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Alessandro Musesti & Maurizio Paolini haben 2 Videos von Penrose-Pflasterungen (“Darts and kites in the sky of mathematics”) ins Netz gestellt,

auf http://penrose.dmf.unicatt.it/:

Es geht um aperiodische Pflasterungen der Ebene.
Aus Mathematiker-Sicht sind das ebene Muster (aus endlich vielen Prototypen, hier: ‘dart’ und ‘kite’), deren Symmetriegruppe nicht kokompakt sind (d.h. keinen beschränkten Fundamentalbereich haben).

Das Gegenstück, die Symmetriegruppen periodischer Pflasterungen nennt man kristallographische Gruppen. Es gibt 17 solcher kristallographischer Gruppen, die offenbar bereits beim Bau der Alhambra bekannt waren, jedenfalls kommen mindestens 13 von ihnen dort vor, wie wir mal in TvF 58 beschrieben hatten.

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Daß es nur diese 17 Isomorphie-Klassen von periodischen Pflasterungen gibt, wurde 1924 von Polya bewiesen.

Daß es darüber hinaus auch noch aperiodische Pflasterungen gibt, kam unerwartet – die ersten Beispiele fand wohl Robert Berger in seiner Dissertation (1964), Penrose’s erste Beispiele sind von 1974.

Die beiden Videos veranschaulichen die verschiedenen Symmetrien, zunächst für periodische Pflasterungen (also solche mit kokompakter Symmetriegruppe, d.h. kompaktem Fundamentalbereich) und kommen dann zur Konstruktion von Penrose-Teilungen.

Das 3-dimensionale Analogon, also aperiodische Pflasterungen des 3-dimensionalen Raumes, sind Quasikristalle, die in der Natur erstmals 1982 experimentell entdeckt wurden.

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Atomic model of Ag-Al quasicrystal

Aus Mathematiker-Sicht erwähnenswert ist noch, daß der “Raum aller Penrose-Teilungen” ein Anwendungsgebiet für Nichtkommutative Geometrie ist.
Der Raum aller Penrose-Teilungen ist aus topologischer Sicht eigentlich trivial. (Man kann ihn beschreiben als Quotient einer Cantor-Menge bzgl. einer bestimmten Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzrelation identifiziert so viele Punkte, daß die einzigen offenen Mengen im Quotientenraum aber die leere Menge und der ganze Raum sind.) Mit topologischen Invarianten kann man bei der Beschreibung dieses Raumes also nichts anfangen. Stattdessen kann man ihm aber eine (nichtkommutative) C*-Algebra zuordnen und mit deren K-theoretischen Invarianten arbeiten. Insbesondere kann man über diesen Zugang beweisen, daß die ‘Dichte’ eines Stücks oder eines Musters (also die relative Häufigkeit, mit der das Muster in einer Penrose-Teilung vorkommt) immer eine ganzzahlige Linearkombination aus 1 und dem goldenen Schnitt sein muß.

Kommentare (3)

  1. #1 Serge l'Eternel
    20. Dezember 2010

    Es gibt eine „fraktalizierung“ auch in diesen Videos.

  2. #2 Serge l'Eternel
    20. Dezember 2010

    Es gibt eine „fraktalizierung“ auch in diesen Videos.

  3. #3 Thilo
    20. Dezember 2010

    Ah ja …