80 Jahre Unvollständigkeitssatz

Herr Schildkröte sagt, daß kein hinreichend mächtiger Plattenspieler in dem Sinn vollkommen sein kann, daß er jeden möglichen Ton auf einer Platte widergeben kann. Gödel sagt, daß kein hinreichend mächtiges formales System in dem Sinn vollkommen sein kann, daß es jede einzelne wahre Aussage als einen SATZ widergeben kann. Wie Herr Schildkröte aber im Hinblick auf Grammophone betont, kommt einem das nur dann als Mangel vor, wenn man unrealistische Erwartungen darüber hegt, was formale Systeme leisten sollten. (aus “Gödel, Escher, Bach”)

Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz, also die Tatsache, daß es mathematische Sätze gibt, die sich weder beweisen noch widerlegen lassen, wurde am 22.10.1930 erstmals von Gödels Doktorvater Hans Hahn auf der Tagung der Wiener Akademie der Wissenschaften vorgestellt (Gödel hatte dazu schon am 6.9. in Königsberg einen wenig beachteten Vortrag gehalten), erschienen ist der Artikel “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I” dann 1931 in “Monatshefte für Mathematik und Physik”:

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In der Öffentlichkeit ist dies vielleicht der bekannteste mathematische Satz des 20.Jahrhunderts, auch die bekannte BBC-Serie “Story of Maths” hat natürlich eine Episode dazu:

Es fällt auf, daß die “Story of Maths”- Folge zum 20.Jahrhundert fast ausschließlich der Logik gewidmet ist (inkl. der Anwendung auf Hilberts 10.Problem über diophantische Gleichungen) und daß von der aktuellen Mathematik neben der Logik nur noch die algebraische Geometrie in Teil 5/4 vorkommt. Während man als “arbeitender Mathematiker” den Unvollständigkeitssatz zwar kennt, aber eigentlich nie benutzt, gilt er den Fernseh-Machern (und vielen mathematischen Laien) offenbar als bedeutendster mathematischer Satz des 20.Jahrhunderts.

Tim Gowers formuliert es im Vorwort zu “Mathematics: A very short introduction” so:

I do presuppose some interest on the part of the reader rather than trying to drum it up myself. For this reason I have done without anecdotes, cartoons, exclamation marks, jokey chapter titles, or pictures of the Mandelbrot set. I have also avoided topics such as chaos theory and Gödel’s theorem, which have a hold on the public imagination out of proportion to their impact on current mathematical research

(Die Mandelbrotmenge spielt übrigens durchaus eine Rolle in der theoretischen Mathematik, einige Bezüge werden in diesem populärwissenschaftlichen Artikel von Tom Leinster hergestellt.)

Auf die mathematische Grundlagenforschung hat der Unvollständigkeitssatz jedenfalls wenig Einfluß gehabt – die entwickelt sich trotz der unklaren Grundlagen stetig weiter, auch wenn wohl die meisten Mathematiker kaum Voevodskys provokanten Thesen zur möglichen Inkonsistenz der Mathematik zustimmen würden.

Noch ein anderer Aspekt in der öffentlichen Rezeption des Unvollständigkeitssatzes ist die häufige Verwendung als Argumentationshilfe durch Astrologen oder Homöopathen etwa in der Art, man könne ihre Theorien wegen des Unvollständigkeitssatzes weder widerlegen noch beweisen. Auch die dubiose Templeton-Stiftung hat das Thema jetzt entdeckt und kürzlich angekündigt, Millionen in die (von Mathematikern eher als Rand-Thema betrachtete) Forschung zum Unvollständigkeitssatz investieren: unter der Überschrift “Foundational Questions in the Mathematical Sciences” vergibt sie Förderungen zwischen 50.000 und 400.000 $ für Projekte zu diesem Thema. Aus der Ausschreibung:

The Foundation’s 2010 Funding Priority on “Foundational Questions in the Mathematical Sciences” focuses on two large issues in this exciting domain.

The first concerns Gödel’s Incompleteness Theorems and related developments in the mathematical sciences that remain the subject of great scholarly discussion. Stanley Jaki once argued that the theorems place strict limits on human understanding of the universe. Freeman Dyson sees them as a guarantee that there will always be new things to discover. Roger Penrose claims that they defeat the goals of artificial intelligence and show that the human mind can never be emulated by a Turing machine.

In a related vein, the Foundation also wishes to encourage scholarly inquiry into the promise and limits of artificial intelligence (AI). Three decades ago, there was huge optimism about the quest for AI. All manner of philosophical conundrums were posed in expectation of the rapid development of super-human artificial intelligence. Today, however, the subject has largely faded from public view, in part because the field encountered new problems and discovered that older ones were harder to solve than anyone imagined.

Die Wikipedia schreibt zu diesem Thema: “Obwohl Gödel sich im Laufe seines Lebens wiederholt als Platoniker zu erkennen gab, wurde sein Unvollständigkeitssatz wiederholt in einem subjektivistischen Sinn interpretiert. Auch schien Gödels Teilnahme am Wiener Kreis eine Nähe des Unvollständigkeitssatzes mit dem logischen Positivismus nahezulegen, der dem Platonismus in vielerlei Hinsicht entgegengesetzt ist. Gödels zurückhaltende, konfliktscheue Art trug dazu bei, die Fehlinterpretationen am Leben zu erhalten.”

Kommentare

  1. #1 Jörg
    25. Oktober 2010

    Das mit der Templeton-Foundation ist interessant. Deren Agenda ist es ja, jegliche Propaganda zu unterstützen dass Religion und Wissenschaft vereinbar wären. Wenn die da jetzt Geld reinpumpen klingt das für mich wie die Esos, die sich das zunutze machen wollen. Kommt ja unterschwellig in der Ausschreibung schon raus, was denn das Ergebnis zu sein hätte: Das Universum ist so geheimnisvoll dass genug Platz für Gott da ist. Bastarde.

  2. #2 Jörg
    25. Oktober 2010

    Das mit der Templeton-Foundation ist interessant. Deren Agenda ist es ja, jegliche Propaganda zu unterstützen dass Religion und Wissenschaft vereinbar wären. Wenn die da jetzt Geld reinpumpen klingt das für mich wie die Esos, die sich das zunutze machen wollen. Kommt ja unterschwellig in der Ausschreibung schon raus, was denn das Ergebnis zu sein hätte: Das Universum ist so geheimnisvoll dass genug Platz für Gott da ist. Bastarde.

  3. #3 Ulrich Berger
    25. Oktober 2010

    Vielleicht das einzige Theorem, dem ein ganzes Gedicht gewidmet wurde: http://www.sternenfall.de/Enzensberger–Hommage_an_G0366del.html

  4. #4 Jörg
    25. Oktober 2010

    Das mit der Templeton-Foundation ist interessant. Deren Agenda ist es ja, jegliche Propaganda zu unterstützen dass Religion und Wissenschaft vereinbar wären. Wenn die da jetzt Geld reinpumpen klingt das für mich wie die Esos, die sich das zunutze machen wollen. Kommt ja unterschwellig in der Ausschreibung schon raus, was denn das Ergebnis zu sein hätte: Das Universum ist so geheimnisvoll dass genug Platz für Gott da ist. Bastarde.

  5. #5 Thilo
    25. Oktober 2010

    Templeton und ihre Aktivitäten (in der Mathematik und in anderen Fächern) wären sicher mal ein Thema für einen eigenen Beitrag. Mein Eindruck ist allerdings nicht, daß es Templeton um die Förderung einer bestimmten Weltanschauung oder Religion geht (sie unterstützen ja auch erklärte Atheisten) sondern allem Anschein nach finanzieren sie einfach jeden, der statt seriöser (und falsifizierbarer) Forschung lieber weltanschauliche Debatten in die Universitäten und Forschungseinrichtungen zu tragen versucht. Aber das müßte man sich natürlich mal genauer im Detail anschauen.

  6. #6 schlappohr
    25. Oktober 2010

    Laut Wikipedia kann der Satz von Goodstein nicht mit dem System der Peano-Axiome bewiesen werden. Damit ist dieser Satz ein Beispiel für die von Gödel bewiesene Unvollständigkeit einer formalen Sprache. Um den Satz zu beweisen, benötigt man die Theorie der Ordinalzahlen, also eine andere formale Sprache (habe ich das richtig verstanden?)
    Kann jeder Satz, der in einer bestimmten formalen Sprache beweisbar/widerlegbar ist, in einer anderen formalen Sprache bewiesen/wiederlegt werden? Oder anders ausgedrückt, ist die Vereinigung aller formalen Sprachen (falls es das gibt) vollständig? Oder gibt es Sätze, die in jedem System unbeweisbar/unwiderlegbar sind?

  7. #7 Saidiph
    25. Oktober 2010

    Heute hatte ich eine Debatte mit einem Pfarrer und er hat den Unvollständigkeitssatz angeführt, um ihn quasi für seine Argumentation zu benutzen. Dummerweise konnte ich nicht wirklich mich dazu äußern, weil ich nicht genau von der Tragweite und den Einzelheiten Bescheid weiß. Allerdings fühlt es sich für meine Auffassung falsch an, Gott in den Kitt nicht beweisbarer Aussagen zu stopfen.

  8. #8 Thilo
    26. Oktober 2010

    Oder anders ausgedrückt, ist die Vereinigung aller formalen Sprachen (falls es das gibt) vollständig?

    Ich denke nicht. Gödel schreibt in der Einleitung seiner Arbeit http://www.springerlink.com/content/p03501kn35215860/fulltext.pdf

    “Dieser Umstand liegt nicht etwa an der speziellen
    Natur der aufgestellten Systeme, sondern gilt für eine sehr weite
    Klasse formaler Systeme~ zu denen insbesondere alle gehören, die
    aus den beiden angeführten [gemeint sind Principia Mathematica und Zermelo-Franekel-Mengenlehre] durch Hinzufügung endlich vieler Axiome
    entstehen”

    also wenn man weitere Axiome hinzufügt, ändert sich nichts an der Unvollständigkeit (man kann aber mit weiteren Axiomen natürlich Inkonsistenzen, also Widersprüche zwischen Axiomen erzeugen).

  9. #9 schlappohr
    26. Oktober 2010

    @Thilo

    Mit Vereinigung meinte ich nicht die Erweiterung des einen formalen Systems mit den Axiomen eines anderen. Ich meinte eher die Gesamtheit aller formalen Syteme. Wenn ich also einen Satz in dem einen System nicht beweisen kann, nehme ich ein anderes System, in dem das geht, wie bei dem Satz von Goodstein. Finde ich dann zu jedem Satz ein “passendes” System? Wenn das nicht geht, dann gibt es also Sätze, die in *jedem* System unbeweisbar sind. Wäre mal interessant, welche Sätze das sind, bzw. ob man überhaupt so einen Satz kennt oder nur weiß, dass er existieren muss.
    (Ich hab mich im Studium zeitweise mit formalen Systemen beschäftigt, aber das ist so lange her, dass sich mich nur noch in Schwarzweiß daran erinnern kann. Also sorry für die Fragerei… )

  10. #10 Thilo
    27. Oktober 2010

    Die Fragen sind schon in Ordnung, ich kann nur auf diesem Gebiet keine kompetenten Antworten geben – meine Logik-Vorlesung im Studium ist auch schon ewig her.
    Zu den “passenden” Systemen: Kann man den zu beweisenden Satz (wenn er nicht den übrigen Axiomen widerspricht) nicht einfach als Axiom mit aufnehmen und bekommt dann ein System, in dem dieser Satz sich offensichtlich beweisen läßt? Oder wo liegt das Problem?

  11. #11 georg
    27. Oktober 2010

    @Thilo,
    was die Templeton-Foundation angeht, passt die Einschätzung von Jörg schon ganz gut, meine ich.

  12. #12 Thilo
    27. Oktober 2010

    Den Artikel kannte ich schon. Ich überblicke natürlich nicht alle Aktivitäten der Templeton-Stiftung, aber was man gelegentlich so mitkriegt (Florian hatte ja mal einen Artkel dazu auf http://www.scienceblogs.de/astrodicticum-simplex/2009/10/was-kann-die-physik-letztendlich-schaffen.php ) fördern sie einfach ganz allgemein Leute, die lieber im Nebulösen über letzte Fragen diskutieren statt Forschung im Detail zu komplexen Fragen zu betreiben – offensichtlich mit dem Ziel, die Universitäten durchlässig zu machen für Leute, die lieber reden als denken, um es mal zugespitzt zu formulieren. Ich habe aber nicht den Eindruck, daß sich ihre Förderung auf Anhänger einer einzelnen Religionsgemeinschaft beschränkt.

  13. #13 georg
    28. Oktober 2010

    @Thilo

    Ich habe aber nicht den Eindruck, daß sich ihre Förderung auf Anhänger einer einzelnen Religionsgemeinschaft beschränkt.

    Dein Eindruck ist vermutlich richtig. Aber ist das denn nicht nur eine Masche, um dem ganzen Unternehmen scheinbare Objektivität und dadurch mehr Glaubwürdigkeit zu verleihen?

    Aus welcher Motivation sollte denn diese Stiftung bzw. die Personen, die dahinter stehen Geld, und zwar nicht wenig, aufwenden, um wie du sagst “die Universitäten durchlässig zu machen für Leute, die lieber reden als denken”? Wer würde denn dafür Geld ausgeben, mit welcher Motivation?

    Sieht man dahinter aber die Motivation, die Universitäten empfänglich zu machen für religöse Vorstellungen, ergibt das schon eher Sinn. Das erklärt dann auch die Bereitschaft, dafür Geld auszugeben, sozusagen als Investition für das Leben danach.

    Versuche unter dem Deckmantel der Wissenschaft religiöse Vorstellungen zu verbreiten gibt und gab es, gerade in den USA, ja schon mehrfach.

    mfg georg

  14. #14 georg
    28. Oktober 2010

    @Thilo
    Und wenn man sich ein bisschen im Netz umguckt, findet man z. B. auf einer website der Jesuiten Aussagen wie:

    Die Templeton Foundation hat es sich zur Aufgabe gemacht, den Dialog zwischen Wissenschaftlern, Philosophen und Theologen sowie der Gesellschaft als solcher zu fördern mit dem Ziel, über klar abgesteckte Definitionen zu neuen Einsichten zu gelangen.

    Hat es sich zur Aufgabe gemacht den Dialog zwischen Wissenschaftlern und Theologen zu fördern, um zu neuen Einsichten zu gelangen. Diese “neuen Einsichten” sind vermutlich so neu nicht.

  15. #15 Coen
    16. April 2011

    Hallo und Entschuldigung, dass ich diesen älteren Thread noch einmal ausgrabe. Aber das Problem, dass Saidiph hier hier schildert habe ich auch.

    Es wird im Zusammenhang mit göttlicher Allmacht etc darauf verwiesen, dass “die” Wissenschaft auch nur auf Annahmen und unbeweißbaren Axiomen beruht und dabei eben auch Gödel als Beispiel angebracht.

    Also meine Frage ist, was kann man darauf antworten?

  16. #16 Thilo
    16. April 2011

    Daß man Mathematik auf Axiomen aufbaut, ist eigentlich schon seit Euklid üblich. Die Axiome sind tatsächlich erst einmal Annahmen, die man als gegeben voraussetzt. Soweit mathematische Theorien die Wirklicheit beschreiben sollen, lassen sie sich dann in der Wirklichkeit (oder im Experiment) widerlegen oder eben nicht.
    Zum Beispiel kann man die Relativitätstheorie als aus Axiomen aufgebaute mathematische Theorie betreiben. Aus den Axiomen kann man rein mathematisch Folgerungen ableiten und damit zum Beispiel die Lichtablenkung durch Gravitation oder die Periheldrehung des Merkur berechnen. Weil diese berechneten Werte sich experimentell bestätigen lassen, gilt die Relativitätstheorie als korrekt. Andernfalls wäre sie nur eine mathematische Theorie, die aber nicht unsere Raum-Zeit beschreiben würde.
    Bei Gödel geht es eigentlich um etwas anderes, nämlich daß es in jeder Theorie gewisse logische Paradoxien gibt, die sich nicht auflösen lassen.

  17. #17 Coen
    16. April 2011

    Und eben an diesen Paradoxien zieht er sich eben auf. Zitat:
    Es lässt sich weder zeigen, dass die Beschreibung abgeschlossen/vollständig/widerspruchsfrei ist (weil das Beschreibungssystem sich nicht selbst beweisen kann und alle Referenz selbst wieder unvollständig und letztlich zirkulär ist, Gödel usw.), noch lässt sich zeigen, dass die Methodik Theorie-Empirie abgeschlossen/vollständig/widerspruchsfrei (zB weil man nicht belegen kann, dass alles damit belegt werden kann und jede Referenz selbst wieder unvollständig und letztlich zirkulär ist)

    Das bedeutet doch nur, dass man nicht wissen kann, ob naturwissenschaftliche Beschreibung die einzig richtige (die Wahrheit, die richtige Methode usw.) ist. Das bedeutet für mich: an diese Art und Weise und Voraussetzungen der Naturwissenschaften zu glauben, an den Menschen und sein Erkenntnisvermögen zu glauben.

    Also im Grunde hat er den Gödel nicht verstanden in dem er ihn quasi umwidmet?

  18. #18 Thilo
    16. April 2011

    Es lässt sich weder zeigen, dass die Beschreibung abgeschlossen/vollständig/widerspruchsfrei ist (weil das Beschreibungssystem sich nicht selbst beweisen kann

    Das sind zwei verschiedene Dinge. Nach Gödel läßt sich die Vollständigkeit (der Arithmetik) nicht bewiesen. Daß man ein Beschreibungssystem (aka Axiomensystem) nicht mathematisch beweisen kann, folgt aber nicht erst aus Gödel, sondern ist sowieso klar – deshalb stellt man ja Axiome auf.

    Mathematisch beweisen kann man die Richtigkeit der Methode Theorie-Empirik natürlich tatsächlich nicht. (Und das liegt nicht an Gödel.) Daran hat sich aber bisher niemand gestört, solange man mit Theorie und Empirik zu korrekten “Vorhersagen” (z.B. der “Vorhersage”, daß technische Geräte so funktionieren wie behauptet) kommt. Ich nehme an, daß auch der Diskussionspartner (laut Google handelt es sich ja wohl um diesen) im täglichen Leben technische Geräte benutzt, auf deren durch Theorie und Empirik vorhergesagte Funktionsweise er sich verläßt, auch wenn er sie nicht mathematisch beweisen kann.

    Bei Gödel geht es, wie gesagt, nicht darum, Axiomensysteme zu beweisen (das ist ein Widerspruch in sich), sondern darum, daß man die Vollständigkeit oder Widerspruchsfreiheit von Axiomensystemen nicht beweisen kann.

  19. #19 Coen
    16. April 2011

    Treffer.^^
    Danke für die Erklärung, wieder was gelernt. Ich versuche es denn mal als Erklärung anzubringen.