Das Ziegenproblem ist neben der Relativitätstheorie der überzeugendste Triumph der Mathematik über den gesunden Menschenverstand.

Schon die klassische Version (ein Auto und zwei Ziegen werden auf drei Tore verteilt, der Kandidat wählt ein Tor aus, das aber vorerst verschlossen bleibt – hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, öffnet der Moderator eines der beiden anderen Tore – hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann öffnet der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore, hinter dem die zweite Ziege steht – der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere ungeöffnete Tor zu wählen) hatte zu zahlreichen Diskussionen geführt.

(Der Spieler sollte das Tor wechseln – seine Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt dann 2/3.)

Eie neue Version schlägt nun A. Landsberg im Mathematical Intelligencer vor:

hinter den 3 Türen befinden sich ein Auto, der dazugehörige Schlüssel und eine Ziege. Statt eines Spielers spielt ein Paar, das Auto gewinnen sie nur, wenn der erste Spieler das Auto und der zweite den Schlüssel findet.

Beide spielen nacheinander, bei derselben Konstellation, aber ohne daß der zweite Spieler über die Ergebnisse des ersten Spielers informiert wird. Trotzdem gibt es eine Strategie, mit der die beiden eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 (statt nur 4/9=(2/3)2) erreichen. Welche?

Nachtrag (13:10 Uhr): die genauen Regeln bei Landsberg sind folgende:
– der erste Spieler hat zwei Versuche, das Auto zu finden,
– der zweite Spieler hat zwei Versuche, den Schlüssel zu finden,
– sie sprechen sich vor dem Spiel ab, der 2. Spieler kennt aber nicht die Ergebnisse des 1. Spielers
– man soll eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 erreichen.

Bitte nicht verwirren lassen von den Kommentaren, dort hatte ich zunächst ein anderes Spiel erklärt 🙂 Sorry, mein Holländisch ist nicht so gut.
(Ende Nachtrag)

2. Nachtrag: Dank Henning haben wir jetzt auch den Originaltext der Aufgabe.

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http://de.wikipedia.org/wiki/Kaschmirziege

via Wiskundemeisjes

Kommentare (73)

  1. #1 Kümmel
    15. Juli 2009

    Spieler 1 weiß genau, dass er das Auto braucht und Spieler 2 weiß, dass er den Schlüssel braucht? Es kommt nicht darauf an, ob Spieler 1 am Ende Auto oder Schlüssel hat und Spieler 2 das jeweils andere braucht?

  2. #2 Kümmel
    15. Juli 2009

    Spieler 1 weiß genau, dass er das Auto braucht und Spieler 2 weiß, dass er den Schlüssel braucht? Es kommt nicht darauf an, ob Spieler 1 am Ende Auto oder Schlüssel hat und Spieler 2 das jeweils andere braucht?

  3. #3 Kümmel
    15. Juli 2009

    @Sentient6:
    An sowas habe ich auch schon gedacht: Aber das Problem ist: Wenn beide Spiele anfangs auf dem Schlüsseltor sind bekommt Spieler 1 die Ziege und Spiele 2 entweder die Ziege oder das Auto gezeigt. Spieler 2 bekommt aber nicht zwangsläufig das Auto gezeigt, da hat der Moderator freie Wahl. Und wenn beide anfangs auf dem Ziegentor sind bekommen sie zwar den Gewinngegenstand des anderen Spielers gezeigt und würden bei klassischer Einzelstrategie ihren Gegenstand gewinnen, würde Spieler 2 aber aus dem gezeigten Auto interpretieren, dass er bleiben müsste, würde er in diesem Fall verlieren.

  4. #4 Kümmel
    15. Juli 2009

    @Sentient6:
    An sowas habe ich auch schon gedacht: Aber das Problem ist: Wenn beide Spiele anfangs auf dem Schlüsseltor sind bekommt Spieler 1 die Ziege und Spiele 2 entweder die Ziege oder das Auto gezeigt. Spieler 2 bekommt aber nicht zwangsläufig das Auto gezeigt, da hat der Moderator freie Wahl. Und wenn beide anfangs auf dem Ziegentor sind bekommen sie zwar den Gewinngegenstand des anderen Spielers gezeigt und würden bei klassischer Einzelstrategie ihren Gegenstand gewinnen, würde Spieler 2 aber aus dem gezeigten Auto interpretieren, dass er bleiben müsste, würde er in diesem Fall verlieren.

  5. #5 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    Jeder waehlt frei eine Tuer bevor sie wirklich spielen. Sie teilen einander die Wahl mit. Es gibt zwei Moeglichkeiten.
    1) Sie haben die gleiche gewaehlt. Dann von vorne anfangen.
    2) Sie haben verschiedene gewaehlt. Der Mann laesst der Dame den vortritt (die bei ihrer usprunglichen Wahl bleibt). Er waehlt die andere verbleibende Tuer.

  6. #6 Henning
    15. Juli 2009

    Es gibt ja nur eine Ziege… Öffnet der Spielleiter generell für beide Spieler eine Tür?
    Wenn ja: Öffnet er – falls Auto oder Schlüssel gewählt wurden definitiv das Tor mit der Ziege oder definitiv das Tor mit der anderen Hälfte des Gewinns – oder ein beliebiges Tor (50:50)?
    Oder haben die Kanditaten nur eine Wahl – und das war’s dann?
    Ich hab’s jednfalls nicht abschließend verstanden.

  7. #7 Thilo Kuessner
    15. Juli 2009

    @ Henning: der eine Spieler muß das Auto finden, der andere den Schlüssel. Aus der Sicht des Spielers, der das Auto finden muß, sind Schlüssel und Ziege gleich schlecht; es macht also keinen Unterschied, ob der Spielleiter die Tür mit der Ziege oder die mit dem Schlüssel öffnet. Entsprechend für den anderen Spieler.

    Die beiden Spieler spielen völlig unabhängig, auch die Türöffnung durch den Spielleiter ist unabhängig.

    Und – es gibt nur einen Versuch, man soll die Gewinnwahrscheinlichkeit maximieren.

  8. #8 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    Ich komme aber auf ganz andere Gewinnwahrscheinlichkeiten. Nehmen wir an die Spieler koordinieren sich nicht wie ich das gesagt habe. Dann hat Spieler 1 eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 den Wagen zu erwischen und Spieler zwei ebenfalls 1/3 den Schluessel zu erwischen. Macht 1/3*1/3=1/9.
    Bei Absprache (dh Spieler zwei aendert seine Wahl, nachdem ihm eins gesagt hat was er waehlen wird) hat man 1/3*1/2=1/6
    Aeh…

  9. #9 Thilo Kuessner
    15. Juli 2009

    Wenn die Spieler sich nicht koordinieren, handelt es sich um zwei getrennte Spiele des klassischen Ziegenproblems, und da ist die Gewinnwahrscheinlichkeit 2/3, wenn man die Tür wechselt.
    (Wie gesagt, aus der Perspektive z.B. des 1. Spielers sind Ziege und Schlüssel gleich falsch, es gibt für ihn einzeln betrachtet also keinen Unterschied zu dem klassischen Spiel mit 1 Auto und 2 Ziegen.)

  10. #10 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    Wenn sie nicht koordiniert sind und sie ja auch keinerlei Informationen vom Spielleiter erhalten hat jeder eine Chance von 1/3 das Richtige zu erwischen. Richtig?
    Und sie nur gewinnen, wenn beide richtig liegen ist die Wahrscheinlichkeit multiplikativ=1/9
    Tatsaechlich finde ich die Relativitaetstheorie trivial gegen diese Ziegenproblem.

  11. #11 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    Hier alle Kombinationsmoeglichkeiten mit A=Auto S=Schluessel undZ=Ziege.
    A/S=Gewinn
    A/Z, S/Z, S/A, Z/A, Z/S =Verlust
    Macht eine Chance von 1/6 nicht-koordiniert.
    Ok. Habe Mist erzaehlt, ist nicht multiplikativ.

  12. #12 Thilo Kuessner
    15. Juli 2009

    Sie erhalten schon (getrennt) eine Information vom Spielleiter, genau so wie bei der klassischen Version: der 1. Spieler zeigt auf eine Tür, danach öffnet der Spielleiter eine andere Tür (und zwar eine, hinter der sich das Auto nicht befindet) und danach kann sich der Spieler entscheiden, ob er bei seiner Wahl bleibt oder die andere ungeöffnete Tür nimmt. Wenn er die andere Tür nimmt, beträgt seine Gewinnwahrscheinlichkeit paradoxerweise nicht 1/2 sondern 2/3.
    Entsprechend für den 2. Spieler, der den Schlüssel finden muß (und die Ergebnisse des 1. Spielers nicht kennt).
    Bei unkoordiniertem Spiel wäre die Wahrscheinlichkeit also 2/3*2/3=4/9.
    Es soll aber eine Möglichkeit mit Wahrscheinlichkeit 2/3 geben.

  13. #13 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    Arrg

  14. #14 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    Ok noch eine Frage, der Leiter zeigt dem Spieler 1 die (Ziege) oder (Ziege oder Schluessel)
    welche ja beides Verluste fuer ihn waeren.

  15. #15 Thilo Kuessner
    15. Juli 2009

    Das ist egal, es macht für Spieler 1 keinen Unterschied und Spieler 2 erfährt das Ergebnis sowieso nicht.

  16. #16 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    Und beide koennten auch die gleiche Tuer waehlen und dann natuerlich verlieren?

  17. #17 Thilo Kuessner
    15. Juli 2009

    Erlaubt ist es, ja.

  18. #18 Sentient6
    15. Juli 2009

    Ok mal überlegen…

    Es gibt die Szenarien (S= Schlüßel, A=Auto, Z=Ziege):

    S-A-Z
    S-Z-A

    Z-A-S
    Z-S-A

    A-S-Z
    A-Z-S

    Spieler 1 wählt Tor 1 und wechselt, das heißt er gewinnt in Szenario 1-4.

    Spieler 2 wählt ebenfalls Tor 1 und weiß, dass Spieler 1 das Gleiche gemacht hat. Wenn er jetzt eine Ziege vorgezeigt bekommt, weiß er zumindest, er muss bleiben. Denn dann hat er bei Szenario 1 zu 100% gewonnen. Wenn er ein Auto gezeigt bekommt hätte er in Szenario 1 bei einem Wechsel verloren und bei Szenario 2 gewonnen. Allerdings ist die Wahrscheinlichkeit höher, dass er sich bei einem vorgezeigten Auto in Szenario 2 befindet, da das dort die einzige Option ist, während es in Szenario 1 noch die Ziege gibt. Also sollte er wechseln.

    Szenario 3 kann vernachlässigt werden, da die beiden da sowieso verloren haben. Es muss ein weg gefunden werden in dem Spieler 2 auf jeden Fall gewinnt, wenn Spieler 1 gewonnen hat.

    Es gibt die Fälle:

    Spieler 1 ist in Szenario 1 und bekommt eine Ziege gezeigt -> gewonnen
    Spieler 1 ist in Szenraio 1 und bekommt das Auto gezeigt -> verloren
    Spieler 1 ist in Szenraio 2 und bekommt das Auto gezeigt -> gewonnen

    Wie kriege och jetzt Fall 2 ausgemerzt? Oder bin ich in einer Sackgasse?

  19. #19 Kümmel
    15. Juli 2009

    Spieler 1 weiß genau, dass er das Auto braucht und Spieler 2 weiß, dass er den Schlüssel braucht? Es kommt nicht darauf an, ob Spieler 1 am Ende Auto oder Schlüssel hat und Spieler 2 das jeweils andere braucht?

  20. #20 Thilo Kuessner
    15. Juli 2009

    @ Kümmel: Spieler 1 muß das Auto finden und Spieler 2 den Schlüssel. Andersrum gilt nicht.

  21. #21 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    Das ist die Information die die Spieler untereinander austauschen: Spieler 1 spielt Tuer 1, wechselt wenn der Leiter ihm 3 zeigt und bleibt da wo er ist wenn er 2 gezeigt bekommt. Spieler 2 spielt Tuer 3 und wechselt wenn ihm Tuer 1 gezeigt wird. Sonst bleibt er wo er ist.
    So bekommt jeder ein halbes Ziegenproblem.

  22. #22 Kümmel
    15. Juli 2009

    @Sentient6:
    An sowas habe ich auch schon gedacht: Aber das Problem ist: Wenn beide Spiele anfangs auf dem Schlüsseltor sind bekommt Spieler 1 die Ziege und Spiele 2 entweder die Ziege oder das Auto gezeigt. Spieler 2 bekommt aber nicht zwangsläufig das Auto gezeigt, da hat der Moderator freie Wahl. Und wenn beide anfangs auf dem Ziegentor sind bekommen sie zwar den Gewinngegenstand des anderen Spielers gezeigt und würden bei klassischer Einzelstrategie ihren Gegenstand gewinnen, würde Spieler 2 aber aus dem gezeigten Auto interpretieren, dass er bleiben müsste, würde er in diesem Fall verlieren.

  23. #23 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    Mal schaun, ob meine geratene Strategie in den Szenarien von Entient6 was bringt. Die Idee war, zu vermeiden, dass beide auf die gleiche Tuer zeigen.
    Szenario 1: Spieler 1 wechselt (ihm wird 3 gezeigt) auf 2. Aber Spieler 2 bleibt wo er ist (ihm wird 2 gezeigt) Ergebnis: Verloren
    Szenario 2: Spieler 1 bleibt wo er ist (ihm wurde 2 gezeigt): Ergebnis: Verloren
    Szenario 3: Spieler 1 wechselt zu 2 (da ihm 3 gezeigt wird) Spieler 2 wechselt zu Tuer 2 wenn ihm die Zeige auf 1 gezeigt wird : Ergebnis Verloren
    Hier kann mann schon aufhoeren. Wir sind schon bei mehr als 1/3 Verlusten angekommen.
    Puta mierde de cabra, que va, es un cabron.

  24. #24 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    @sentien6

    Spieler 1 ist in Szenraio 2 und bekommt das Auto gezeigt -> gewonnen

    Den Fall gibt’s ja nicht. Spieler 1 wird nie das Auto gezeigt.

  25. #25 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    @senitient6
    Deine Strategie geht doch. Oder spinn ich jetzt total. Spieler eins spielt das normale Ziegenproblem (p=2/3) und Spieler 2 bleibt, wenn ihm eine Ziege gezeigt wird, und er wechselt wenn ihm das Auto gezeigt wird. Er gewinnt immer.

  26. #26 Sentient6
    15. Juli 2009

    Oh sorry.. Ich hätte statt Spieler 1 in den Fällen Spieler 2 sagen müssen:

    Problem ist, wir haben wenn Spieler 1 gewinnt folgende Situationen übrig:

    S-A-Z
    S-Z-A

    Z-A-S
    Z-S-A

    In den ersten beiden kann Spieler 2 (!) Auto oder Ziege gezeigt bekommen, wenn er auf 1 steht. In drei und vier bekommt er sicher das Auto gezeigt (Er braucht ja die Schlüssel). Also weiß er, dass er bei der Ziege sicher bleiben muss. Aber es kann auch sein, dass er auf dem Schlüsselfeld steht und das Auto gezeigt bekommt. Wenn er nun wechselt, hat er verloren. Das ist aber die einzige Möglichkeit. Wenn er sich in Möglichkeit drei oder vier befindet kann er nur das Auto gezeigt bekommen, weil er ja auf dem Ziegenfeld steht. Dann muss er wechseln.

  27. #27 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    Ich seh schon lauter kleine Ziegen.
    Der Clou ist man muss noch Gewinnmoeglichkeiten aus Scenario 5 und 6 herausquetschen. Wie mach man das? Wenn Spieler 1 die Ziege gezeigt wird, dann wechselt er. Wenn ihm der Schluessel gezeigt wird dann bleibt er.
    Also nochmal die gesamte Regel.

    1) Spieler 1 geht aus Tuer 1 und wechselt wenn ihm die Ziege gezeigt wird und er bleibt wenn ihm der Schluessel gezeigt wird
    2) Spieler 2 bleibt bei Tuer 1 wenn ihm das Auto gezeigt wird und wechselt bei der Ziege.

  28. #28 ckwon
    15. Juli 2009

    Ich bin mal auf die Auflösung gespannt, da das für mich ein großer Aha-Effekt wäre.

    Denn wenn cih es richtig sehe, kann Spieler 1 seine Chance auf das Auto nicht höher als 2/3 bringen. Das heißt also, dass in 1/3 der Fälle Spieler 1 schon mal nicht das Auto erwischt hat. Was also hieße, dass die Strategie beinhalten müsste, dass Spieler 2 in jedem Fall den Schlüssel erwischt, wenn Spieler 1 das Auto erwischt hat.

    Und so eine Strategie kann ich mir nicht vorstellen unter den oben geschriebenen Bedingungen.

  29. #29 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    Gehen wir mal alle Kombinationen durch. Beide fangen immer bei Tuer 1 an und wenden dann die Regel oben an.

    S-A-Z

    Spieler 1 kriegt die Ziege gezeigt, geht aufs Auto, Spieler 2 kriegt die Ziege gezeigt geht aufs Auto: verloren
    Spieler 1 kriegt die Ziege gezeigt, geht aufs Auto, Spieler 2 kriegt das Auto gezeigt, bleibt: gewonnen
    Gewinnt in der Haelfte der Faelle
    S-Z-A

    genau das Gleiche

    Z-A-S

    Spieler 1 kriegt den Schluessel gezeigt, bleibt und hat verloren
    Z-S-A

    genau das Gleiche

    A-S-Z

    Spieler 1 kriegt den Schluessel gezeigt, bleibt, Spieler 2 kriegt notgedrungen die Ziege gezeigt und wechselt: gewonnen
    A-Z-S
    Das Gleiche wie oben: gewonnen

    Macht
    1/6*1/2+1/6*1/2+1/6+1/6=1/2
    Nicht gut genug.

  30. #30 Sentient6
    15. Juli 2009

    Ich auch… Das hält mich grade von der Arbeit ab..

    Daran, dass man Möglichkeit 3 nutzen könnte dachte ich auch schon. Problem an deiner Regel 1 ist:

    – Steht Spieler 1 auf dem Schlüsselfeld wird ihm die Ziege gezeigt, er wechselt und gewinnt.

    – Steht Spieler 1 auf dem Ziegenfeld wird ihm der Schlüßel gezeigt, er bleibt und verliert.

    – Steht Spieler 1 auf dem Autofeld wird ihm entweder die Ziege oder der Schlüßel gezeigt. Er muss bleiben. Er gewinnt also in 50% der Fälle.

    Bei 6 Versuchen haben wir so drei Siege und drei Niederlagen. Also sinkt seine Gewinnwahrscheinlichkeit auf 1/2. Klappt also leider nicht. :S

  31. #31 Sentient6
    15. Juli 2009

    lol, anscheinend sind wir uns einig. 😉

  32. #32 h.pfueller
    15. Juli 2009

    Mit scheint die Aufgabe unvollständig übernommen zu sein. Im Unterschied zum originalen Ziegenproblem werden nämlich zwei Tore geöffnet. Landsberg schreibt so:
    The car-master has
    two tries to find the car (i.e., open any
    curtain; if the car isn’t there, then open
    another curtain). If the car-master
    succeeds in finding the car, all open
    curtains are reclosed, and the keymaster
    is brought back into the room.
    No communication whatsoever is permitted
    between the car-master and
    key-master at this point. The keymaster
    now has two tries to find the
    key (i.e., open any curtain; if the key
    isn’t there, open another curtain).

  33. #33 Chupacabra
    15. Juli 2009

    @Thilo: Kennst du die Lösung?

  34. #34 Jakob H.
    15. Juli 2009

    @Thilo: Ist die Quantenmechanik nicht ein noch größerer Triumph der Mathematik über den gesunden Menschenverstand?

  35. #35 Sim
    15. Juli 2009

    Ich würd sagen. Das Paar spricht sich vorher ab dass beide dieselbe Tür zu wählen. mit einer Ws. von 2/3 treffen sie dann beide eine Tür hinter der nicht die Ziege steht. Einer bleibt stehen, der andere wechselt.

  36. #36 Sentient6
    15. Juli 2009

    Man, ich komm keinen Tick weiter… @Thilo: Sind wir auf dem richtigen Weg?

    @Jakob H: Naja, die Quantenmechanik brucht vorwissen, das Ziegenproblem ist “alltagstauglicher”. Ich glaube, jemanden der nicht wirklich Ahnung von QM hat würde das eher beeindrucken…

  37. #37 Sentient6
    15. Juli 2009

    @Sim: Das würde nur funktionieren, wenn es egal ist, wer das Auto findet und wer die Schlüssel.. Die Reihenfolge ist aber nicht egal.

  38. #38 Sim
    15. Juli 2009

    @ Sentient6

    Oh sorry, ich war wohl zu vorschnell. Hab auch die Regeln mir einfach nur zurechtgereimt. (Nochmal aufmerksam lesen muss)

  39. #39 Thilo Kuessner
    15. Juli 2009

    @ Chupacabra: Ich hatte mir eine Lösung überlegt, von der ich glaube/hoffe, daß sie richtig ist. Formal nachgerechnet (mit dem Satz von Bayes?) habe ich sie aber nicht.

    @ h.pfueller: Ich hatte die Aufgabe von hier übernommen, Sie haben aber recht, daß es anders gemeint ist, als von mir beschrieben. Landsbergs Aufgabe ist: der erste Spieler darf 2 Türen öffnen ohne Hilfe des Spielleiters, der 2. Spieler ebenfalls, beide kommunizieren nur vor, nicht während
    des Spiels, die Wahrscheinlichkeit soll 2/3 betragen.

    Wie gesagt hatte ich mir zu der oben gestellten Aufgabe auch eine Lösung überlegt, hoffe also mal, daß diese Aufgabe AUCH richtig ist.
    Ich stelle mal meine Lösung zur Diskussion (zu der Aufgabe oben im Beitrag, also daß beide Spieler getrennt ein klassisches Ziegenproblem spielen):
    – der erste Spieler wechselt, nachdem er die Ziege oder den Schlüssel gezeigt bekommt, hat also Wahrscheinlichkeit 2/3
    – der zweite Spieler nimmt die erste Tür: wenn er die Ziege gezeigt bekommt, bleibt er bei seiner Wahl, wenn er das Auto gezeigt bekommt, wechselt er. Er verliert dann zwar, wenn das Auto auf der ersten Tür war, aber das ist dann egal, weil ja der erste Spieler dann auch schon nicht das Auto gefunden hatte.
    Wie gesagt, nur eine Idee, nachgerechnet habe ich es nicht.

    Zur anderen (der richtigen) Aufgabe gint es inzwischen auch schon eine Diskussion im Kommentarteil der Wiskundemeisjes.

  40. #40 Thilo Kuessner
    15. Juli 2009

    @ all: Also noch mal zur Klarstellung/Korrektur: die Aufgabe von Landsberg ist folgende:

    der erste Spieler hat zwei Versuche, das Auto zu finden,
    der zweite Spieler hat zwei Versuche, den Schlüssel zu finden,
    sie sprechen sich vor dem Spiel ab, der 2. Spieler kennt aber nicht die Ergebnisse des 1. Spielers
    man soll eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 erreichen.

    Ich ergänze auch gleich den Artikel oben.

  41. #41 Sentient6
    15. Juli 2009

    @Thilo: Das war ja auch unsere Idee. Problem ist nur, dass es immer noch den Fall gibt, dass er bereits auf dem richtigen Feld steht, das Auto gezeigt bekommt und wechselt. Dann hat er verloren, aber der erste Spieler gewonnen. Es ist also in dem Fall nicht egal.

  42. #42 Thilo Kuessner
    15. Juli 2009

    @ Sentient6:
    Ja, das klingt überzeugend. Vielleicht ist meine Variante (aus dem Kommentar von 10:11 Uhr) dann doch falsch, und man muß Landsbergs Variante spielen.
    Vielleicht findet sich ja ein Wahrscheinlichkeitstheoretiker, der alles mal formal durchrechnet?

  43. #43 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    @Thilo
    Zur Diskussion? Was heisst denn da zur Diskussion?
    Das ist doch jetzt alles nicht wahr. Ich nehme sofort ein Ticket nach Muenster und werfe dich da irgendeinem Nacktmulch im Zoo zum Frass vor.

    der zweite Spieler nimmt die erste Tür: wenn er die Ziege gezeigt bekommt, bleibt er bei seiner Wahl, wenn er das Auto gezeigt bekommt, wechselt er. Er verliert dann zwar, wenn das Auto auf der ersten Tür war, aber das ist dann egal, weil ja der erste Spieler dann auch schon nicht das Auto gefunden hatte.

    Das gibt die obige Wahrscheinlichkeit von 1/2 (was besser ist als die 4/9)
    Hier die Faelle
    S-A-Z

    Spieler 1 kriegt die Ziege gezeigt, geht aufs Auto, Spieler 2 kriegt die Ziege gezeigt ,bleibt: gewonnen
    Spieler 1 kriegt die Ziege gezeigt, geht aufs Auto, Spieler 2 kriegt das Auto gezeigt, bleibt: verloren

    Gewinnt in der Haelfte der Faelle
    S-Z-A

    genau das Gleiche

    Z-A-S

    Spieler 1 kriegt den Schluessel gezeigt, wechselt zum Auto, Spieler 2 kriegt das Auto gezeigt, wechselt: gewonnen
    Z-S-A

    genau das Gleiche

    A-S-Z

    Spieler 1 kriegt den Schluessel gezeigt, wechselt: verloren
    A-Z-S
    Spieler 1 kriegt den Schluessel gezeigt, wechselt: verloren

    Das macht dann
    1/6*1/2+1/6*1/2+1/6+/6=1/2
    und nicht 2/3

    @Jakob
    Quantenmechanik ist doch pillepalle gegen das Ziegenproblem.

  44. #44 Thilo Kuessner
    15. Juli 2009

    @ GH:
    Langjährige Seminar-Erfahrung: wenn man lebhafte Diskussionen haben möchte, darf man sich als Vortragender nicht zu gründlich vorbereiten …

  45. #45 Sentient6
    15. Juli 2009

    @Georg: Ganz ruhig. :p Immerhin haben wir unser möglichstes unter den gegebenen Umständen getan.

    Übrigens, die Gewinnwahrscheinlichkeit für unsere Lösung, die ich errechnet habe:

    Spieler 1: 2/3 (klar)

    Spieler 2: Gewinnt in drei von vier Fällen (Szenario 2 immer, Szenario 1 zu 50%), also 3/4.

    Gesamtwahrscheinlichkeit: 2/3 * 3/4 = 1/2

    deckt sich dann wohl auch mit deiner Berechnung.

  46. #46 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    Ich bin ein zerstoerter Mann.
    Egal, Tour de France faengt jetzt an. Die brauchen eh nur Fahrraeder und keine Autos.

  47. #47 Sentient6
    15. Juli 2009

    Stell dir die Aufgabe einfach mit einem Radfahrer, seinem Betreuer, einem Rennrad und einer Jahresration EPO. 🙂

  48. #48 Sim
    15. Juli 2009

    So ich probiers nochmal:

    Also erstmal ist klar, dass ein Spieler der zwei Türen öffnen darf in 2/3 aller Fälle seinen angestrebten Gewinn erzielt. Damit gewinnt Spieler 1 das Auto auf jeden Fall in 2/3 aller Fälle. Seine Strategie ist folgende:

    Öffne Tor 1: Wenn Ziege -> Öffne Tor 2
    Wenn Schlüssel -> Öffne Tor 3
    Wenn Auto -> Juhu gewonnen

    Spieler 2 kennt die Strategie und muss natürlich davon ausgehen dass Spieler 1 gewonnen hat (was in 2/3 aller Fälle stimmt)

    Er Öffnet Tor 3: Wenn Auto -> Dann muss Spieler1 in Tor1 den Schlüssel gefunden haben also öffnet er Tor 1 und ist happy.

    Wenn er eine Ziege findet, dann muss er muss er annehmen dass der Schlüssel nicht in Tor1 liegt da er ja davon ausgeht dass Spieler1 gewonnen hat (somit das Auto in Tor1 gefunden hat) und öffnet Tor2

    Wenn er den Schlüssel findet ist sowieso alles gut.

  49. #49 Sentient6
    15. Juli 2009

    @Sim: Hab mir über die neuen Bedingungen noch keine Gedanken gemacht, bin zu ausgelaugt vom letzten Durchgang.. Aber deine Variante klingt einleuchtend und ich kann jetzt keinen Denkfehler entdecken. Elegante Lösung, glückwunsch. 🙂

  50. #50 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    Ok, Thilo, hier ist die Frage:

    Der Prinz muss die Prinzessin retten (mal Schluss mit diesen oekologisch inkorrekten Stories). Zwei Waechter bewachen zwei Tueren, hinter einer befindet sich die Prinzessin. Der Prinz hat nur eine Frage frei und er weiss: Einer der beiden sagt immer die Wahrheit, der andere ist ein notorischer Luegner.
    Was ist die Frage, um die Prinzessin zu finden?

  51. #51 Thilo Kuessner
    15. Juli 2009

    Also Ziegen einsperren ist ökologisch inkorrekt, Prinzessinnen einsperren aber nicht? Ich hoffe mal, Tobias liest hier nicht mit.

  52. #52 Sentient6
    15. Juli 2009

    *nachdenk*

    Wie wärs mit:

    “Was würde dein Kollege auf die Frage ‘Ist das die richtige Tür’ antworten?”

    Wenn man den Lügner erwischt und der vor der richtigen Tür steht würde er “Ja” sagen. Denn der andere steht vor der falschen Tür, würde die Wahrheit, also “Nein” sagen.
    Wenn man den ehrlichen erwischt würde der ebenfalls “Ja” antworten. Denn der Lügner steht vor der falschen Tür und würde natürlich lügen.

    Damit ist zweifelsfrei geklärt: Egal welchen Wächter man fragt, wenn er auf die obige Frage “Ja” antwortet hat man die richtige Tür.

  53. #53 Georg Hoffmann
    15. Juli 2009

    @sentient6
    Eigentlich geht das Raetsel ganz anders und darum stelle ich hier mal meine Loesung zur Diskussion.
    Grummel.
    Na gut: richtig.

    @Thilo
    Prinzessinnen Einsperren ist ok. Dafuer sind sie ja da.

  54. #54 Henning
    15. Juli 2009

    Also ich bin leider kein Blitzdenker, deshalb hab ich noch keine Lösung parat… ABER:
    @Sim: Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 1 ist NICHT 2/3; der 2. Versuch ist nämlich nicht unabhängig vom 1. – Findet der Car-Master im 1. Versuch das Auto (A-Ende)), so ist sein Spiel beendet (P = 1/3). Der 2. Versuch ergibt sich ja erst aus der Tatsache, dass er im ersten Versuch NICHT das Auto gefunden hat, das er finden muss (sondern Schlüssel oder Ziege); im 2. Versuch ergeben sich in diesem Fall (1. Wahl NICHT Auto) am Ende 4 Möglichkeiten (S-Z, S-A, Z-S, Z-A), von denen 2 zum Auto führen. Also P = 1/2. Und 1/3 + 1/2 = 5/6.
    Auf jeden Fall müsste die Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 1 größer als 2/3 sein – sonst kann man am Ende nach Spieler 2 ja nicht auf 2/3 Gesamt-Gewinnwahrscheinlichkeit.
    Vielleicht sieht die Strategie (Absprache) ja so aus, dass die beiden Spieler im ersten Versuch jeweils unterschiedliche (nie das gleiche) Tor wählen – das schließt m. E. ein paar Szenarien aus, die definitiv NICHT zum ERfolg führen können…

  55. #55 Sentient6
    15. Juli 2009

    @Henning: Die 2/3 Chance von Spieler 1 ist dann in Ordnung, wenn Spieler 2 zu 100% Erfolg hat (Zumindest in den relevanten Fällen, also wenn Spieler 1 gewonnen hatte). Insofern ist Sims Lösung schon richtig.

  56. #56 Henning
    15. Juli 2009

    @Sentient6
    Aber ich kann doch nicht voraussetzen, dass einer der beiden Spieler zu 100% Erfolg hat….
    2/3 wären richtig, wenn Spieler 1 auf einmal 2 Tore auswählt – aber er tut dies nacheinander, vorausgesetzt seine erste Wahl war falsch… das ist ein Unterschied!

  57. #57 Sim
    15. Juli 2009

    Danke Sentient6

    @ Henning

    Es ist schon richtig so. Der erste Spieler wählt auf irgend eine Art und Weise 2 Türen aus. Was er da für ne Strategie hat, ist vollkommen Wurscht und hat keinen Einfluss auf die Gewinnwahrscheinlichkeit. So wie beim Lottospielen auch egal ist ob man sich an den Zahlen der Vorwoche oder den Sternen orientiert. Am Ende sind 2 Türen offen und in einer ist das Auto zu 2/3 aller Fälle. Wenn du meinst, dass es einen Unterschied macht ob er das Auto gleich beim ersten Versuch findet irrst du dich. Stell dir einfach vor er würde weiterspielen und einfach noch just for fun eine weitere Tür aufmachen. Meinetwegen Tür 3.

    Oder halt mathematisch. In 1/3 aller Fälle ist bei Tor1 das Auto. Da hat er beim ersten Zug gewonnen. in den restlichen 2/3 der Fälle, in denen er das Auto nicht auf anhieb trifft, wird er im Schnitt die Hälfte Gewinnen. also Gewinnt er insgesammt mit einer Ws. von 1/3 + 2/3 * 1/2 = 2/3

  58. #58 Sim
    15. Juli 2009

    @ Henning 17:31

    Niemand setzt voraus dass ein Spieler einfach so zu 100% Erfolg hat. Nur unter der Bedingung dass Spieler 1 gewinnt wird Spieler 2 zu 100% Erfolg haben mit der angegebenen Strategie.

    Und Spieler 1 wird eben in 2/3 der Fälle Erfolg haben und somit haben beide in 2/3 der Fälle Erfolg. Da Spieler 2 immer dann gewinnt wenn auch Spieler 1 gewonnen hat.

  59. #59 S.S.T.
    15. Juli 2009

    @ Sim

    Herzlichen Glückwunsch, Du hast nat. völlig recht.

    Der Trick ist eigentlich ein Informationstransfer, wie man ihn von einigen Zauberkunststücken her kennt, aber i.d.R. schwer durchschaut, es sei den, man ist darauf trainiert.

    Ein wenig einfacher gestrickt, aber auch ein bisschen in diese Richtung, ist dieser Trick: Medium und Magier vereinbaren eine Farbe oder ein Material. Der Magier fragt das Publikum nach einem Gegenstand oder auch Person in dem Raum. Das Medium errät das Gesuchte, wobei jegliche direkte Beeinflussung absolut ausgeschlossen wird: Es ist halt der erste Gegenstand NACH ‘Rot’ bzw. NACH einem ‘Glasgegenstand’ bzw… Extrem simpel, sehr schwer zu durchschauen, probiert es einfach mal aus (aber immer schön eindeutig bleiben, ein Bild kann eine GLASscheibe haben (falls das der Schlüssel ist) oder ein Eckchen in ROT (falls es darauf ankommt). Nach meinen Erfahrungen ist die Aufklärungsquote = 0,0 (und selbst gegen 0,1 könnte man sich schützen) und warum es nicht gleich der erste Gegenstand sein kann, darum kann man leicht herumschwurbeln. Am besten mal so mit 5/6+ Gästen einsetzen. (Selbst die 10. Wiederholung hilft nicht!)

    Was ich mit diesem Beispiel sagen will, ist dass es das mensch. Gehirn selbst bei solchen einfachen Dingen nicht packt.

  60. #60 Henning
    16. Juli 2009

    @Sim, @S.S.T.
    GRMMMPFHHH
    *grummel*

    Ok-Ok – ich hab mir jetzt endlich einen Entscheidungsbaum aufgemalt – und nochmal in “Das Ziegenproblem” (Gero von Randow) nachgelesen. Nun bin ich auch bei 2/3 für Spieler 1….

    Hier ist die Aufgabe übrigens ziemlich klar und deutlich beschrieben:
    http://www.springerlink.com/content/n8r4366651l8304v/fulltext.pdf?page=1

    Und die Zielvorgabe lautet 2/3 Gewinnwahrscheinlichkeit für das gesamte Spiel.

    Also nochmal in eigenen Worten – vielleicht hab ich’s ja jetzt endlich gefressen:
    Spieler 1 spielt die Strategie, die er vor dem Spiel auch Spieler 2 mitteilt:
    Öffne Tor 1: Wenn Ziege -> Öffne Tor 2
    Wenn Schlüssel -> Öffne Tor 3
    Wenn Auto -> Juhu gewonnen

    Alles hängt an Spieler 1 – er gewinnt zu 2/3 – Schafft er’s nicht – ist’s eigentlich eh’ schon vorbei – Spieler 2 bräucht gar nicht antreten.

    Spieler 2 MUSS also annehmen, dass Spieler 1 mit der vereinbarten Strategie das Auto gefunden hat.

    Spieler 2 wählt DESHALB Tor 3. Ist dort das Auto und Spieler 1 hat es mit seiner Strategie gefunden, so MUSS der Schlüssel hinter Tor 1 sein.
    Genauso MUSS hinter Tor 2 der Schlüssel sein, falls Spieler 2 hinter Tor 3 die Ziege findet. – Weil Spieler 1 ja dann das Auto hinter Tor gefunden hat…

    Spieler 2 ist also IMMER (100%) erfolgreich darin den Schlüssel zu finden, sofern Spieler 1 das Auto gefunden hat – und das tut er in 2/3 der Fälle.

    2/3 * 1 = 2/3

    So – dass war dann glaub ich für Dummies (wie mich)….

    Kennt Ihr eigentlich das Problem der 100 Gefangenen? Auch sehr schön…

    Gute Nacht – jetzt kann ich endlich beruhigt schlafen gehen! 🙂

  61. #61 H.M.Voynich
    17. Juli 2009

    Eine faszinierende Geschichte.
    Ich frage mich gerade, wie man jemandem ganz ohne Mathematik erklären kann, was hier passiert?
    Es sieht ja offensichtlich so aus, als würde eine Informationsübertragung von Spieler 1 an Spieler 2 stattfinden, obwohl doch genau diese per Regeln ausgeschlossen wurde. Was also geht hier vor?
    Die tatsächliche Information, die Spieler2 erhält, lautet nun witzigerweise: Spieler1 hat das Auto gefunden.
    In Wirklichkeit ist er natürlich nicht im Beistz dieser Information, aber er ist völlig berechtigt so zu tun, als wäre er es – denn wenn die Information falsch sein sollte, ist es sowieso völlig egal, was er tut. Egal, wie die weitere Strategie nun im Detail aussieht: sie baut daruaf auf, daß S2 einen Informationsvorsprung für sich vereinnahmt, den er gar nicht hat. Ein genialer Coup.
    Und noch ein Detail ist interessant: spontan geht man davon aus, es mache keinen Unterschied, ob man die zwei gestatten Tipps gleichzeitig oder nacheinander abgibt, insbesondere bei Spieler1. Doch nur, weil der Spieler1 zuerst ein Tor öffnet und dann anhand dessen Inhalts entscheidet, welches weitere Tor er öffnen möchte, kann das ganze funktionieren. Faszinierend.

  62. #62 H.M.Voynich
    17. Juli 2009

    Wie konstruiert man am besten den Plan zur Lösung?
    (Da ich mir Dinge schlecht merken kann, will ich immer wissen, wie man sie herleitet.)
    Ich versuche es erstmal mit einer primitivstmöglichen Strategie:
    Da sich beide vorher absprechen können, verabreden sie, daß der eine von links nach rechts sucht und der andere von rechts nach links. Wie gut ist diese Strategie?
    Es gibt 6 Verteilungsmöglichkeiten für 3 Dinge hinter drei Toren.
    In zweien davon findet Spieler 1 das Auto direkt hinter Tor A, und der Rest erledigt sich von allein, da der andere 2 Versuche hat und von der anderen Seite sucht, also erst C und dann B öffnet und somit den Schlüssel finden muß. 1 Drittel abgehakt
    Dann gibt es 2 Fälle, in denen das Auto hinter C ist und S1 es somit nicht finden wird. In diesen beiden Fällen ist völlig egal, was S2 tut, der Gewinn ist futsch, und deshalb können wir auch diese beiden Fälle als erledigt abhaken (das ist der Gag an der Geschichte)!
    Bleiben die beiden Fälle, wo das Auto hinter B ist.
    Wenn der Schlüssel hinter C ist ist auch das kein Problem. Aber was, wenn er hinter A ist? Was tun?
    Wir müssen die abgesprochenen Grundregeln verfeinern, denn es gibt sonst keine Möglichkeit für S1, S2 mitzuteilen, daß er bei seiner Strategie Tor B überspringen soll, um den Schlüssel zu finden.
    Das Problem ist also der Fall: Schlüssel liegt hinter A und Auto hinter B. In diesem – und nur in diesem Fall – läßt sich die Situation optimieren.
    Ergo MUSS Spieler 1, wenn er hinter A den Schlüssel findet, seine Strategie ändern: er muß Tor B überspringen. Es gibt keine andere Option. Er findet dann das Auto hinter C.

    Dadurch wird einer der beiden Fälle, die wir vorhin schon abgehakt hatten, wieder relevant (Schlüssel-Zonk-Auto), ein anderer aber dafür irrelevant (also ungewinnbar: Schlüssel-Auto-Zonk), was sich ausgleicht.
    Nun muß nur noch S2, wenn er hinter seinem ersten Tipp auf C das Auto sieht, daraus messerscharf schließen, daß S1 hinter Tor A den Schlüssel gesehen hat. Fertig. 😉

  63. #63 H.M.Voynich
    17. Juli 2009

    Auch sehr interessant ist es zu schauen, wieviel Versuche die beiden Spieler tatsächlich brauchten, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen.
    Im Fall Auto-Zonk-Schlüssel können sich beide Spieler den zweiten Versuch schenken, sie waren beide auf Anhieb erfolgreich.
    In den Fällen (S-A-Z) und (Z-S-A) nutzen beide ihre 2 Tipps voll aus, ohne etwas damit zu erreichen.
    Dann gibt es zwei Fälle, in denen nur einer der beiden seine 2 Tipps ausnutzen muß und dem anderen einer genügt, und nur einen Fall, in dem beide ihre Möglichkeiten voll ausreizen müssen um zu gewinnen.
    Da scheint Spielraum zu sein, die Regeln noch strenger zu formulieren. 😉

  64. #64 ZAS ;-)
    17. Juli 2009

    Wie es aussieht gibt es zwei verschiedene Aufgabenstellungen.

    Die Originalaufgabe lautet, wenn ich das richtig verstanden habe:
    Spieler A öffnet einen Vorhang, wenn es das Auto ist hat er gewonnen.
    Sonst öffnet Spieler A einen zweiten Vorhang, wenn es das Auto ist hast er gewonnen.
    Wenn nicht ist das Spiel verloren.
    Dann werden die Vorhänge geschlossen.
    Spieler B öffnet einen Vorhang, wenn es der Schlüssel ist, ist das Spiel gewonnen.
    Sonst öffnet Spieler B einen zweiten Vorhang, wenn es der Schlüssel, ist das Spiel gewonnen.
    Wenn nicht ist das Spiel verloren.

    Die zweite diskutierte Aufgabe ist das doppelte Ziegenproblem.
    Spieler A findet das Auto (oder nicht).
    Dann werden die Vorhänge geschlossen.
    Spieler B findet den Schlüssel (oder nicht).

    Da in beiden Fällen die Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler A maximal 2/3 sein kann, muss die Information, dass Spieler B überhaupt noch spielen darf dazu führen, dass er sicher den Schlüssel findet: Wahrscheinlichkeit 1. (1*2/3 = 2/3 😉 )

    Zum ersten Fall: (auch wenn es schon gelöst ist)
    Spieler 1 öffnet Vorhang 1. Bei Auto ist er fertig. Ziege und Schlüssel sind auf 2 und 3.
    Bei Schlüssel öffnet er Vorhang 2. Bei Auto ist er fertig und die Ziege ist auf 3.
    Bei Ziege öffnet er Vorhang 3: und der Schlüssel ist auf 3.

    Damit ist folgende Verteilung übrig:
    i. AZS
    ii. ASZ
    iii. SZA
    iv. ZAS

    Vorhang zu
    Spieler B wählt zuerst 3. Bei Schlüssel ist er fertig (Zeilen i und iv). Bei Ziege wählt er im nächsten Zug 1 (Zeile ii), bei Auto 2 (Zeile iii).
    Das hat Henning ja schon erklärt.

    Zweiter Fall: Ziegenproblem.
    Der Spieler wählt einen Vorhang. Der Spielleiter öffnete einen der beiden anderen, hinter dem nicht den gewünschten Preis ist. Der Spieler kann entscheiden, ob er seine Wahl ändert oder bei seinem Vorhang bleibt.
    Spieler A wählt Tor 1 und wechselt. Er gewinnt mit 2/3 ( dannm wenn das Auto hinter 2 oder 3 ist), kann aber die Strategie nicht davon abhängig machen, was er hinter dem Tor sieht, das der Spielleiter öffnet, da er nur mit dem Wechsel auf seine 2/3 kommt.

    Folgenden Verteilungen sind dann übrig:
    i. ZAS
    ii. SAZ
    iii. ZSA
    iv. SZA

    Spieler B kann nur dann mit 1 gewinnen, wenn er einen Vorhang definitiv ausschließen könnte, hinter dem der Schlüssel liegt. Das geht aber nicht, 2/3 für das Spiel sind nicht erreichbar.
    Das Beste sind ¾ (Spieler B wählt z.B. 2 und wechselt, er gewinnt dann mit den Zeilen i, ii und iv)
    Macht immerhin noch (2/3*3/4=1/2)

    Das macht keinen Spaß, deswegen ergänze ich die Regel um eine weiteren Informationseinheit: Der Spielleiter öffnet immer den Vorhang mit der Ziege, wenn dieser nicht vom Spieler gewählt wurde. Hat der Spieler die Ziege gewählt, wird der falsche Preis gezeigt.

    In diesem Fall wählt Spieler B Vorhang 1. Zeigt der Spielleiter die Ziege, bleibt der Spieler bei seiner Wahl (Zeilen ii und iv), da ja Spieler A durch Wechsel das Auto gefunden hat.
    Zeigt der Spielleiter das Auto, wechselt Spieler B (Zeilen i und iii), da dann die Ziege hinter 1 ist.
    Für den ersten Spieler hat diese Regeländerung keine Auswirkung auf die Gewinnwahrscheinlichkeit.

    Irrtum nicht ausgeschlossen.

    @ H.M.Voynich
    Die Möglichkeit die Regel strenger zu fassen, umd 2/3 zu erreichen sehe ich nicht, da man ja vom worst case ausgehen muss.

  65. #65 Webbär
    27. Juli 2009

    Bitte substanzieller vortragen, so muss geraten werden.

    – der erste Spieler hat zwei Versuche, das Auto zu finden,
    – der zweite Spieler hat zwei Versuche, den Schlüssel zu finden,
    – sie sprechen sich vor dem Spiel ab, der 2. Spieler kennt aber nicht die Ergebnisse des 1. Spielers
    – man soll eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 erreichen.

    OK, der erste Spieler spielt auf das Auto, der zweite auf den Schlüssel. Das ist möglich, weil die Spieler sich vor dem Spiel absprechen können, korrekt? Die Gegenstände bleiben gleich, also auch, wenn ein Spieler das Auto “gewonnen” hat, dann bleibt es für den anderen Schlüssel suchenden Spieler als “Gewinn” erhalten?
    Der Moderator macht sein Angebot immer, gell? Beim zweiten Versuch wird neu gemischt, gell?

    So, unter diesen (erratenen) Voraussetzungen kann Spieler1 das Auto bei zwei Versuchen mit der Wahrscheinlichkeit 2/3+((1/3)*(2/3)) = 8/9 treffen (2/3 im ersten Veruch und in de 33% der Fälle in denen er nicht trifft, trifft er dort wieder 66%, also dürfen 22% addiert werden).
    Spieler2, nun, hat wiederum 8/9 den Schlüssel in zwei Versuchen zu erwischen.
    Also insgesamt eine Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit von (8/9)*(8/9) = 64/81 = 79%.

    Eine “Strategie” würde ich hier nicht erkennen wollen, es sei denn die Erkenntnis bei einem immer wieder ein anderes als das gewählte Tor öffnenden und den Wechsel anbietenden Moderator wechseln zu müssen, ist bereits “strategisch”.

    Habe jetzt die Kommentare nicht durchgearbeitet, aber bitte wirklich demnächst klarer vortragen.

  66. #66 Webbär
    27. Juli 2009

    Bitte substanzieller vortragen, so muss geraten werden.

    – der erste Spieler hat zwei Versuche, das Auto zu finden,
    – der zweite Spieler hat zwei Versuche, den Schlüssel zu finden,
    – sie sprechen sich vor dem Spiel ab, der 2. Spieler kennt aber nicht die Ergebnisse des 1. Spielers
    – man soll eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 erreichen.

    OK, der erste Spieler spielt auf das Auto, der zweite auf den Schlüssel. Das ist möglich, weil die Spieler sich vor dem Spiel absprechen können, korrekt? Die Gegenstände bleiben gleich, also auch, wenn ein Spieler das Auto “gewonnen” hat, dann bleibt es für den anderen Schlüssel suchenden Spieler als “Gewinn” erhalten?
    Der Moderator macht sein Angebot immer, gell? Beim zweiten Versuch wird neu gemischt, gell?

    So, unter diesen (erratenen) Voraussetzungen kann Spieler1 das Auto bei zwei Versuchen mit der Wahrscheinlichkeit 2/3+((1/3)*(2/3)) = 8/9 treffen (2/3 im ersten Veruch und in de 33% der Fälle in denen er nicht trifft, trifft er dort wieder 66%, also dürfen 22% addiert werden).
    Spieler2, nun, hat wiederum 8/9 den Schlüssel in zwei Versuchen zu erwischen.
    Also insgesamt eine Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit von (8/9)*(8/9) = 64/81 = 79%.

    Eine “Strategie” würde ich hier nicht erkennen wollen, es sei denn die Erkenntnis bei einem immer wieder ein anderes als das gewählte Tor öffnenden und den Wechsel anbietenden Moderator wechseln zu müssen, ist bereits “strategisch”.

    Habe jetzt die Kommentare nicht durchgearbeitet, aber bitte wirklich demnächst klarer vortragen.

  67. #67 Webbär
    27. Juli 2009

    Die Wahrscheinlichkeit pro Versuch ist nämlich 1/3, nicht 2/3 wie bei der Rechnung eben angesetzt.

    Beim Drei-Türen-Problem hat man (für einige überraschend) 2/3, wie Du auch angemerkt hast (wenn der Moderator immer das Wechseln abbietet und zuvor ein zweites leeres oder falsches Tor geöffnet hat). Jetzt haben die Spieler jeweils 2 “Versuche”.
    Warum nicht jeweils (2/3) + ((1/3)*(2/3)) = 8/9 Erfolgserwartung?

    Warum haben die Spieler “pro Versuch [1] 1/3”?

    [1] Ein “Versuch” schien mir ein Spiel mit dem Moderator zu sein. Also haben die Spieler zwei Spiele mit dem Moderator (wobei sie nur dann das zweite Spiel wahrnehmen, wenn sie das erste verloren haben)? Was genau, verdammt :-), ist ein “Versuch”?

  68. #68 Webbär
    27. Juli 2009

    Die Wahrscheinlichkeit pro Versuch ist nämlich 1/3, nicht 2/3 wie bei der Rechnung eben angesetzt.

    Beim Drei-Türen-Problem hat man (für einige überraschend) 2/3, wie Du auch angemerkt hast (wenn der Moderator immer das Wechseln abbietet und zuvor ein zweites leeres oder falsches Tor geöffnet hat). Jetzt haben die Spieler jeweils 2 “Versuche”.
    Warum nicht jeweils (2/3) + ((1/3)*(2/3)) = 8/9 Erfolgserwartung?

    Warum haben die Spieler “pro Versuch [1] 1/3”?

    [1] Ein “Versuch” schien mir ein Spiel mit dem Moderator zu sein. Also haben die Spieler zwei Spiele mit dem Moderator (wobei sie nur dann das zweite Spiel wahrnehmen, wenn sie das erste verloren haben)? Was genau, verdammt :-), ist ein “Versuch”?

  69. #69 Webbär
    27. Juli 2009

    Bitte substanzieller vortragen, so muss geraten werden.

    – der erste Spieler hat zwei Versuche, das Auto zu finden,
    – der zweite Spieler hat zwei Versuche, den Schlüssel zu finden,
    – sie sprechen sich vor dem Spiel ab, der 2. Spieler kennt aber nicht die Ergebnisse des 1. Spielers
    – man soll eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 erreichen.

    OK, der erste Spieler spielt auf das Auto, der zweite auf den Schlüssel. Das ist möglich, weil die Spieler sich vor dem Spiel absprechen können, korrekt? Die Gegenstände bleiben gleich, also auch, wenn ein Spieler das Auto “gewonnen” hat, dann bleibt es für den anderen Schlüssel suchenden Spieler als “Gewinn” erhalten?
    Der Moderator macht sein Angebot immer, gell? Beim zweiten Versuch wird neu gemischt, gell?

    So, unter diesen (erratenen) Voraussetzungen kann Spieler1 das Auto bei zwei Versuchen mit der Wahrscheinlichkeit 2/3+((1/3)*(2/3)) = 8/9 treffen (2/3 im ersten Veruch und in de 33% der Fälle in denen er nicht trifft, trifft er dort wieder 66%, also dürfen 22% addiert werden).
    Spieler2, nun, hat wiederum 8/9 den Schlüssel in zwei Versuchen zu erwischen.
    Also insgesamt eine Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit von (8/9)*(8/9) = 64/81 = 79%.

    Eine “Strategie” würde ich hier nicht erkennen wollen, es sei denn die Erkenntnis bei einem immer wieder ein anderes als das gewählte Tor öffnenden und den Wechsel anbietenden Moderator wechseln zu müssen, ist bereits “strategisch”.

    Habe jetzt die Kommentare nicht durchgearbeitet, aber bitte wirklich demnächst klarer vortragen.

  70. #70 Thilo Kuessner
    27. Juli 2009

    Die Kritik ist natürlich berechtigt, aber das mit den 79% stimmt jedenfalls nicht.
    Die Wahrscheinlichkeit pro Versuch ist nämlich 1/3, nicht 2/3 wie bei der Rechnung eben angesetzt.

  71. #71 Webbär
    27. Juli 2009

    Die Wahrscheinlichkeit pro Versuch ist nämlich 1/3, nicht 2/3 wie bei der Rechnung eben angesetzt.

    Beim Drei-Türen-Problem hat man (für einige überraschend) 2/3, wie Du auch angemerkt hast (wenn der Moderator immer das Wechseln abbietet und zuvor ein zweites leeres oder falsches Tor geöffnet hat). Jetzt haben die Spieler jeweils 2 “Versuche”.
    Warum nicht jeweils (2/3) + ((1/3)*(2/3)) = 8/9 Erfolgserwartung?

    Warum haben die Spieler “pro Versuch [1] 1/3”?

    [1] Ein “Versuch” schien mir ein Spiel mit dem Moderator zu sein. Also haben die Spieler zwei Spiele mit dem Moderator (wobei sie nur dann das zweite Spiel wahrnehmen, wenn sie das erste verloren haben)? Was genau, verdammt :-), ist ein “Versuch”?

  72. #72 Thilo Kuessner
    27. Juli 2009

    Ich hoffe mal, ich bekomme es nach 2 Wochen noch richtg hin:
    Der 1. Spieler öffnet eine Tür und danach (falls er das Auto noch nicht gefunden hat) noch eine weitere Tür.
    Der 2. Spieler macht dasselbe, ohne die Ergebnisse des 1. Spielers zu kennen.
    Der Moderator greift nicht ein.

    Die Gewinn-Wahrscheinlichkeit des 1. Spielers beträgt also 2/3 (für jede Türöffnung 1/3). Man will also eine Strategie, bei der (wenn der 1.Spieler das Auto gefunden hat) der 2. Spieler den Schlüssel auf jeden Fall findet.

    Sorry, es stimmt schon, daß im Artikel nicht alles mathematisch korrekt durchdefiniert wurde. Aber erfahrungsgemäß kriegt man so die lebhaftesten Blog-Diskussionen 🙂
    Das ist ja hier keine Uni-Klausur, wo man alles unmißverständlich ausformulieren muß.

  73. #73 rolak
    25. Oktober 2013

    Nach Jahren unglaublich harter Arbeit ist es nun endlich dem überaus tapferen xkcd gelungen, die letztlich einzig korrekte Lösung zu finden. Bitte schön!