Topologie von Flächen CVIII

Fixpunkte und der 2-Quadrate-Satz.

Letzte Woche hatten wir über die Anwendung von Modulformen auf den 2-Quadrate-Satz geschrieben, also auf die Frage:
Welche Primzahlen lassen sich als Summe zweier Quadratzahlen zerlegen?”

Der schwierige Fall ist dabei der von Primzahlen p=4k+1, denn man sieht leicht, daß 2 sich zerlegen läßt und Primzahlen der Form p=4k+3 nie als Summe zweier Quadatzahlen zerlegt werden können.

Neben den letzte Woche erwähnten gibt es noch eine Reihe weiterer Beweise dafür, daß sich jede Primzahl der Form p=4k+1 als Summe zweier Quadrate zerlegen läßt.
Der wohl kürzeste stammt von Heath-Brown (hier als pdf) und wurde in etwas kompakterer Form von Zagier aufgeschrieben.

Dieser kürzeste Beweis läßt sich auf einen “Fixpunktsatz für Involutionen” zurückführen, der sich mit ein wenig gutem Willen topologisch interpretieren läßt, weshalb er auch hier in die Topologie-Reihe paßt.

Involutionen und Fixpunkte

Eine Involution (einer Menge S) ist eine Abbildung f:S–>S mit der Eigenschaft f(x)=y <==> f(y)=x. Ein Beispiel ist f(x) = – x, denn natürlich hat man – x = y <==> – y = x.
Eine Involution f einer Menge S gibt einem eine Zerlegung der Menge in Paare {x,y} (mit f(x)=y,f(y)=x) und in Fixpunkte von f, also Punkte x mit f(x)=x.

Der Beweis des 2-Quadrate-Satzes wird daraus folgen, daß eine bestimmte Involution f (einer bestimmten endlichen Menge S) mindestens einen Fixpunkt hat.

Wir hatten z.B. in TvF32, TvF 33 TvF 35 oder TvF 37 schon Fixpunktsätze wie den Brouwerschen oder den Banachschen Fixpunktsatz besprochen, die unter bestimmten Voraussetzungen garantieren, daß eine stetige Abbildung einen Fixpunkt hat.

Hier, beim Beweis des 2-Quadrate-Satzes, wird man aber nur einen viel einfacheren Fixpunktsatz brauchen: wenn S eine ungerade Anzahl von Elementen hat, dann hat jede Involution f:S–>S einen Fixpunkt.
Begründung dieses ‘Fixpunktsatzes’: man hat eine Zerlegung von S in Paare {x,y} (mit f(x)=y, f(y)=x) und in Fixpunkte (mit f(x)=x). Die Anzahl der in Paaren auftretenden Punkte ist natürlich gerade. Wenn S eine ungerade Anzahl von Elementen hat, muß es also eine ungerade Anzahl von Fixpunkten geben. (Insbesondere gibt es mindestens einen Fixpunkt.)

Beweis des 2-Quadrate-Satzes

Zunächst: es geht um Lösungen von x2+y2=p. Eine der beiden Zahlen x,y muß gerade sein, sagen wir y. Wir können y durch y/2 ersetzen und man kann also auch gleich nach Lösungen von x2 + 4y2 = p suchen.

Oder, komplizierter ausgedrückt, nach Lösungen von x2 + 4yz = p mit y=z.
(Im folgenden sind x,y,z immer natürliche Zahlen.)

Was hat man mit dieser komplizierteren Darstellung gewonnen? Man kann das ganze als Fixpunktproblem auffassen: auf der (endlichen) Menge S={(x,y,z):x2+4yz=p} sucht man nach Fixpunkten der “Involution” f(x,y,z)=(x,z,y).
(Ein Fixpunkt (x,y,z) ist eine Lösung von f(x,y,z)=(x,y,z). Hier also (x,z,y)=(x,y,z), was zu y=z äquivalent ist.)

Die Idee ist nun folgende : wenn S eine ungerade Anzahl von Elementen hat, dann muß jede Involution f:S–>S einen Fixpunkt haben (siehe oben).
Umgekehrt, wenn es (irgendeine) Involution mit einer ungeraden Anzahl von Fixpunkten (z.B. genau einem Fixpunkt) gibt, dann hat S eine ungerade Anzahl von Elementen.

Um zu beweisen, daß f:S–>S einen Fixpunkt hat, genügt es also, irgendeine andere Involution g:S–>S anzugeben, die eine ungerade Anzahl von Fixpunkten hat.

Eine solche Abbildung g:S–>S wurde 1990 von Don Zagier in der Arbeit “A One-Sentence Proof That Every Prime p=1 (mod 4) Is a Sum of Two Squares” angegeben (womit er den Original-Beweis von Heath-Brown in kompakterer Form zusammenfaßt).

Die Involution g:S–>S ist definiert mit einer Fallunterscheidung:

für x ≤ y-z setze g(x,y,z)=(x+2z,z,y-x-z)
für y-z ≤ x ≤ 2y setze g(x,y,z)=(2y-x,y,x-y+z)
für x > 2y setze g(x,y,z)=(x-2y,x-y+z,y).

(Man muß natürlich erst nachrechnen, daß für (x,y,z) aus S, d.h. x2+4yz=p, auch g(x,y,z) wieder zu S gehört.)

Wenn p eine Primzahl der Form p=4k+1 ist, dann ist (1,1,k) ein Element aus S und man prüft leicht nach, daß (1,1,k) der einzige Fixpunkt (in S) der Abbildung g ist.
(Man sieht leicht, daß es im 1. und 3. Fall keine Fixpunkte gibt. Im 2. Fall muß für jeden Fixpunkt x=y gelten. Weil x dann ein Teiler der Primzahl p=x2+4xz ist, folgt x=1.)

Daraus folgt dann, wie gesagt, daß auch die Involution f(x,y,z)=(x,z,y) einen Fixpunkt haben muß, also ein Tripel (x,y,z) in S mit y=z.
Tripel in S sind Lösungen von x2+4yz=p, Fixpunkte von f sind also Lösungen von x2+4y2=p. Wir bekommen also eine Zerlegung von p als Summe zweier Quadratzahlen.

Topologische Interpretation

Mit ein wenig gutem Willen kann man den oben verwendeten Fixpunktsatzes topologisch interpretieren, nämlich als Spezialfall eines allgemeinen Fixpunktsatzes für Involutionen (beliebiger Räume S):
Wenn die Euler-Charakteristik von S ungerade ist, dann hat jede stetige Involution f:S–>S mindestens einen Fixpunkt.

Wenn S eine endliche Menge ist, dann ist die Euler-Charakteristik einfach die Anzahl der Punkte (und jede Abbildung ist stetig) und man bekommt den oben verwendeten Fixpunktsatz.

Oder in Zagiers Worten:

the basic principle we used: “The cardinalities of a finite set and of its fixed-point set under any involution have the same parity”, is a combinatorial analogue and special case of the corresponding topological result: “The Euler characteristics of a topological space and of its fixed-point set under any continuous involution have the same parity.”

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107

D. R. Heath-Brown (1984): Fermat’s two-squares theorem. Invariant 1984, 3–5; per bibl.
Zagier, D. (1990). A One-Sentence Proof That Every Prime p≡1(\mod 4) Is a Sum of Two Squares The American Mathematical Monthly, 97 (2) DOI: 10.2307/2323918

Kommentare

  1. #1 michael
    19. März 2010

    Ausgesprochen clever. Man rechnet das nach, es stimmt, und dann denkt man doch an Yu. I. Manin: ‘A good proof is one that makes you wiser.’

  2. #2 ReyesIda
    12. Juni 2010

    It’s known that cash can make people free. But how to act if one does not have money? The one way only is to get the lowest-rate-loans.com and bank loan.

    Das ist jetzt ungefähr das 10. Mal, das ich einen Werbelink von Ihnen lösche. Jetzt lassen Sie es doch endlich mal gut sein.

    This is about the 10th time that I am to remove one of your links. It sucks!