Euklidischer Algorithmus mit Henkeln.
Letzte Woche hatten wir über den euklidischen Algoritmus und über Dehn-Twists und Kurven auf dem Torus geschrieben.
Ein Dehn-Twists war die unten veranschaulichte Selbstabbildung eines Zylinders, bei der die grüne Kurve ‘einmal um die rote Kurve herumgedreht’ (getwistet) wird. Man denke sich den Zylinder als Teil einer geschlossenen Fläche, dann bekommt man eine Selbstabbildung der geschlossenen Fläche: außerhalb des Zylinders wird einfach jeder Punkt auf sich selbst abgebildet.
Genauer handelt es sich im Bild um den Dehn-Twist an der roten Kurve.
Zu jeder geschlossenen Kurve auf einer Fläche kann man sich einen die Kurve umgebenden Zylinder hernehmen und dann den Dehn-Twist an dieser Kurve definieren.
Letzte Woche hatten wir dies für den Torus getan, wir hatten Dehn-Twists an der Longitude und am Meridian des Torus genommen und dann mit dem euklidischen Algorithmus bewiesen, daß sich jede Selbstabbildung des Torus (‘modulo Homotopie’, d.h. jede Matrix aus SL(2,Z)) durch wiederholtes Hintereinanderausführen von Dehn-Twists an Longitude und Meridian gewinnen läßt.
Bewiesen hatten wir das letztlich mit dem euklidischen Algorithmus, mit dessen Hilfe man herleiten kann, daß sich jede geschlossene Kurve durch wiederholte Anwenungen von Dehn-Twists an Longitude und Meridian in eine beliebige andere geschlossene Kurve abbilden läßt.
Geht es so etwas auch für Flächen mit mehreren Henkeln? Also kann man auf einer Fläche mit mehreren Henkeln eine beliebige Kurve durch geeignete Dehn-Twists in eine beliebige andere Kurve abbilden?
Die Antwort ist ja – zum Beispiel für die Fläche mit zwei Henkeln genügen Dehn-Twists an den fünf oben grün eingezeichneten Kurven, um je zwei beliebige nicht-zerlegende Kurven ineinander überführen zu können. Natürlich, wenn man zum Beispiel eine komplizierte Kurve (wie die blau eingezeichnete) in eine andere komplizierte Kurve überführen will, muß man in der Regel sehr viele Dehn-Twists nacheinander ausführen.
Das Bild oben stammt aus dem Computerspiel “Teruaki” von Kazushi Ahara, das man hier herunterladen kann:
(Es gibt auch noch eine Version für Mathematica 6 von Takuya Sakasai, hier das Manual.)
Diese Algorithmen sind also sozusagen “euklidische Algorithmen mit Henkeln”. (Mit dem euklidischen Algorithmus für ganze Zahlen konnte man ja Kurven auf dem Torus mit geeigneten Dehn-Twists auf andere Kurven abbilden. Mit diesen Algorithmen kann man jetzt Kurven auf Flächen mit Henkeln mit geeigneten Dehn-Twists auf andere Kurven abbilden.)
Bewiesen wurde diese Tatsache (daß man nicht-zerlegende Kurven auf Flächen mit Henkeln mit geeigneten Dehn-Twists auf andere nicht-zerlegende Kurven abbilden kann) schon von Max Dehn, 1964 bewies Lickorish dann, daß (auf einer Fläche mit g Henkeln) bereits Dehn-Twists an 3g-1 geeignet gewählten Kurven genügen. Zum Beispiel für den Torus, g=1, braucht man Dehn-Twists an Longitude und Meridian. Für die Brezel, g=2, braucht man Dehn-Twists an den 5 oben grün eingezeichneten Kurven.
Einen kurzen Beweis findet man im 12. Kapitel von Lickorish’s Buch “An introduction to knot theory”.
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