Axiome sind relativ unbedeutend.

In Kapitel 5 von “Wie Mathematiker ticken” geht es um Bourbaki, die Axiomatisierung und die große Vereinheitlichung der Mathematik.

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Heute setzt man, um die euklidische Geometrie effizient zu bewältigen, bei den Axiomen der reellen Zahlen an, geht sodann mit Hilfe der Sprache Descartes’ (der kartesianischen Koordinaten) zur Geometrie über, setzt mehrere geometrische Tatsachen (darunter die Euklid-Hilbert-Axiome) als Theoreme ein und leitet aus diesen Tatsachen schließlich nach Art des Euklid geometrische Theoreme ab.

Wie sieht Ruelle nun also die Rolle der Axiome?

Sie sind relativ unbedeutend. Das mag überraschen nach all dem Gewese, das wir um die Definition der Mathematik mit Hilfe von Axiomen gemacht haben.
In der mathematischen Praxis geht man von einer Reihe bekannter Tatsachen aus: Dies können Axiome sein oder, was häufiger der Fall ist, bereits bewiesene Theoreme (wie der Satz des Pythagoras in der euklidischen Geometrie). Aus diesen Fakten werden sodann neue Resultate abgeleitet.

Im 20. Jahrhundert gab es noch einmal einen Versuch, die Mathematik auf eine einheitliche Grundlage zu stellen: “Nicolas Bourbaki”1, ein Projekt junger französischer Mathematiker (ab 1934) “die Analysis auf absolut rigorose Weise zu entwickeln, bis hin zur Stokes-Formel”, ausgehend von den Axiomen der Mengenlehre.

Diese Arbeiten hatten erhebliche normative Auswirkungen: Notation und Terminologie wurden sorgfältig erörtert und strukturelle Aspekte der Mathematik äußerst detailliert durchleuchtet. Im Rückblick ist Bourbakis rigorose, vereinheitlichende und systematische Denkweise eindeutig ein wichtiger Bestandteil der Mathematik des 20. Jahrhunderts – auch wenn sie nicht allen gefiel!

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Ableitung von Summen, aus Bourbaki: “Functions of a real variable”

Über Bourbaki gibt es viele Anekdoten. (Lieven le Bruyn hat in den letzten Monaten einige dieser Anekdoten recherchiert und auf “neverendingbooks” veröffentlicht, z.B. hier oder hier.) Ruelle erzählt auch noch ein paar Anekfoten über Bourbaki und speziell André Weil und kommt letztlich zum Schluß:

Und was wurde aus Bourbaki? Er veränderte sich von jung und revolutionär über wichtig und etabliert zu tyrannisch und senil. […] Die Mathematik hat die Ideen Bourbakis in sich aufgenommen und ist weitergezogen.

1Vieles, was man heute in den ersten Semestern eines Mathematikstudiums lernt, geht (nicht inhaltlich, aber im formalen Aufbau und den Bezeichnungsweisen) auf Bourbaki zurück: das Zeichen ø für die leere Menge, das Zeichen ==> für die Implikation, die Abkürzungen N, Z, Q, R, C für die Mengen der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen (nebst der Schreibweise mit dem doppelten Strich ℕ) sowie die Wörter bijektiv, injektiv und surjektiv.

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http://oldblog.computationalcomplexity.org/media/bourbaki.jpg

Ruelle: Wie Mathematiker ticken
1 Wissenschaftliches Denken
2 Was ist Mathematik?
3 Das Erlanger Programm
4 Mathematik und Ideologie
5 Die Einheitlichkeit der Mathematik
6 Ein kurzer Blick auf algebraische Geometrie und Arithmetik
7 Mit Alexander Grothendieck nach Nancy
8 Strukturen
9 Die Rechenmaschine und das Gehirn
10 Mathematische Texte
11 Ehrungen
12 Die Unendlichkeit: Nebelwand der Götter
13 Fundamente
14 Strukturen und die Entwicklung von Konzepten
15 Turings Apfel
16 Mathematische Erfindung: Psychologie und Ästhetik
17 Das Kreistheorem und ein unendlich-dimensionales Labyrinth
18 Fehler!
19 Das Lächeln der Mona Lisa
20 „Tinkering” und die Konstruktion mathematischer Theorien
21 Mathematische Erfindung
22 Mathematische Physik und emergentes Verhalten
23 Die Schönheit der Mathematik

Kommentare (6)

  1. #1 Wb
    17. Mai 2010

    Wie sieht Ruelle nun also die Rolle der Axiome?

    Sie sind relativ unbedeutend.

    Relativ zu was? Zu den Tatsachen?

    SCNR + gute Arbeit,
    MFG
    Wb

  2. #2 Thilo Kuessner
    18. Mai 2010

    Relativ zu der Tatsache, daß im Prinzip alles aus den Axiomen aufgebaut ist, dürfte wohl gemeint sein.
    Soll heißen: wer Geometrie betreibt, benutzt i.d.R. nicht direkt die Axiome, sondern “Tatsachen” wie den Satz des Pythagoras, den Satz von Thales, die Kongruenzsätze usw.
    Grundsätzlich lassen sich alle diese Sätze aus den Axiomen herleiten. Aber für den “arbeitenden Mathematiker” sind die abgeleiteten “Tatsachen” wichtiger als die Axiome.

  3. #3 Wb
    20. Mai 2010

    Nochmal ne Frage an den Fachmann: Wie stabil [1] ist die mathematische Axiomatik [2] eigentlich zurzeit?
    Lässt sich hierzu pauschal und in wenigen Worten etwas Sinnvolles schreiben?

    MFG
    Wb

    [1] im Sinne von: tauglich, nachhaltig und “grössere Anpassungen demnächst eher nicht zu erwarten”
    [2] Wenn sich der Webbaer richtig erinnert, dann gab es dbzgl. bereits einmal ernsthafte Probleme.

  4. #4 Thilo Kuessner
    20. Mai 2010

    Wie gesagt, als “arbeitender Mathematiker” macht man sich über solche Grundlagen-Fragen nicht so oft Gedanken, sondern sieht einfach die bekannten Tatsachen eines Gebiets als ‘gegeben’ an.

    Man geht zum Beispiel von den bekannten Eigenschaften der reellen Zahlen aus, ohne sich täglich über deren axiomatische Begründung (die grundsätzlich natürlich möglich und bekannt ist, und im Studium irgendwann in der zweiten oder dritten Woche auch mal behandelt wurde) den Kopf zu zerbrechen.

    Ob Anpassungen der mathematischen Axiomatik zu erwarten sind – gelegentlich gibt es da schon mal Ansätze, über ein Beispiel hatte ich in http://www.scienceblogs.de/mathlog/2009/11/freedman-komplexitatsklassen.php geschrieben. Es ist aber sicher nicht damit zu rechnen, daß sich an den Grundlagen der Schul- und Alltagsmathematik etwas ändern wird 🙂

  5. #5 KariLogan
    9. Juni 2011

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