Im aktuellen Heft 18-3 der Mitteilungen der DMV findet sich ein, ja wie formuliere ich das jetzt: es findet sich ein wirklich erstaunlicher Beitrag zur Mathematikgeschichte.

Es geht noch einmal um den Ishango-Knochen und das Denkmal in Brüssel.

Bereits in der Altsteinzeit, also vor etwa 20.000 bis 30.000 Jahren entwickelten sich vermutlich erste Formen elementaren Rechnens.

erfährt der überraschte Leser, und dann die Geschichte vom rund 22.000 Jahre alten Ishango-Knochen, auf dem man Kerben in Gruppen von 11, 13, 17, 19 findet, was “den Wissenschaftlern” (welchen eigentlich?) angeblich Rätsel aufgeben würde.

11, 13, 17 und 19 sind die einzigen Zahlen zwischen zehn und zwanzig, die sich – ohne Rest – nur durch sich selbst und durch 1 teilen lassen: sie sind allesamt Primzahlen.

erfährt man noch (das jedenfalls ist korrekt) und dann wird es wirklich spektakulär:

Bis heute ist es ein Rätsel, ob die Primzahlen auf dem Knochen Zufall sind oder ein tieferes Zahlenverständnis der Ishango verraten. In jedem Fall ist der so genannte Ishango-Knochen ein hoch interessantes Forschungsobjekt für Mathematiker, Archäologen und Anthropologen.

Ein hoch interessantes Forschungsobjekt? Ein Rätsel, ob es sich bei den Primzahlen um Zufall handelt?

Zunächst: nach gängiger Lehrmeinung begann die Beschäftigung mit Primzahlen vor ca. 2.500 Jahren. Wann die Beschäftigung mit Zahlen eingesetzt hat, ist naturgemäß schwer zu beantworten – ein Gefühl für Anzahlen und Größenordnungen ist möglicherweise schon bei Tieren vorhanden. Man geht eigentlich davon aus, daß sich Rechenfertigkeiten erst entwickelten, nachdem die Menschen in der Jungsteinzeit seßhaft wurden, das wäre dann vielleicht vor ca. 10.000 Jahren und bedeutet natürlich nicht, daß man sich damals bereits mit Teilbarkeit beschäftigt hätte. Als erste Kultur mit ‘höherer’ Mathematik gelten wohl die Sumerer – das wäre dann so ungefähr vor 6.000 Jahren. Die hatten zum Beispiel Näherungsmethoden zur Berechnung von Quadratwurzeln, von einer Beschäftigung mit Primzahlen ist aber nichts bekannt – für die interessierten sich wohl erst die Griechen ca. 500 v. Chr.

Soweit der Stand der Forschung, wie man ihn bei Wikipedia und vermutlich auch in jedem anderen Lexikon findet. Ein Fundstück, daß eine Beschäftigung mit Primzahlen vor 22.000 (statt den bisher belegten 2.500) Jahren beweisen oder auch nur plausibel machen würde, ware also tatsächlich eine ganz, ganz große Sensation. Jedenfalls wenn es denn, wie im Beitrag formuliert, tatsächlich ein Rätsel wäre, ob es sich um einen Zufall handelt.

Eine einfache Wahrscheinlichkeitsrechnung: man notiere zufällig vier ein- oder zweistellige Zahlen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß es sich um vier Primzahlen handelt? Nun, es gibt 25 Primzahlen zwischen 1 und 100. Die Wahrscheinlichkeit, daß eine zufällig gewählte Zahl eine Primzahl ist, beträgt also 0,25=1/4. Die Wahrscheinlichkeit, daß alle vier Zahlen Primzahlen sind, beträgt dann (0,25)4=1/256. Man könnte jetzt noch die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, daß es sich um vier aufeinanderfolgende Primzahlen handelt: von den “25 über 4” = 12.650 Auswahlen vierer Primzahlen gibt es 528 Möglichkeiten für vier aufeinanderfolgende Primzahlen. Die Wahrscheinlichkeit, vier aufeinanderfolgende Primzahlen auszuwählen ist also 1/256×528/12650, und das ist näherungsweise 1/6200. Im Schnitt sollte man also auf jedem 6200-ten Knochen eine Folge von vier aufeinanderfolgenden Primzahlen finden. Und wenn man die vier aufeinanderfolgenden Primzahlen auch noch in der richtigen Reihenfolge will, dann bekommt man noch einen Faktor 24, die vier Primzahlen in richtiger Reihenfolge gibt es also nur auf jedem 148.690-ten Knochen.

Nun ist diese Rechnung sehr vorsichtig, denn ich habe ja die Primzahlen zwischen 1 und 100 zugrunde gelegt. (Die ‘zweistelligen’ Zahlen – ein sehr willkürliches Kriterium, denn natürlich verwendete man damals noch nicht unser Dezimalsystem.) Eigentlich kommt auf den verschiedenen Einkerbungen der beiden Ishango-Knochen sonst keine Zahl vor, die größer als 21 ist. Es erscheint also plausibler, die acht Primzahlen zwischen 1 und 21 für die Wahrscheinlichkeitsberechnung zu verwenden. Führt man dieselbe Rechnung wie oben noch einmal auf dieser Grundlage durch, so erhält man näherungsweise 1/415, vier aufeinanderfolgende Primzahlen in richtiger Reihenfolge also auf jedem 415-ten Knochen.

Wieviele solcher Knochen gibt es, die irgendwo in den Lagern irgendwelcher Museen liegen? Ich weiß es nicht, aber man kann sicher davon ausgehen, daß es viele Tausende sind. Nehmen wir mal, weil es sich mit glatten Zahlen besser rechnen läßt, an, daß es 10.000 solcher Knochen gibt. Die Wahrscheinlichkeit, daß es unter diesen 10.000 Knochen MINDESTENS EINEN mit vier aufeinanderfolgenden Primzahlen gibt, beträgt dann (wenn man die oben berechneten 1/415 zugrunde legt) ungefähr 99,99999999%. (Das habe ich jetzt nur im Kopf überschlagen – hat vielleicht jemand einen Taschenrechner dabei? Selbst mit der ersten Wahrscheinlichkeit, bei der ich ja alle zweistelligen Primzahlen zugrunde gelegt hatte, käme man immer noch auf mehr als 1%.)

Also: daß es sich bei der Primzahlenfolge um einen Zufall handelt, ist jedenfalls nicht sehr unwahrscheinlich. Es ist natürlich, mathematisch gesehen, auch nicht ausgeschlossen. Mathematisch betrachtet spricht nichts dagegen, daß es sich nicht um einen Zufall handelt, ein Zufall ist nach den obigen Rechnungen immer noch durchaus möglich.

Warum ist die Primzahlen-Interpretation trotzdem nicht überzeugend? Ja, das sollte wohl besser ein Historiker erklären. (Trotz geduldigen Googlens habe ich keinen Beitrag irgendeines Mathematik-Historikers zu diesem Thema gefunden.) Jedenfalls: selbst wenn die Wahrscheinlichkeitsrechnung keine überzeugenden Argumente für einen Zufall liefert, ist es offensichtlich unplausibel, daß mensch sich einmal vor 22.000 Jahren und dann erst wieder zwanzigtausend Jahre später mit Primzahlen beschäftigt haben soll. Genauso wie es unplausibel ist, daß Fermat den Beweis zum großen Satz von Fermat schon kannte (okay, der Vergleich hinkt ein wenig) oder wie es unplausibel ist, daß Pythagoras die Definition metrischer Räume vorhergesehen hat. Mathematische Theorien entstehen nicht aus dem Nichts und es wird keine Beschäftigung mit Primzahlen gegeben haben in einer Epoche, in der sich (nach allem, was man weiß) sonst niemand mit Teilbarkeitsfragen befaßte.

Noch am Rande: es ist durchaus möglich, daß es sich bei der größten Primzahl gar nicht um die ’19’, sondern um die zwei Zahlen ‘5’ und ’14’ handelt:

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Kommentare (7)

  1. #1 Thilo
    9. November 2011

    Jetzt sollen es schon Zehntausende von Jahren sein –

    Primzahlen wurden schon vor Zehntausenden von Jahren von Menschen in Knochen geritzt, wie Grabungsfunde in Afrika zeigten.

    schreibt Ingeborg Wiensowski auf http://www.spiegel.de/kultur/gesellschaft/0,1518,792277,00.html

  2. #2 michael
    9. November 2011

    >Jetzt sollen es schon Zehntausende von Jahren…

    >Ein Fundstück, daß eine Beschäftigung mit Primzahlen vor 22.000 ….

    22000 Jahre sind doch Zehntausende von Jahren, oder darf man erst bei 30000 und mehr von Zehntausende von Jahren reden.

    im übrigen, kann es nicht sein, dass so ein alter Stammeshäuptling, der sich nach einer kriegerischen Auseinandersetzung damit amüsiert, die gesammelten Schrumpfköpfe vor sich ordentlich aufzureihen, irgendwann mal feststellt, dass bei bestimmten Anzahlen nur Einer-Reihen möglich sind ?

  3. #3 Thilo
    9. November 2011

    oder darf man erst bei 30000 und mehr von Zehntausende von Jahren reden.

    Jedenfalls habe ich noch niemanden sagen hören, der Mauerfall liege schon Jahrzehnte zurück 🙂

    irgendwann mal feststellt, dass bei bestimmten Anzahlen nur Einer-Reihen möglich sind

    Dafür müßte man zunächst Zahlen irgendwie benennen können – wie sonst sollte man sich merken, daß es immer bei den Zahlen 11,13,17,19 diese Schwierigkeiten gibt. Man geht aber eigentlich davon aus, daß es Zahlwörter (außer vielleicht eins, zwei, viele) erst seit weniger als 10000 Jahren gibt.

  4. #4 michael
    11. November 2011

    > wie sonst sollte man sich merken, daß es immer bei den Zahlen 11,13,17,19 diese Schwierigkeiten gibt.

    Indem man sie in einen Knochen schnitzt ? Um ein Anzahlvergleich zwischen Köpfen und einer Strichliste zu machen, musst Du ja nur, wenn Du einen Kopf ins Körbchen tust, mit dem Daumen zum nächsten Strich gehen.

  5. #5 Thilo
    12. November 2011

    Das klingt jetzt aber insgesamt schon arg konstruiert.

  6. #6 rolak
    12. November 2011

    außer vielleicht eins, zwei, viele

    Das ist selbstverständlich flexibel ausbaufähig 😉

  7. #7 michael
    12. November 2011

    > Das klingt jetzt aber insgesamt schon arg konstruiert.

    Ja, ist es auch.