eine große Geometrie-Topologie-Konferenz, wohl die weltweit größte in diesem Jahr, stattgefunden hat.

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Hier das Programm.
Mir ist klar, daß das jetzt nur für Hardcore-Mathematiker von Interesse ist (und vielleicht nicht einmal für die), aber jedenfalls will ich hier (eher als Erinnerungshilfe für mich selbst) ein paar Ergebnisse aus einigen der Vorträge festhalten. (Die meisten Vorträge lassen sich natürlich nicht in wenigen Worten zusammenfassen. Insofern ist das jetzt eine sehr willkürliche Auswahl von Punkten, die sich recht griffig formulieren lassen.)

Der Höhepunkt der Tagung waren natürlich 3 Vorträge von Hopkins zum kürzlich angekündigten Beweis der Kervaire-Vermutung. Dazu werde ich irgendwann später noch mal einen Artikel schreiben (evtl. auch in der Topologie von Flächen-Reihe), deshalb hier erst mal keine Einzelheiten.

Lott hielt einen Vortrag über “Locally collapsible 3-manifolds”, es ging um den berüchtigten Satz 7.4. aus Perelmans Beweis der Thurston-Vermutung, dessen Beweis bei Perelman nur angedeutet wurde, zu dem es inzwischen aber Beweise von Shioya-Yamaguchi, Bessieres-Besson-Boileau-Maillot-Porti, Morgan-Tian und Kleiner-Lott gibt. (Auf Nachfrage versicherte er übrigens, daß inzwischen nicht nur der Beweis der Poincare-Vermutung, sondern auch der Beweis der Thurston-Vermutung als geprüft und gesichert gilt. Darüber hatte es vor einigen Jahren noch heftige Diskussionen gegeben.)

Während Perelmans Arbeit bekanntlich den Ricci-Fluß benutzt, ging es bei Colding um den Mittlere Krümmungs-Fluß, d.h. den Fluß einer Fläche im Raum, wobei der Geschwindigkeitsvektor des Flußes in einem Punkt jeweils durch das negative der mittleren Krümmung gegeben. Die Ergebnisse von Colding-Minicozzi geben starke Einschränkungen bzgl. der möglichen Singularitäten dieses Flußes.

Madsen besprach eine Vermutung von Akita über charakteristische Klassen von Abbildungsklassengruppen Γg von Flächen, genauer über den Zusammenhang von Morita-Miller-Mumford-Klassen mit den Chern-Klassen der Darstellung Γg–>Sp(2g)–>U(g)

Stolz erklärte, wie man für Morphismen zwischen Kategorien eine Spur definieren kann. (Vorausgesetzt wird dabei, daß die Objekte “dualisierbar” sind, d.h. daß es jeweils ein duales Objekt sowie eine Evaluations- und Koevaluations-Abbildung gibt. Für Vektorräume trifft dies nur dann zu, wenn sie endich-dimensional sind, hier bekommt man also nichts neues. Man kann die Konstruktion aber auf die Bordismenkategorie anwenden. Als Spur eines Bordismus Σ zwischen zwei Kopien derselben Mannigfaltigkeit Y bekommt man dann Σ/~, wobei die beiden Kopien von Y identifiziert werden.)

Eliashberg erklärte seine Berechnung (gemeinsam mit Bourgeois, Ekholm) der Kontakt-Homologie und symplektischen Homologie von Stein-Mannigfaltigkeiten. (Die Ergebnisse lassen sich nicht so kurz zusammenfassen.)

Stern präsentierte einige Teilergebnisse (mit Fintushel) zu der Vermutung, daß jede glatte 4-Mannigfaltigkeit unendlich viele verschiedene glatte Strukturen hat.

Bartels sprach über den Beweis der K- bzw. L-theoretischen Farrell-Jones-Vermutung (mit Lück, Reich) für hyperbolische und (mit Einschränkungen) für CAT(0)-Gruppen. Das ist (unter anderem) ein wesentlicher Schritt zur Klassifikation von Mannigfaltigkeiten (der Dimension > 4) mit den entsprechenden Gruppen als Fundamentalgruppe und beweist zum Beispiel die Borel-Vermutung für diese Mannigfaltigkeiten.

In Bridsons Vortrag ging es um Wirkungen von Abbildungsklassengruppen Mod(Σg) auf CAT(0)-Räumen X (als Gruppen nicht-parabolischer Isometrien). Zum Beispiel beweist er, daß es immer einen Fixpunkt gibt, wenn g>dim(X) (und g>2, für g=2 gibt es ein Gegenbeispiel).

In Vogtmanns Vortrag ging es um Wirkungen von Aut(Fn) (die Automorphismengruppe der freien Gruppe) auf dem Rk. Für n>k wurde bewiesen (Bridson-Vogtmann), daß solche Wirkungen entweder trivial sind oder über Z/2Z faktorisieren.

Mit tiefliegenden algebraischen (K-theoretischen) Methoden berechnete Hesselholt die Abbildungsklassengruppe von negativ gekrümmten Mannigfaltigkeiten der Dimension >10.

Und im Vortrag von Gabai ging es schließlich um den Raum der minimalen, füllenden Laminierungen auf einer Fläche (mit der Hausdorff-Topologie) und es gab anschauliche Erklärungen zu seinem Beweis, daß dieser (für geschlossene hyperbolische Flächen) weg-zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist.

Wie gesagt, nur eine willkürliche, subjektive Zusammenstellung von ein paar Ergebnissen, die ich ganz interessant fand. Es soll übrigens auch noch einen Bericht im WDR geben.

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Hopkins, Pedersen und ein WDR-Kameramann

Kommentare (5)

  1. #1 Georg Hoffmann
    6. Juni 2009

    Thilo
    genau wie damals in der Uni. Wenn’s wirklich schwierig wird, schreibt der Prof immer kleiner und schneller. Das erklaert die Fonts, oder? Georg

  2. #2 Thilo Kuessner
    6. Juni 2009

    Kleinere Schrift zwingt zu höherer Konzentration …

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    10. Juni 2010

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