Alles noch mal in Bildern.

Die letzten Einträge (hier und hier) waren etwas lang. (Es ging um die Selbstabbildungen des Torus und wie man sie mittels des Teichmüller-Raums der flachen Metriken untersucht.) Zum Glück läßt sich das alles auch visualisieren und deshalb hier heute einfach noch einmal der Inhalt der letzten beiden Einträge in Bildern zusammengefaßt.

Es ging einerseits um Selbstabbildungen des Torus, andererseits um den Teichmüller-Raum der flachen Metriken auf dem Torus, was gerade die hyperbolische Ebene ist.
Die Selbstabbildungen des Torus wurden durch Matrizen aus SL(2,Z) realisiert.
Eine Selbstabbildung f des Torus gab auch eine Abbildung des Teichmüller-Raums (man kann die flachen Metriken mit f “zurückziehen” und bekommt wieder eine flache Metrik) und diese Abbildungen des Teichmüller-Raums sind gerade Isometrien der hyperbolischen Metrik. (Sie entsprechen der Wirkung von SL(2,Z) im Halbraum-Modell.)
Der Rand des Teichmüller-Raums, also die Randpunkte der hyperbolischen Ebene entsprechen den ‘Richtungen’ auf dem Torus, also der projektiven Geraden, cf. TvF 145.

Die Isometrien der hyperbolischen Ebene hatten wir mal in TvF 57 beschrieben und die Selbstabbidungen des Torus z.B. in TvF 142. Und beides läßt sich sehr gut in Beziehung setzen.

Der Text über den Zeichnungen gehört jeweils zum linken Bild (den Isometrien der hyperbolischen Ebene), der Text unter den Zeichnungen jeweils zum rechten Bild (den Selbstabbildungen des Torus).

Hyperbolische Isometrien der hyperbolischen Ebene
<--> Anosov-Abbildungen des Torus

hyperbolische Isometrien: es gibt auf dem “Rand” einen abstoßenden und einen anziehenden Fixpunkt. Alle Punkte werden vom abstoßenden Fixpunkt weg zum anziehenden Fixpunkt hin bewegt.

Anosov-Abbildungen: es gibt zwei Zerlegung des Torus in parallele Geraden (die “stabile Blätterung” und die “instabile Blätterung”), so daß die Abbildung jeweils Blätter auf Blätter abbildet und so, daß Abstände auf den Blättern der instabilen Blätterung um einen Faktor λ>1 vergrößert werden, während Abstände auf den Blättern der stabilen Blätterung um den Faktor 1/λ<1 verringert werden. Die Katze wird in eine Richtung gedehnt, in einer anderen Richtung gestaucht. Zusammenhang: Die beiden Fixpunkte auf dem Rand entsprechen der stabilen und instabilen Richtung.

Parabolische Isometrien der hyperbolischen Ebene
<--> Reduzible Abbildungen des Torus

parabolische Isometrien: es gibt auf dem “Rand” einen Fixpunkt, die Abbildung wirkt als Verschiebung in den “Horozykeln” durch diesen Punkt.

reduzible Abbildungen: mindestens eine geschlossene (nicht zusammenziehbare) Kurve wird von der Abbildung festgelassen.
Beispiel: der Dehn-Twist – die violette Kurve wird festgelassen, während die grüne Kurve entlang der violetten Kurve getwistet wird.
(Das Bild zeigt nur den halben Torus, die zweite Hälfte muß man sich dazudenken.)

Zusammenhang: der Fixpunkt auf dem Rand entspricht der Richtung der vom Dehn-Twist festgelassenen Kurve.

Elliptische Isometrien der hyperbolischen Ebene
<--> Periodische Abbildungen des Torus

elliptische Isometrien: es gibt einen Fixpunkt in der Kreisscheibe, die Abbildung wirkt als Drehung der (hyperbolischen) Kreise um diesen Fixpunkt.

periodische Abbildungen: nach mehrfacher Anwendung der Abbildung bekommt man wieder die Identitätsabbildung.
Zum Beispiel die Drehung um 90^o (die die Kurve a in die Kurve b abbildet) gibt nach 4-maliger Anwendung wieder die Identität.
(Wenn man sich den Torus als Quotient der Ebene modulo des unten abgebildeten Gitters denkt, handelt es sich um die Drehung der Ebene um 90^o, die ja das Gitter auf sich abbildet und deshalb eine Selbstabbildung des Torus gibt.)

Zusammenhang: der Fixpunkt im Inneren entspricht einer flachen Metrik, die invariant unter der Selbstabbildung des Torus ist.

Wenn man eine Fläche mit g Henkeln, g>1 hat, wird man die Selbstabbildungen auf eine sehr ähnliche Weise beschreiben können. Statt des Teichmüller-Raums der flachen Metriken auf dem Torus betrachtet man dann den Teichmüller-Raum der hyperbolischen Metriken auf der Fläche mit g Henkeln.
Im Prinzip wird die Dynamik dann genauso aussehen. Nur so schön zeichnen lassen sich die Bilder nicht: der Teichmüller-Raum der hyperbolischen Metriken auf der Fläche mit g Henkeln ist nämlich 6g-6-dimensional (also zum Beispiel 6-dimensional für die Brezelfläche mit g=2 Henkeln) im Gegensatz zum oben verwendeten 2-dimensionalen Teichmüller-Raums der flachen Metriken auf dem Torus.

Die linken Bilder waren jeweils von Colleen Robles, die rechten aus der Wikipedia.

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