” Wenn CD aber AB nicht misst, und man nimmt bei AB, CD abwechselnd immer das kleinere vom größeren weg, dann muss (schließlich) eine Zahl übrig bleiben, die die vorangehende misst.”
(Aus Euklid, Die Elemente)

Der euklidische Algorithmus – der älteste bekannte nicht-triviale Algorithmus und sicherlich einer der am häufigsten verwendeten.

Eigentlich berechnet man mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen.
(Man kann mit dem Euklidischen Algorithmus z.B. auch den größten gemeinsamem Teiler zweier Polynome oder zweier Gaußscher Zahlen berechnen.
Allgemein, wenn man Elemente in einem Ring betrachten, z.B. dem Ring Z der ganzen Zahlen, dem Ring Z[i] der Gaußschen Zahlen oder dem Ring R[x] der Polynome in x, dann kann man versuchen, größte gemeinsame Teiler mit dem euklidischen Algorithmus zu berechnen. Diejenigen Ringe, in denen der euklidische Algorithmus immer funktioniert, heißen per Definition euklidische Ringe. Beispiele für euklidische Ringe sind die drei obengenannten. Viele, aber nicht alle, Hauptidealringe sind euklidisch.)

Praktische Bedeutung hat der euklidische Algorithmus heute vor allem, weil er in RSA verwendet wird, d.h. praktisch jedesmal wenn man seine Daten im Internet verschlüsselt übertragen will. Was inzwischen wohl Millionen mal täglich passieren dürfte.
(Allerdings soll in den nächsten 10 Jahren die Verschlüsselung im Internet von RSA auf Elliptische-Kurven-Kryptographie umgestellt werden.)

Auch beim Verständnis der Selbstabbildungen von Flächen, also einem eigentlich topologischen (und nicht zahlentheoretischen) Thema, benutzt man den euklidischen Algorithmus.

Vor zwei Wochen hatten wir über Dehn-Twists geschrieben, das ist die unten veranschaulichte Selbstabbildung eines Zylinder, bei der die grüne Kurve ‘einmal um die rote Kurve herumgedreht’ (getwistet) wird.

i-5bae16daa0c26a45fc84741888922dd3-Dehn_twist.png

Man denke sich den Zylinder als Teil einer geschlossenen Fläche (z.B. eines Torus). Man bekommt dann eine Selbstabbildung der geschlossenen Fläche: außerhalb des Zylinders wird einfach jeder Punkt auf sich selbst abgebildet.

Letzte Woche hatten wir über Selbstabbildungen des Torus geschrieben:

i-acd639469336b948e0969ce88a3ffbba-Fundamental_group_torus2.png

Zu jeder 2×2-Matrix
[a b]
[c d]
mit ganzzahligen Einträgen hat man eine Selbstabbildung des Torus, die den oben abgebildeten Meridian a auf aa+cb, und die Longitude b auf ba+db abbbildet.
(Und jeder Homöomorphismus des Torus ist homotop zu einer solchen, durch eine ganzzahlige 2×2-Matrix gegebenen Abbildung.)

Die Dehn-Twists am Meridian bzw. der Longitude entsprechen dabei gerade den Matrizen
[1 1]
[0 1]
bzw.
[1 0]
[1 1].
(Movable Type hat noch immer kein LaTeX, deshalb diese komischen Matrizen.)

Man kann nun den euklidischen Algorithmus benutzen, um zu beweisen, daß jede ganzzahlige 2×2-Matrix (mit Determinante 1) sich als ein Produkt aus diesen beiden Matrizen schreiben läßt.
Auf die Topologie übertragen bedeutet das: jede Selbstabbildung des Torus ist (modulo Homotopie) eine Hintereinanderausführung einer Reihe von Dehn-Twists an Longitude und Meridian.

Wie kommt der euklidische Algorithmus ins Spiel?
Zunächst ist
[1 n] === [1 1]n
[0 1] === [0 1]
und
[1 0] === [1 0]n
[n 1] === [1 1].
Man muß also zeigen, daß jede ganzzahlige Matrix ein Produkt solcher oberer und unterer Dreiecksmatrizen ist.
Und weil jede ganzzahlige Matrix mit erster Zeile [1 0] (und Determinante 1) von obiger Form ist, genügt es zu zeigen, daß man aus einer beliebigen ganzzahligen Matrix durch Multiplikation mit negativen Potenzen der obigen Dreiecksmatrizen eine Matrix mit erster Zeile [1 0] bekommen kann.
Nun ist aber
[a b] [1 -n] === [a b-na]
[c d] [ 0 1] === [********]
und
[a b] [ 1 0] === [a-nb b]
[c d] [-n 1] === [********],
die Umformung der ersten Zeile entspricht also gerade einem Schritt im euklidischen Algorithmus (für ein passend gewähltes n). Weil man mit dem euklidischen Algorithmus jedes Paar ganzer Zahlen [a b] letztlich in das Paar [1 0] umformen kann, kann man also jede ganzzahlige Matrix aus SL(2,Z) durch Multiplikation mit oberen und unteren Dreiecksmatrizen in eine Matrix überführen, deren erste Zeile [1 0] ist, also wieder eine untere Dreiecksmatrix.
Womit bewiesen wäre, daß man jede Matrix aus SL(2,Z) als Produkt aus oberen und unteren Dreicksmatrizen schreiben kann. Also jede Selbstabbildung des Torus als Produkt aus Dehn-Twists an Meridian und Longitude. (Jedenfalls ‘modulo Homotopie’.)


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