Modulformen und der 2-Quadrate-Satz.

Wir hatten schon ein paar Mal (z.B. in TvF 100) erwähnt, daß Modulformen auf mysteriöse Weise zahlentheoretische Zusammenhänge kodieren. Das wollen wir heute noch am Beispiel des 2-Quadrate-Satz vorführen.

2-Quadrate-Satz.
Es geht um die Frage, welche (Prim-)Zahlen sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen.

Wenn man sich die ersten Beispiele anschaut:
2=12+12
5=22+12
13=32+22
17=42+12
29=52+22
37=62+12

dann stellt man fest, daß (von der Ausnahme-Primzahl 2 mal abgesehen), anscheinend alle Primzahlen, die bei Division durch 4 Rest 1 lassen, sich als Summe zweier Quadrate zerlegen lassen.

Tatsächlich überlegt man sich leicht, daß Primzahlen (außer 2) nur dann Summe zweier Quadrate sein können, wenn sie bei Division durch 4 Rest 1 lassen: jede gerade Quadratzahl ist durch 4 teilbar, jede ungerade Quadratzahl läßt Rest 1 bei Division durch 4, die Summe zweier Quadrate läßt bei Division durch 4 also Rest 0+0 oder 0+1 oder 1+1, jedenfalls nie Rest 3. Andererseits ist jede Primzahl (außer 2) ungerade, läßt also bei Division durch 4 entweder Rest 1 oder Rest 3.

Die Frage ist dann: kann man jede Primzahl, die bei Division durch 4 Rest 1 läßt, als Summe zweier Quadrate darstellen (wie es die Beispiele oben nahelegen)?

Fermat hatte das in seinen nachgelassenen Arbeiten behauptet (noch ein unbewiesener Satz von Fermat), der erste Beweis, daß jede solche Primzahl sich als Summe zweier Quadrate schreiben läßt, stammt von Euler.

Es gibt heute viele Beweise, der wohl kürzeste stammt von Heath-Brown und Zagier. (Mit einigem guten Willen kann man diesen kürzesten Beweis topologisch interpretieren, als Anwendung eines Fixpunktsatzes. Dazu nächste Woche.)
Einen anderen Beweis lernt man in der algebraischen Zahlentheorie: man benutzt die ganzen Gaußschen Zahlen Z[i]: p=a2+b2 ist dann äquivalent zu p=(a+bi)(a-bi), und das ist äquivalent dazu, daß p keine Primzahl in Z[i] ist. Daß p=1 mod 4 keine Primzahl in Z[i] ist, kann man aber leicht mit einem elementaren Spezialfall des quadratischen Reziprozitätssatzes zeigen, siehe Abschnitt 2.1.3. hier.

Mit Modulformen kann man den 2-Quadrate-Satz in einen größeren Zusammenhang einordnen (und neu beweisen) wie folgt:

Sei r(n) die Anzahl der Möglichkeiten, n als Summe zweier Quadrate zu zerlegen.
Z.B. r(5)=2, weil 5=22+12=12+22 die beiden einzigen Möglichkeiten sind.

Die Reihe

θ32(q) = 1/4 + Σ r(n)qn = 1/4+q+q2+q4+2q5+q8+2q9+…

ist eine Modulform (mit Gewicht 1 und Stufe 4, d.h. θ32(e2πiAz)=(cz+d)&theta32(e2πiz) für alle A aus Γ0(4) – das muß man natürlich erst nachrechnen).

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http://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinreihe

Man kann die Theorie der Modulformen benutzen, um zu zeigen, daß &theta32 mit einer bestimmten Eisensteinreihe übereinstimmt.
Die Koeffizienten dieser Eisensteinreihe kann man aber berechnen: wenn n eine Primzahl ist, die bei Division durch 4 Rest 1 läßt, dann hat die Eisensteinreihe den Summanden 2qn.
Also ist r(n)=2, d.h. n hat eine (bis auf Reihenfolge der Summanden eindeutige) Darstellung als Summe zweier Quadrate.

Der 2-Quadrate-Satz folgt also aus der Gleichheit zweier Modulformen.

Es gibt viele andere zahlentheoretische Anzahlen, die sich als Koeffizienten von Modulformen ‘kodieren’ lassen. Eine Übersicht findet sich in Zagiers Artikel “Ramanujan an Hardy: Vom ersten bis zum letzten Brief”

Was ist mit Zahlen, die keine Primzahlen sind?
Zunächst ist klar: wenn Primzahlen Summen je zweier Quadrate sind, dann gilt das auch für ihr Produkt – das folgt aus der Formel (x2+y2)(z2+w2)=(xz+yw)2+(xw-yz)2.
Und man kann dann (aus dem 2-Quadrate-Satz für Primzahlen) leicht herleiten: eine Zahl ist Summe zweier Quadrate, wenn in der Primfaktorzerlegung jede Primzahl, die bei Division durch 4 Rest 3 läßt, in gerader Anzahl (z.B. 0 mal) vorkommt. [editiert]
Vgl. Abschnitt 3.1. hier.

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Kommentare (3)

  1. #1 michael
    12. März 2010

    > wenn in der Primfaktorzerlegung eine gerade Anzahl (z.B. 0) an Primzahlen, die bei Division durch 4 Rest 3 lassen, vorkommt. < das ist missverständlich formuliert: 21 = 3*7 ist keine Summe von 2 Quadraten. Aus dem zitierten Dokument: > wenn für jede Primzahl p ≡ 3 (mod 4) ihre Vielfachheit νp (n) gerade ist < Wo kann man einen Beweis mit Hilfe von Modulformen nachlesen?

  2. #2 Thilo Kuessner
    12. März 2010

    Stimmt, das werde ich gleich korrigieren.

    Die 2. Frage kann ich leider nicht beantworten. Ich habe das aus dem verlinkten Überblicksartikel von Zagier, in dem aber kein Beweis und auch keine Literaturhinweise angegeben werden.

  3. #3 Daniele Mcright
    23. Januar 2016

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