Gitter und Diskretisierungen.

In den letzten Wochen hatten wir über die Rückkehrwahrscheinlichkeit bei Irrfahrten (Brownscher Bewegung) geschrieben – in der Ebene ist die Brownsche Bewegung rekurrent, im 3-dimensionalen Raum aber nicht und im hyperbolischen Raum noch weniger.

Einfacher war es, die Rückkehrwahrscheinlichkeiten auf Gittern zu berechnen: auf dem Gitter Z2 in der (euklidischen) Ebene oder z.B. auf dem der Fundamentalgruppe der Brezel entsprechenden Gitter in der hyperbolischen Ebene1.

i-574bc944262ac91dfe5e48e746f8f3ae-univeroc.gif

Kokompakte Gitter2 in einem Raum haben viele Eigenschaften mit dem Raum selbst gemeinsam, zumindest “asymptotisch”.

Beispiele:

– Wenn Irrfahrten auf dem Gitter rekurrent sind (mit Wahrscheinlichkeit 1 zum Startpunkt zurückkehren), gilt das selbe für Irrfahrten im ganzen Raum.

– Das Volumen des Raumes ist (asymptotisch) eine Funktion vom selben Typ wie das “Volumen” im Gitter.
Konkret:
Das Volumen in der euklidischen Ebene ist bekanntlich πr2 – im Gitter Z2 ist die Anzahl der Punkte innerhalb eines Kreises vom Radius r ebenfalls eine quadratische Funktion, nämlich 2r2+2r+1. “Kreis vom Radius r” bezieht sich hier auf die Abstandsmessung im Gitter, nicht in der Ebene. Zum Beispiel hat (1,1) im Gitter Abstand 2 von (0,0), während der Abstand in der Ebene Wurzel(2) wäre. (Wobei das eigentlich keinen wesentlichen Unterschied macht – auch bzgl. der Abstandsmessung in der Ebene wäre die Anzahl der Punkte eine quadratische Funktion.
Das Volumen in der hyperbolischen Ebene wächst exponentiell mit dem Radius – für die Fundamentalgruppe der Brezel wächst die Anzahl der Punkte im Radius r auch exponentiell mit r, was 1968 von Milnor bewiesen wurde3.

– Wenn der Raum negativ gekrümmt ist, dann ist auch das Gitter negativ gekrümmt, d.h. Dreiecke sind “dünn” (vgl. TvF 81, TvF 82): es gibt eine Konstante δ, so daß in jedem Dreieck jede Seite innerhalb der δ-Umgebung der anderen beiden Seiten liegt.

Es gibt noch viele weitere “asymptotische” geometrische Eigenschaften, die das Gitter mit dem Raum gemein hat, z.B. die Anzahl der Enden.

Mathematisch erfaßt man die “asymptotische Gleichheit” in der Geometrie mit dem Begriff der Quasi-Isometrie, das entsprechende Forschungsgebiet heißt “Grobe Geometrie” (“Coarse Geometry”), dazu nächste Woche.

Der Vorteil dieser “groben” Betrachtungsweise ist, daß es oft einfacher ist, “diskrete Probleme” auf Gittern zu lösen als “analytische Probleme” im ganzen Raum. Zum Beispiel kann man durch folgende elementare Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung den Zusammenhang zwischen Volumenwachstum und Rückkehrwahrscheinlichkeiten von (symmetrischen, translationsinvarianten) Irrfahrten auf Gittern herstellen4
Sei P(x,y,t) die Wahrscheinlichkeit, daß die Irrfahrt in Zeit t von x nach y kommt. Man interessiert sich5 für q:=limsup P(0,0,t)1/t.
Milnor beweist mit einer elementaren Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, daß 1>q nur für Gitter mit exponentiellem Volumenwachstum möglich ist:
Es ist P(0,x,2t)=ΣyP(0,y,t)P(y,x,t)≤ (ΣyP(0,y,t)2)1/2yP(y,x,t)2)1/2
= (ΣyP(0,y,t)P(y,0,t))1/2yP(x,y,t)P(y,x,t))1/2
=P(0,0,2t)1/2P(x,x,2t)1/2
=P(0,0,2t).
(Hier haben wir neben Cauchy-Schwarz auch noch die Symmetrie und im letzten Schritt die Translationsinvarianz benutzt.)
Sei N(t) die Anzahl der Punkte im Radius t. Es muß unter diesen Punkten mindestens einen mit 1/N(t) ≤ P(0,x,t) geben. (Weil offensichtlich P(0,x,t)=0 für alle x mit größerem Radius gilt.) Damit ist auch 1/N(t)≤ P(0,0,t). (Die gerade bewiesene Ungleichung mit t statt 2t angewandt.)
Aus 1/N(t)≤P(0,0,t)≤(q+ε)1/t≤1 folgt, daß N(t) exponentiell wächst.

1Bild-Quelle: https://mathworld.wolfram.com/UniversalCover.html
2 Kokompakt heißt in diesem Zusammenhang einfach, daß es eine obere Schranke gibt für den Abstand, den ein Punkt im Raum zum Gitter haben kann. Zum Beispiel hat jeder Punkt der Ebene Abstand höchstens Wurzel(2)/2 zum Gitter Z2.
Eigentlich verwendet man in der Geometrie die Bezeichnung Gitter nur für diskrete Untergruppen G der Isometriegruppe des Raumes X; die in den Bildern gezeichneten Gitter sind dann der G-Orbit eines Punktes. Ein kokompaktes Gitter ist ein Gitter G, so dass X/G kompakt ist. Das bedeutet gerade, daß es eine obere Schranke gibt für den Abstand, den ein Punkt im Raum zu einem (fest gewählten) Orbit des Gitters haben kann.
3 Milnor bewies das exponentielle Wachstum allgemein für Fundamentalgruppen von negativ gekrümmten, kompakten Mannigfaltigkeiten.
4 aus Milnors Arbeit A note on curvature and fundamental group
5 Nach Wurzelkriterium ist 1>q hinreichend für Konvergenz der Summe ΣtP(0,0,t).

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86

Kommentare (6)

  1. #1 cheapguccibags888.tumblr.com/
    31. Oktober 2012

    He goes home early everyday for fear that his wife would be angry.What’s your favorite steps? Stop making such a noise.They played a shameful part in the whole affair.He won an election.The price includes postage charges.The price includes postage charges.I’ll see to it.He can hardly speak.Nothing but death can part the couple.

  2. #2 グッチカフェ
    9. November 2014

    Due in theaters next summer, “Prometheus” is the filmmaker’s return to science fiction, though Scott and his collaborators are cagey about whether it’s a prequel to 1979’s “Alien,” in which Sigourney Weaver’s Ellen Ripley first encountered the unstoppable space monster.

  3. #3 Ronaldweado
    Guinea-Bissau
    11. Juni 2023

    Hi there my name is Matthew D’Agati.
    Solar technology is now probably one of the most promising and sought-after resources of clean, renewable energy in the last few years. This can be because of its numerous benefits, including financial savings, energy savings, while the positive impact it offers from the environment. In this article, we shall discuss the benefits of using solar energy in homes and businesses, the technology behind it, and exactly how it could be implemented to optimize its benefits.

    One of many benefits of using solar technology in homes could be the cost savings it offers. Solar energy panels are capable of generating electricity for your house, reducing or eliminating the necessity for traditional types of energy. This will end in significant savings on your own monthly energy bill, especially in areas with a high energy costs. In addition, the expense of solar panels and associated equipment has decreased significantly over the years, which makes it less expensive for homeowners to buy this technology.

    Another good thing about using solar technology in homes may be the increased value it may provide towards the property. Homes which have solar power panels installed are usually valued greater than homes that don’t, because they offer an energy-efficient and environmentally friendly substitute for traditional energy sources. This increased value can be a substantial benefit for homeowners who will be seeking to sell their property in the foreseeable future.

    For businesses, the many benefits of using solar power are wide ranging. One of several primary benefits is cost benefits, as businesses can significantly reduce their energy costs by adopting solar power. In addition, there are many government incentives and tax credits open to companies that adopt solar technology, which makes it a lot more affordable and cost-effective. Furthermore, businesses that adopt solar power can benefit from increased profitability and competitiveness, because they are viewed as environmentally conscious and energy-efficient.

    The technology behind solar technology is simple and easy, yet highly effective. Solar power panels are made of photovoltaic (PV) cells, which convert sunlight into electricity. This electricity are able to be kept in batteries or fed directly into the electrical grid, with regards to the specific system design. To be able to maximize some great benefits of solar power, you will need to design a custom system that is tailored to your specific energy needs and requirements. This will make sure that you have the best components in place, such as the appropriate wide range of solar energy panels as well as the right form of batteries, to maximise your energy efficiency and cost savings.

    One of many important aspects in designing a custom solar technology system is knowing the different sorts of solar energy panels and their performance characteristics. There are two main main forms of solar power panels – monocrystalline and polycrystalline – each having its own advantages and disadvantages. Monocrystalline solar power panels are manufactured from an individual, high-quality crystal, helping to make them more effective and sturdy. However, they’re also higher priced than polycrystalline panels, that are made of multiple, lower-quality crystals.

    In addition to solar power panels, a custom solar technology system will even include a battery system to keep excess energy, in addition to an inverter to convert the stored energy into usable electricity. It’s important to choose a battery system this is certainly with the capacity of storing the actual quantity of energy you want for the specific energy needs and requirements. This can make sure that you have a trusted way to obtain power in the case of power outages or any other disruptions to your power supply.

    Another advantageous asset of using solar power could be the positive impact it offers in the environment. Solar energy is on a clean and renewable power source, producing no emissions or pollutants. This will make it an ideal substitute for traditional types of energy, such as for instance fossil fuels, that are a significant contributor to polluting of the environment and greenhouse gas emissions. By adopting solar technology, homeowners and businesses can really help reduce their carbon footprint and subscribe to a cleaner, more sustainable future.

    In closing, the advantages of using solar energy both in homes and companies are numerous and cannot be overstated. From cost savings, energy savings, and increased property value to environmental impact and technological advancements, solar technology provides a variety of advantages. By understanding the technology behind solar power and designing a custom system tailored to specific energy needs, you’ll be able to maximize these benefits and then make a positive effect on both personal finances therefore the environment. Overall, the adoption of solar power is an intelligent investment for a sustainable and bright future.

    Should you want to know more info on this one subject consult with my personal own site: [url=https://www.agati.com/blog/mattdubbe/[color=black_url]https://www.eddersko.com/blog/?page_id=2energy solutions for brokers and suppliers[/url]

  4. #4 BarrySable
    Ireland
    8. November 2023

    Hi ,

    Are you ready to harness the full potential of AI for producing jaw-dropping videos that can boost your profits? Brace, because we’ve got something remarkable for you!

    Introducing Your Magical AI Tool – The game-changer of AI video creation that’s here to transform your business and drive extraordinary results. ????

    ?? Here’s why you can’t afford to miss this opportunity:

    ?? Agency License: With our package, you’ll receive an Enterprise License, allowing you to provide our cutting-edge video creation service to your clients for extra revenue streams!

    ???>? GPT-4 Magic: Powered by GPT-4 technology, our whiteboard video creation software is designed to be your profit-producing wizard.

    ?? Niche Mastery: Create AI-generated whiteboard videos in ANY market with unparalleled speed and ease.

    ?? Versatile Videos: Generate an endless number of whiteboard sales videos, business ads, product promos, informational content, squeeze page videos, explainers, and tutorials – it’s like pure magic!

    ? Script Wizardry: Craft high-quality video scripts in record time, all within the same app, ensuring exceptional content every time.

    ?? Traffic Magnet: Drive more targeted buyer traffic to your websites, channels, blogs, and offers – watch your audience grow!

    ?? Viral Potential: Post your whiteboard videos on trending topics and social media to elevate engagement and go viral.

    ?? No Skill Needed: No particular skills required! You’ll be a video-making expert with ease.

    ?? Centralized Management: Handle all your video creation tasks seamlessly from one intuitive dashboard.

    ?? ROI Booster: While results may vary, many of our users have experienced astounding ROI gains of 500% or more!

    ?? AI Business Launch: Ascend to new heights of online wealth with our Agency license. Launch your very own AI-powered business!

    ?? PLR Opportunities: PLR producers can leverage this tool to create top-notch training courses that sell like hotcakes!

    ?? Market Domination: Crush your competition and dominate your market with this world-class technology.

    ?? Risk-Free Guarantee: We back our product with a bulletproof 30-day money-back guarantee – zero risk!

    ?? Compelling CTAs: Boost your conversions and profits effortlessly with captivating call-to-action elements.

    ?? Don’t miss out on this exclusive opportunity to reinvent your video creation process and boost your profits with AI technology!

    To learn more, schedule a demo, or check out pricing options, simply reply to this email or visit our website at -> https://tinyurl.com/vidpalai

    Get ready to step into a new era of video content creation and set new standards in your industry. We’re thrilled to be part of your journey towards unsurpassed success!

    Best Regards, Machine Learning marketing team

  5. #5 GwyndiwePag
    Guinea-Bissau
    15. November 2023

    На нашем сайте множество интернет-провайдеров в вашем городе! Мы предлагаем различные планы и тарифы, чтобы удовлетворить все ваши потребности в домашнем интернете – [url=https://provideri-interneta-moskva.ru]инет провайдер интернета[/url]
    Выбирайте между стабильным подключением, высокой скоростью и непрерывной работой. Мы сотрудничаем с лучшими провайдерами, чтобы предложить вам различные варианты тарифов для выбора.
    Наша команда экспертов готова помочь вам сделать правильный выбор. Мы предлагаем простые условия подключения, простую установку и профессиональную поддержку, как узнать провайдеров в доме.
    Не упустите возможность получить лучший доступ к миру онлайн развлечений, общения и работы. Сделайте правильный выбор с нами и наслаждайтесь надежным интернетом уже сегодня, подключение билайн домашний интернет – [url=https://provideri-interneta-moskva.ru/]https://www.provideri-interneta-moskva.ru/[/url]
    [url=http://www.google.cl/url?q=http://provideri-interneta-moskva.ru]http://www.elahmad.com/url.php?url=provideri-interneta-moskva.ru[/url]

    [url=http://sohovark.com/QandA.asp?SortID=19]На нашем сайте множество интернет-провайдеров в вашем городе![/url] 45_291c

  6. #6 QuelanasPag
    Western Sahara
    15. November 2023

    На нашем сайте большой выбор интернет-провайдеров в вашем городе! Мы предлагаем различные планы и тарифы, чтобы удовлетворить все ваши потребности в домашнем интернете – [url=https://podkluchit-domashniy-internet.ru/]скоростной интернет для дома[/url]
    Выбирайте между быстрым подключением, потрясающей скоростью и стабильной работой. Мы сотрудничаем с популярными провайдерами, чтобы предложить вам множество вариантов тарифов для выбора.
    Наша команда экспертов готова помочь вам сделать правильный выбор. Мы предлагаем удобные условия подключения, эффективную установку и профессиональную поддержку, подключение интернета и цифрового телевидения в частном доме.
    Не упустите возможность получить лучший доступ к миру онлайн развлечений, общения и работы. Сделайте правильный выбор с нами и наслаждайтесь быстрым интернетом уже сегодня, какие провайдеры подключены к моему дому – [url=http://www.podkluchit-domashniy-internet.ru]https://podkluchit-domashniy-internet.ru/[/url]
    [url=https://tootoo.to/op/?redirect=podkluchit-domashniy-internet.ru]http://www.google.mk/url?q=http://podkluchit-domashniy-internet.ru[/url]

    [url=https://blogdainternet.blogg.se/2018/march/like-him-or-depart-him-2.html]На нашем сайте разнообразие интернет-провайдеров в вашем городе![/url] 7363bc0