Exponentielles Wachstum

Volumenwachstum

In der (euklidischen) Ebene hat ein Kreis bekanntlich den Flächeinhalt πr2.
Im (euklidischen) Raum hat eine Kugel das Volumen 4/3πr3.
Ähnlich gibt es auch im n-dimensionalen flachen Raum eine Formel für das Volumen von Kugeln: π[n/2]/Γ(n/2+1) rn.
Das Volumen einer Kugel im flachen Raum hängt also polynomiell vom Radius ab.
(Anschaulich ziemlich klar: die Geodäten in den n Achsenrichtungen gehen mit linearer Geschwindigkeit auseinander, also ist das Volumen ein Polynom vom Grad n.)

Bei negativer Krümmung gehen die Geodäten mit exponentieller Geschwindigkeit auseinander und deshalb wächst auch das Volumen exponentiell mit dem Radius.
Zum Beispiel hat ein Kreis in der hyperbolischen Ebene den Flächeninhalt π(cosh(r)-1). Für große r ist das näherungsweise &pi/2 er.
(Im n-dimensionalen hyperbolischen Raum ist die Formel komplizierter, ist aber näherungsweise ebenfalls ein Vielfaches von er.)

Suggestiver als Rechnungen ist vielleicht dieses Bild: alle roten Kreise sind gleich groß (bzgl. der hyperbolischen Metrik), haben also das selbe Volumen. Innerhalb des Radius 1 gibt es einen roten Kreis, innerhalb des Radius 2 gibt es 8 rote Kreise, innerhalb des Radius 3 sind es 29 rote Kreise, innerhalb des Radius 4 dann 92 rote Kreise etc.

Irrfahrten

Wir hatten letzte Woche schon geschrieben, daß Irrfahrten (Brownsche Bewegung) in negativ gekrümmten Räumen nicht zum Ausgangspunkt zurückkehren. (“If you loose your key in hyperbolic space you never find it back.”)

Das hängt eng mit dem exponentiellen Volumenwachstum zusammen. (Genauer mit dem exponentiellen Wachstum von kokompakt operierenden diskreten Isometriegruppen. Dazu und zum Zusammenhang mit der Gruppentheorie nächste Woche.)

Allgemein ist die Brownsche Bewegung “rekurrent” (kehrt zum Ausgangspunkt zurück), wenn man höchstens quadratisches Volumenwachstum hat, also im R1 oder R2, aber nicht im R3 und erst recht nicht in negativ gekrümmten Räumen.

Anwendungen in der Kunst

Das Motiv des exponentiellen Wachstums, also daß man eine exponentiell wachsende Anzahl desselben Motives in einem linear wachsenden Radius unterbringen kann, hat der holländische Künstler M.C.Escher in verschiedenen seiner Bilder benutzt.

Über Escher Bilder hatten wir in TvF 59 schon geschrieben, im Zusammenhang mit den Symmetrien der hyperbolischen Ebene.

Hier noch einmal zwei Beispiele aus der “Circle Limit”-Reihe:

i-4b565ee6b1d97fbb817e4b4e91dd8de9-Circle-limit-IV.jpg

http://mcescher.com/Gallery/recogn-bmp/LW436.jpg

i-c674324347a7b47054668ac09ad258f1-Escher_Circle_Limit_III.jpg

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Escher_Circle_Limit_III.jpg

Eschers Bilder veranschaulichen natürlich nicht nur das Volumenwachstum, sondern auch die Isometrien der hyperbolischen Ebene. Letztere kommen vielleicht noch deutlicher in diesem ‘dynamischen’ YouTube-Video heraus:

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