Bei einem modularisierten Aufbau werden Gesamtsysteme aus standardisierten Einzelbauteilen zusammengesetzt. Die gegenteilige Bauweise nennt man monolithisch (griechisch monólithos, „der Einstein”)

Modularität (auch Bausteinprinzip oder Baukastenprinzip) ist, laut Wikipedia, die Aufteilung eines Ganzen in Teile, die als Module, Bauelemente oder Bausteine bezeichnet werden.

Ein (auch handwerklich) beeindruckendes Beispiel dieses Modularitätsprinzips ist der modulare Schrank des Züricher ETH-Professors Richard Pink, gefertigt von der Schreinerei Urban Brenner.

© R.Pink, weitere Fotos

Zitiert von Prof. Pinks Webseite (Hervorhebungen von mir):

“Der Schrank ist modular in zwei Bedeutungen. Erstens stammt das zugrundeliegende mathematische Muster aus dem Gebiet der Modulformen; die Symmetriegruppe des Musters heisst die Modulgruppe. Zweitens ist der Schrank auch im technischen Sinne modular aufgebaut: man kann ihn auseinandernehmen und jede kleinere Zahl von vertikalen Elementen alleine aufbauen. […]
In der mathematischen Fachsprache handelt es sich um eine Zerlegung der oberen Halbebene in Fundamentalbereiche unter der Operation der arithmetischen Gruppe SL(2,Z). Zwei benachbarte Glastüren zusammen bilden den üblichen Fundamentalbereich unter der Gruppe SL(2,Z). In komplexen Koordinaten lässt sich die Operation leicht beschreiben: Zwei Punkte z und w sind äquivalent genau dann, wenn es ganze Zahlen a, b, c, und d gibt mit ad-bc=+1 […], so dass w […] gleich (az+b)/(cz+d) ist.
Die obere Halbebene trägt die Struktur einer sogenannten hyperbolischen Ebene, das heisst, einer bestimmten nicht-euklidischen Geometrie. Dabei ist der Abstand zweier Punkte anders definiert als gewöhnlich. So wie die Geraden in der üblichen euklidischen Geometrie charakterisiert werden können als die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten, sind hier die kürzesten Verbindungen, genannt Geodätische, genau die vertikalen Geraden sowie die Halbkreise, deren Mittelpunkte auf der horizontalen Achse liegen. Alle Linien in dem beschriebenen Muster sind solche Geodätische. ”

SL(2,Z)

SL(2,Z), auch bekannt als Modulare Gruppe ist vielleicht die in der Reinen Mathematik am häufigsten vorkommende Gruppe,
mal abgesehen von solchen trivialen Gruppen wie Z oder R.
Während es über SL(2,R) ein mehr als 400 Seiten starkes Buch aus der Feder von Serge Lang gibt (das in Wirklichkeit eher eine Einführung in die Darstellungstheorie am Beispiel der SL(2,R) ist),
hat über SL(2,Z) wohl noch niemand ein Buch geschrieben. (Hatcher hatte früher auf seiner Webseite ein Cover für ein Buch über SL(2,Z), daß er gerne mal schreiben würde – das Projekt scheint inzwischen in seinem Buchprojekt “Topology of Numbers” aufgegangen zu sein.)

Wie die Beschreibung des Modularen Schrankes schon zeigt, hängt SL(2,Z) zusammen mit der hyperbolischen Ebene, also mit Geometrie von Flächen.

Zunächst die Definition:

SL(2,Z) ist die Gruppe der Matrizen

mit ganzzahligen Einträgen a,b,c,d und Determinante 1 (d.h. ad – bc = 1).

Mit Flächen hat diese Gruppe unter anderem deshalb zu tun, weil sie auf der hyperbolischen Ebene wirkt:
das Poincare-Halbebenenmodell der hyperbolischen Ebene (TvF 55) besteht ja aus den komplexen Zahlen z mit positivem Imaginärteil und eine Matrix aus SL(2,Z) wirkt auf Punkten dieser oberen Halbebene durch

Das Bild oben zeigt eine Unterteilung der oberen Halbebene in Fundamentalbereiche, d.h. jedes Teil läßt sich auf jedes andere Teil durch eine Matrix aus SL(2,Z) abbilden.

Zum Beispiel:
Das grau schraffierte Dreieck hat die Eckpunkte -0,5+0,86..i, 0,5+0,86..i, oo (unendlich).
Das rechts angrenzende Dreieck hat die Eckpunkte 0,5+0,86..i, 1,5+0,86..i, oo, es entsteht aus dem grauen Dreieck durch Anwendung der Abbildung z–>z+1, also der Matrix mit a=1,b=1,c=0,d=1.
Das links angrenzende Dreieck hat die Eckpunkte -1,5+0,86..i, -0,5+0,86..i, oo, es entsteht aus dem grauen Dreieck durch Anwendung der Abbildung z–>z-1, also der Matrix mit a=1,b=-1,c=0,d=1.
Das unten angrenzende Dreieck hat die Eckpunkte 0,5+0,86..i, -0,5+0,86..i, 0, es ensteht aus dem grauen Dreieck durch Anwendung der Abbildung z–>-1/z, also der Matrix mit a=0,b=-1,c=1,d=0.
Usw. usf. Mehr dazu, zu den gruppentheoretischen Anwendungen und dem Zusammenhang mit Flächen nächste Woche.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89