Modulare Knoten

Vor 3 Wochen hatten wir über die Kleeblatt-Schlinge geschrieben:
i-89ef2dc33599c5e326edeb386f5ed717-TrefoilKnot-01.png

Letzte Woche ging es wegen des Steenrod-Geburtstags um Faserbündel.
Ein Beispiel eines Faserbündels war das Komplement der Kleeblattschlinge: wie unten abgebildet läßt es sich in Kreise zerlegen und ist dann ein Faserbündel, dessen Fasern Kreise sind und dessen Basis die Modulfläche (TvF 91) ist.

i-ed8e00637ceb0f474aa7f57c6e25720c-ghys047b.jpg

Copyright 2010 Jos Leys

Andererseits kommt die Kleeblattschlinge auch im Lorenz-Attraktor vor
(dazu und zum Lorenz-Attraktor nächste Woche mehr).

Das Bild unten rechts (von Jos Leys, Quelle: http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-lorenz) zeigt eine Kleeblattschlinge, die als periodischer Orbit im Lorenz-Attraktor vorkommt.

i-afc42cfec762cff3510e7a85e4e87ae3-lorenz_attractor01.gif

Geodätischer Fluß auf der Modulfläche

Wie vorletzte Woche beschrieben, ist das Komplement der Kleeblattschlinge gerade das Einheits-Tangentialbündel der Modulfläche (d.h. die Fasern des ganz oben abgebildeten Kreis-Bündels sind die Geschwindigkeitsvektoren der Länge 1 auf der Fläche).

Auf dem Einheits-Tangentialbündel einer Fläche hat man den geodätischen Fluß (TvF 74): man nimmt die Geschwindigkeitsvektoren auf der Fläche, und diese fließen in die jeweils von ihnen selbst angegebene Richtung:

Der geodätische Fluß auf (dem Einheitstangentialbündel der) hyperbolischen Ebene oben rechts hat natürlich keine periodischen Flußlinien: alles fließt in eine Richtung.
Anders ist das auf (dem Einheitstangentialbündel der) geschlossenen Flächen (in TvF 79 hatten wir mal periodische Geodäten auf der Brezelfläche – die entsprechenden Flußlinien des geodätischen Flusses sind ebenfalls periodisch) oder eben auf der Modulfläche: dort gibt es periodische Flußlinien.

Wenn man, wie gehabt, sich das Einheits-Tangentialbündel der Modulfläche als Komplement der Kleeblattschlinge denkt, dann sind die periodischen Flußlinien Knoten (im Komplement der Kleeblattschlinge).
Man bezeichnet diese periodischen Flußlinien als modulare Knoten.

Ghys hat bewiesen, daß man alle modulare Knoten (und nur diese) als periodische Flußlinien im Lorenz-Attraktor finden kann. Ein ziemlich überraschender Zusammenhang, denn der Lorenz-Attraktor hat ja eigentlich mit dem geodätischen Fluß der Modulfläche nichts zu tun.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113