Es ist ja inzwischen in Mode gekommen, bei jeder Gelegenheit an der Wikipedia herumzumäkeln.

Für mein Fachgebiet, die Mathematik, kann ich das nicht teilen. Die Wikipedia enthält mehr und bessere Informationen als jedes Lexikon und ich benutze sie durchaus auch im Arbeits-Alltag, um Definitionen von Begriffen nachzuschlagen.

Die Wikipedia ist inzwischen auch Vorbild für andere, stärker forschungs-orientierte Projekte. Insbesondere gibt es scholarpedia: “scholarpedia feels and looks like wikipedia”, aber die Artikel sind von Experten geschrieben und peer-reviewed (aber nicht eingefroren: sie können noch jederzeit verbessert werden). In der Mathematik ist bisher vor allem die Kategorie Dynamische Systeme sehr vollständig vertreten, andere Teilgebiete der Mathematik fehen weitgehend.
In eine ähnliche Richtung wie scholarpedia geht der am Hausdorff-Institut betriebene Manifold Atlas, der freilich bisher noch mehr Herausgeber als Autoren hat. (An zwei Artikeln, nämlich über Blätterungen und Geometrische 3-Mannigfaltigkeiten, bin ich selbst beteiligt.)

Ich hatte im Oktober 2009 mal einen Artikel über die Wikipedia geschrieben (Wie ich gerade festgestellt habe, ist dieser Artikel mit Google nicht mehr auffindbar. Kann mir jemand erklären, warum?), in dem es um einen Vergleich der Artikel zum Thema “Mannigfaltigkeit” in den verschiedenen (damals 28) Sprachen ging.
Ich will hier noch kurz referieren, was sich in diesen Beiträgen seitdem getan hat – dank der “Versionsgeschichte” läßt sich das ja sehr schnell überblicken.

Änderungen in den Einträgen zum Thema “Mannigfaltigkeit”:
1. Katalanisch: hinzugekommen sind das Bild des Möbiusbandes und die zweite Hälfte der Einleitung mit den historisch-einordnenden Bemerkungen
2. Englisch: viele kleine Änderungen, es geht eigentlich immer um sprachliche Feinheiten. Einige Bemerkungen (über Kegelschnitte und über reguläre Funktionen) wurden offenbar wegen fehlender Relevanz entfernt.
3. Französisch: nur kleinere sprachliche Korrekturen
4. Spanisch: dito
5. Deutsch: neu hinzugekommen sind der geschichtliche Überblick, der Absatz über Riemannsche Mannigfaltigkeiten wurde komplett überarbeitet, ebenso der Absatz über Mannigfaltigkeiten mit Rand. Auch die Beispiele und das Thema ‘Klassifikation und Invarianten’ werden jetzt viel ausführlicher behandelt und man hat viele Bilder eingebaut.
6. Italienisch: das Bild des sphärischen Dreiecks ist neu, sonst keine nennenswerten Änderungen

Bei den meisten anderen Sprachen hat sich fast oder überhaupt nichts getan. Ausnahmen sind Tschechisch, wo der Artikel komplett überarbeitet und eine Reihe vager Erläuterungen durch formalere Definitionen ersetzt wurde, auch Niederländisch und Russisch wurden ein wenig entschlackt
Neu hinzugekommen sind Dänisch und Piemontesisch (wobei letzteres laut Versionsgeschichte schon seit 2008 existiert, aber offenbar damals nicht verlinkt war).

Kommentare (28)

  1. #1 housetier
    15. Januar 2011

    Die Kritik an der vorherrschenden Technokratie der Admins der deutschen Wikipedia ist sicherlich keine Modeerscheinung.

  2. #3 Zockerjoe
    15. Januar 2011

    Ich kann das Rumgemäkel an der Wikipedia auch nicht verstehen. Ich finde dort immer gute Informationen, die auch den Gegencheck durch eine andere Quelle bestehen.

    Ich habe großen Respekt vor die Arbeit der Admins, die sich in endlosen Disks mit Querulanten und Besserwissern herumschlagen, schließlich ist deren Arbeit freiwillig und ohne Honorierung.
    Deswegen Danke an alle bei Wikipedia für eines der großartigsten Projekte der Gegenwart!

  3. #4 BreitSide
    15. Januar 2011

    Es gibt inzwischen auch im kommerziellen Bereich viele Anwendungen zum Wissensmanagement, firmenintern, die auf der Wiki-Software basieren.

    Eine hervorragende Methode, das Wissen aus den Schubläden (oder virtuellen Ordnern) der Mitarbeiter zu holen, wo es sonst gerne vergammelt.

  4. #5 derari
    15. Januar 2011

    Man sollte klar zwischen Kritik an den Inhalten und Kritik an den Prozessen trennen. Auch ehrenamtliche Macht kann missbraucht werden und die freiwilligsten Admins helfen nicht, wenn das System sie bei der Arbeit behindert.

  5. #6 Frank
    16. Januar 2011

    Für mich macht Wikipedia, welches ja bedeutend mehr Inhalte als der Brockhaus haben soll, neben wunderbarer kostenloser Open Source Software das Internet- und Computerleben erst wirklich interessant. Ich nutze Wikipedia schon seit Jahren erfolgreich, um mich über aktuelle Dinge und Geschehnisse beruflich wie privat zu informieren. Mit dem Fakt, dass jeder dort frei hineinschreiben kann, habe ich kein Problem. Eine Kontrolle ist ja durch die ehrenamtlichen Mitarbeiter gesichert.

  6. #7 Frank Wappler
    18. Januar 2011

    Ein Beispiel für die Schwäche(n) von Wikipedia (nicht unbedingt gegenüber irgendwelchen anderen, bestehenden Enzyklopädien; aber sehr wohl gegenüber dem, was vorstellbar wäre, oder zumindest vor Jahren mal vorstellbar war)
    zeigt sich durch Vergleich von

    http://de.wikipedia.org/wiki/Blätterung#Definition und
    http://en.wikipedia.org/wiki/Foliation#Definition
    .

    (Der Begriff “Blätterung” trat in der Diskussion zu
    http://www.scienceblogs.de/astrodicticum-simplex/2010/05/die-wirklichkeit-als-eisblock-der-gefrorene-fluss-der-zeit.php
    auf. Die damit verbundene Frage, ob sich damit die Forderung nach “match up of plaques” verbindet, lässt sich höchstens anhand des englischen Artikels belegen; und selbst dort ist der für die Diskussion wesentlich Begriff “match up” nicht verlinkt …)

  7. #8 Thilo
    18. Januar 2011

    @ Frank Wappler: Die Definition in der englischen Wikipedia ist etwas vage; man hätte noch präzise sagen sollen, was mit ‘these submanifolds piece together from chart to chart’ gemeint ist. Die Definition in der deutschen Wikipedia scheint korrekt zu sein.

  8. #9 Frank Wappler
    25. Januar 2011

    Thilo schrieb (18.01.11 · 12:53 Uhr):

    > Die Definition in der englischen Wikipedia ist etwas vage; man hätte noch präzise sagen sollen, was mit ‘these submanifolds piece together from chart to chart’ gemeint ist.

    Hätte man sicherlich — insbesondere (wenn ich recht verstehe) z.B. durch Verlinken von

    “[[Map#Set-to-{Set-of-Sets}|(\phi^k)^(-1) \cdot (\psi^1_jk) \cdot (\phi_j) :U_j –> M]]”

    > Die Definition in der deutschen Wikipedia scheint korrekt zu sein.

    Das ist für mich (insbesondere ohne Verlinkung) leider nicht erkennbar.
    Wie, bitte, wäre denn dort eine entsprechende ausdrückliche Verlinkung anzugeben:

    “[[Abbildung#Menge-zu-{Menge-von-Mengen}| …???… : U_\eta -> { K_\theta }]]”.

    Und, um die so illustrierten Schwächen “der” Wikipedia zu benennen:
    Wieso sind Artikel “dort” so lausig/sporadisch verlinkt?
    Und: wieso ist “der” (insbesondere durch Verlinkung darstellbare) Inhalt eines bestimmten Begriffes abhängig von der Nutzer-Präferenz für einen bestimmten sprachlichen Ausdruck dieses Inhalts?

  9. #10 Frank Wappler
    25. Januar 2011

    Frank Wappler schrieb (25.01.11 · 00:03 Uhr):
    > […] (\phi^k)^(-1) \cdot (\psi^1_jk) \cdot (\phi_j) […]

    Da mich zunehmend Zweifel plagen, dass ausgerechnet diese Komposition von in http://en.wikipedia.org/wiki/Foliation#Definition beschriebenen Abbildungen das dort ebenfalls genannte “matching of plaques” bzw. “piecing together of submanifolds from chart to chart” nachvollziehbar macht, möchte ich das zumindest zeitnah mitteilen.

    Und, wenn ich schon mal dabei bin, meinen Gedankengang rekapitulieren (wobei auch die Notation aus http://de.wikipedia.org/wiki/Blätterung#Definition zweckmäßig ist):

    Unter “matching of plaques” meine ich sehr deutlich zu verstehen, dass

    (1) jede Menge U_j in disjungierte plaques untergliedert werden kann; formal etwa

    p_j: U_j –> { \theta },

    wobei “{ \theta }” die Menge der Namen (Distinktoren) der verschiedenen Blätter (K_\theta) ist;

    (2) sich aus der Komposition

    m_jk := (p_k) \cdot (p_j)^(-1)

    eine Abbildung zwischen den Namen der Plaques von U_j und den Namen der Plaques von U_k ergibt:

    m_jk: { \theta } –> { \theta }, und

    (3) diese (match-)Abbildungen “m_jk” transitiv sein sollen (bzgl. der Us, die der Abbildung zugrundeliegen):

    Für alle Tripel { U_j, U_k, U_q } und für alle Elemente { \tau } des Wertebereiches der Komposition “m_qk \cdot m_kj” gilt:
    (m_jk \cdot m_kq)[ \tau ] == (m_jq)[ \tau ].

    (4) Unbedingt passend verlinken!, z.B. [[Transitivity#piecing-together|”m_jq == m_jk \cdot m_kq”]].

    Nun wäre einerseits zu versuchen, unter Verwendung der Abbildungen “\psi_” und “\phi_” ein explizites Äquivalent zu den oben eingeführten Abbildungen “p_” bzw. “m_” zu konstruieren; so dass die Verlinkung mit “Transitivity” einen konkreten und im Artikel-Text erkennbaren Inhalt hätte.
    (Ich habe nach wie vor die Erwartung, dass das möglich ist; aber es graust einen ja schon beim bloßen Gedanken daran, dass man z.B. die Umkehrfunktion von “\psi^1_jk” schriftlich ausdrücken sollte …)

    Und andererseits, und für mein Anliegen besonders wichtig:
    Wie ergäbe sich aus http://de.wikipedia.org/wiki/Blätterung#Definition denn irgendein Bezug zu “matching“, “piecing together” bzw. irgendein Inhalt der mit [[Transitivität]] zu verlinken wäre?

    Insbesondere, wenn man zwei ausdrücklich verschiedene Blätter K_\alpha und K_\beta betrachtet, sowie zwei geeignete Mengen U_a und U_b sowie Funktionen h_a und h_b,
    dann ist doch keineswegs ausgeschlossen, dass
    die (nichtleere) Zusammenhangskomponente der Durschnittsmenge aus K_\alpha und U_a unter h_a exakt genau so in eine k-Ebene R^k x { x_(k + 1), …, x_n } abgebildet würde, wie die (nichtleere) Zusammenhangskomponente der Durschnittsmenge aus K_\beta und U_b unter h_b.

    Wo stünde z.B., dass ausgerechnet die Werte “x_(k + 1), …, x_n” zum (vermeintlichen) “matching” bzw. “piecing together” herangezogen und verglichen werden sollten, oder auch nur könnten??

  10. #11 Thilo
    25. Januar 2011

    Erst mal: die Definitionen in der deutschen und englischen Wikipedia unterscheiden sich in einem Punkt, der leicht zu Verwirrung führen kann: in der englischen Wikipedia sind auf den Blättern (in jeder Karte) die ersten n-p Koordinaten konstant, in der deutschen Wikipedia sind es die letzten n-k Koordinaten. (Die Definition aus der deutschen Wikipedia ist m.E. die übliche, aber im Prinzip ist die Reihenfolge natürlich egal.)

    Ich verstehe jetzt nicht das problem mit der ersten Formel (aus dem vorletzten Kommentar): diese Abbildung ist eigentlich nur auf dem Schnitt eines Blattes mit U_j\cap U_k definiert und ist dort aber einfach die Identität: x wird jeweils auf x abgebildet.

    zur zweiten Frage: das wäre einfacher, wenn ich es jetzt aufmalen könnte. jedenfalls ist U_eta die Karte (also eine offene Teilmenge von M) und K_theta das Blatt und man will keine Abbildung von U_eta nach K_theta, sondern man schaut sich den Schnitt der beiden an (also den Teil des Blattes, der in U_eta liegt) und will, daß dieser bei der Kartenabbildung U_eta–>R^n auf horizontale Ebenen abgebildet (evtl. in mehrere horizintale Ebenen, weil der Schnitt des Blattes mit der Karte nicht zusammenhängend sein muß – wie es in der deutschen Wikipedia steht: jede Zusammenhangskomponente von U_eta\cap K_theta wirdin eine horizontale Ebene anbgebildet.)

    zum zweiten Kommentar:
    (1) und (2) ist richtig, ich habe aber trotzdem die Vermutung, daß sie damit eine falsche Vorstellung verbinden: es ist wie gesagt möglich, daß ein Blatt die Karte U_j in mehreren Zusammenhangskomponenten schneidet. Die thetas entsprechen also nicht eindeutig Ebenen in phi_j(U_j), sondern es kann mehrere Ebenen zu demselben theta geben. Die Abbildung, die Sie in (2) hingeschrieben haben, ist also keine Abbildung, die jeweils einer Ebene im R^n eine andere Ebene im R^n zuordnen würde, sondern erstmal nur eine Abbildung, die jedem Blatt der Blätterung dasselbe Blatt (in einer anderen Karte) zuordnet. Jedenfalls ist Ihre Abbildung m_jk KEINE Abbildung von Plaques in U_j auf Plaques in U_k: es kann mehrere Plaques geben, die zum selben theta gehören und damit läßt sich diese Abbildung für plaques nicht definieren.
    Ein Beispiel für diesen Effekt ist die Kronecker-Blätterung des Torus (Example 1.1.(3) in http://catdir.loc.gov/catdir/samples/cam041/2003046172.pdf ): jedes Blatt schneidet jede Karte unendlich oft, deshalb können sie in einer Karte U_j einem theta kein eindeutiges plaque zuordnen (sondern nur die Vereinigung unendlich vieler plaques).

  11. #12 Frank Wappler
    26. Januar 2011

    Thilo schrieb (25.01.11 · 08:55 Uhr):

    > […]

    Danke für die sorgfältige Auseinandersetzung mit der Thematik.
    Ich möchte vorab mein(e) (nicht zuletzt durch eine Physik-Diskussion motivierte(s)) Anliegen nochmals möglichst deutlich formulieren:

    Was bedeutet “piecing together (of submanifolds, chart to chart)” in diesem Zusammenhang mathematisch exakt (und so explizit wie erforderlich, um im Zweifelsfalle mit Hilfe einer (gebräuchlichen) Enzyklopädie weiter recherchieren zu können)?

    Ist der (von mir vermutete) so umschriebene mathematisch exakte Begriff zwingend erforderlich, um die (Mathematikern gebräuchliche) Definition von “Blätterung” bzw. “Blatt” explizit auszudrücken?

    Falls so: wie äußert sich dieser Begriff in “der deutschen WP-Version”, wo doch z.B. ein Wort wie “zusammensetzen” nicht explizit auftaucht?

    Und falls nicht: sind “die deutsche” und “die englische” WP-Versionen vielleicht gar nicht äquivalent; also ganz wesentlich ungleich — ganz abgesehen von gewissen Formalien (s.u.)?

    Und natürlich: alle damit verbundenen Mäkeleien an “der” Wikipedia. Hoffentlich werden Nutzereinstellung recht bald dahingehend ausgedehnt, dass jeder, einschl. meiner Wenigkeit, WP so nutzen kann, wie er/sie/es das für richtig hält und dadurch einen Anreiz zur finanziellen Unterstützung dieses Projekts erfährt.

    > weil der Schnitt des Blattes mit der Karte nicht zusammenhängend sein muß

    O.k. — muss er gewiss nicht; eine “Karte U_j” selbst muss ja von vornherein sicher auch nicht zusammenhängend sein.
    (Danke übrigens auch für die Terminologie: ich hatte oben “die Us” als (Teil-)Mengen angesprochen; auf “Karten” wäre ich wohl kaum gekommen. Haben die Funktionen phi (englisch) bzw. h (deutsch) eigentliche auch “Trivial”-Namen?)

    > – wie es in der deutschen Wikipedia steht: jede Zusammenhangskomponente von U_eta\cap K_theta wird in eine horizontale Ebene anbgebildet.

    Gut, danke — wenn mir der Unterschied zwischen “Schnitt U_eta\cap K_theta (insgesamt)” und “Zusammenhangskomponente davon” schon deutlich gewesen wäre, hätte ich die letzte Frage meines vorausgegangenen Kommentars bestimmt nicht (so) gestellt.

    Zusammenfassend:
    es kann mehrere Zusammenhangskomponenten (innerhalb einer bestimmten “Karte U_j”) geben, die zum selben theta gehören.

    > es kann mehrere Plaques [innerhalb einer bestimmten “Karte U_j”] geben, die zum selben theta gehören

    Diese formale Übereinstimmung (Schock! 😉 kollidiert allerdings deutlich mit meiner bisherigen Vorstellung von der “englischen Foliation-Definition”, auf deren Basis ich (1) – (3) oben vorgeschlagen hatte.

    (Für meine ungeübten Begriffe ist in http://en.wikipedia.org/wiki/Foliation#Definition kaum erkennbar, dass das unverlinkte Wort “plaque” nicht schlicht ein Synonym für “intersection of a leaf with a chart U_j” darstellt;
    und erst recht nicht, dass “stripes x = constant, called plaques” unbedingt und von vorn herein als “[[zusammenhängende Räume]]” bzw. (durch Links belegt äquivalent) “[[connected spaces]]” zu sein hätten, oder dass zu verschiedenen Werten “x” gehörige “stripes” dennoch zu einer intersection mit ein-und-dem-selben “leaf” gehören könnten.

    Aber die von dir vorgeschlagene und von Mathematikern allgemein sicherlich vollkommen geläufige Identifikation von “plaque” mit “Zusammenhangskomponenten” nur wegen solcher Mängel (der WP und/oder von mir) zurückzuweisen, wäre gewiss nicht zielführend.)

    Tja — da bin ich erst mal platt …
    Zumal etwaige Betrachtungen bzgl. “[[Connectedness (Topology)]]” vom ursprünglich betrachteten Physik-“Problem” eher wegzuführen scheinen:
    Es ging dabei um Mengen von (“Welt”-)”Linien” (mathematisch wohl: “[[Sequence]]s”), von denen jede einzelne sowieso nur je höchstens ein einzelnes Element mit einem (vermeintlichen?) (“Welt”-)”Blatt” gemeinsam haben sollten …

    Im Moment bleibt mir da nur die folgende Frage (auch hier in Einschritte gegliedert, zur Referenz):

    (11) Gegeben eine (“hinreichend große”) Menge S, die in bestimmte (nicht unbedingt disjunkte) Teilmengen V_j gegliedert sein soll;

    “Union aller V_j == S”,

    (12) gegeben eine Menge { \zeta } (sinnvoller Weise mit mindestens vier Elementen),

    (13) zu jeder Menge V_j gegeben eine Zergliederung in disjunkte Teilmengen:

    “q_j: V_j –> { \zeta }”,

    (14) daraus konstruiert die Abbildungen

    “s_j: { \zeta } –> Powerset[ V_j ], so dass

    für jedes Element \zeta_ aus der Menge { \zeta } gilt:
    für jedes Element V_j_ aus s_j[ \zeta_ ] gilt:

    q_j[ V_j_ ] == \zeta_”,

    gegeben daraufhin außerdem die folgenden Eigenschaften der Teilmengen V_j:

    (15) zu jedem Element \zeta_ soll mindestens eine Menge V_z vorhanden sein, so dass

    “s_z[ \zeta_ ] == LeereMenge”,

    (16) zu jedem Paar von Elementen \zeta_F und \zeta_G aus der Menge { \zeta } sollen mindestens zwei Mengen V_a und V_b vorhanden sein, so dass

    weder s_a[ \zeta_F ] noch s_b[ \zeta_F ], s_a[ \zeta_G ] oder s_b[ \zeta_G ]
    gleich LeereMenge sind,

    (17.1) falls es zu einem Paar bestimmter Elemente \pi und \xi aus der Menge { \zeta } ein weiteres bestimmtes Element \rho gibt, so dass

    für jede Teilmenge V_k, für die weder s_k[ \pi ] noch s_k[ \xi ] gleich LeereMenge sind,
    auch s_k[ \rho ] nicht gleich LeereMenge ist, und

    (17.2) falls es zu diesen beiden Elementen \rho und \xi ein weiteres bestimmtes Element \tau aus der Menge { \zeta } gibt, so dass

    für jede Teilmenge V_q, für die weder s_q[ \rho ] noch s_q[ \xi ] gleich LeereMenge sind,
    auch s_q[ \tau ] nicht gleich LeereMenge ist, dann

    (17.3) für jede Teilmenge V_u, für die weder s_u[ \pi ] noch s_u[ \tau ] gleich LeereMenge sind,
    auch s_u[ \rho ] nicht gleich LeereMenge ist —

    wie nennt man dann die Menge, zu einem bestimmten Element \eta aus der Menge { \zeta }:

    “Union aller s_j[ \eta ]”,

    wenn nicht etwa “Blatt \eta der Menge S”
    ?

    Bzw., insbesondere weil ich nicht ganz durchschaue, in wie fern z.B. Forderung (15) überhaupt gebraucht wird:
    Ließe sich diese Frage eventuell “mathematisch geschickter” formlieren?

  12. #13 Frank Wappler
    26. Januar 2011

    p.s.
    Statt (15) oben ist vielleicht das Folgende schon etwas geschickter:

    (15.1) Für jede der Teilmengen V_j soll gelten:
    Falls für ein bestimmtes Element \alpha aus der Menge { \zeta }

    s_j[ \alpha ] == LeereMenge,

    dann enhält die Menge { \zeta } mindestens noch ein weiteres Element \beta, für das (ebenfalls) gilt:

    s_j[ \beta ] == LeereMenge.

    Und damit im Zusammenhang sicher auch:

    (15.2) Für je drei bestimmte Elemente \mu, \nu und \gamma aus der Menge { \zeta } soll gelten:

    Entweder gilt für alle Teilmengen V_c, die durch die Bedingungen identifiziert sind, dass

    s_c[ \mu ] ungleich LeereMenge sowie
    s_c[ \nu ] ungleich LeereMenge

    auch, dass s_c[ \gamma ] ungleich LeereMenge;
    oder das Entsprechende gilt für (mindestens) eine andere Permutation von \mu, \nu und \gamma.

    Und neben der oben gestellten Frage (“Blatt \eta”?) wäre natürlich auch interessant zu wissen:
    Wie nennt sich denn ggf. die entsprechende Gesamtheit der Teilmengen V_j?
    (Sicherlich nicht “[[Topologischer Raum]]”, insbesondere in Anbetracht der ausdrücklichen Bedingung (15.1) …)

  13. #14 Thilo
    26. Januar 2011

    Hallo,

    ich mußte mich erstmal durch die Notation durcharbeiten (die Bezeichnung V_j_ für einen Punkt aus V_j irritierte mich erst),
    zur Sache:
    die Bedingung (15) sollte man weglassen (z.B. bei der Kronecker-Blätterung des Torus liegt jedes Blatt dicht, deshalb trifft jede Blatt zeta jede Karte V_j), für Bedingung (16) und (17) sehe ich eigentlich auch keine Notwendigkeit,
    aber jedenfalls ist es schon richtig, daß (für ein festes eta) die Vereinigung der s_j(eta) ein Blatt ist. Daran ist auch nichts überraschendes, denn Sie gehen ja von einer gegebenen Zerlegung in Blätter {\zeta} aus und weil M die Vereinigung der V_j ist, ist dann automatisch \zeta die Vereinigung der s_j(\zeta). Das gilt übrigens für jede Zerlegung von M in Teimengen \zeta, nicht nur speziell für die Zerlegung in Blätter einer Blätterung. (Man kann das leicht mit elementarer Mengenlehre, also Rechnen mit Durchschnitten und Vereinigungen, beweisen.)

    Also: die Bedingungen (11)-(14) oben stimmen für jede Zerlegung von M in Teilmengen {\zeta}. Damit diese Zerlegung eine Blätterung ist, muß aber noch eine weitere Bedingung erfüllt sein: es muß zu jeder Karte eine Abbildung in den R^n geben, so daß jedes Blatt in eine Vereinigung horizontaler Ebenen abgebildet wird.

    weil der Schnitt des Blattes mit der Karte nicht zusammenhängend sein muß

    O.k. — muss er gewiss nicht; eine “Karte U_j” selbst muss ja von vornherein sicher auch nicht zusammenhängend sein.

    Auch wenn U_j zusammenhängend ist, muß der Durchschnitt mit einem Blatt nicht zusammenhängend sein. Ein Blatt kann so ‘spiralen’, daß es eine Karte mehrmals schneidet.

    Wie nennt sich denn ggf. die entsprechende Gesamtheit der Teilmengen V_j?

    Die Gesamtheit der ‘Karten’ nennt man ‘Atlas’.

  14. #15 Frank Wappler
    27. Januar 2011

    > ich mußte mich erstmal durch die Notation durcharbeiten (die Bezeichnung V_j_ für einen Punkt aus V_j irritierte mich erst),

    Danke nochmals — sehr aufmerksam. Gibt es denn eine andere/üblichere Notation, um “irgendein Element” von “ein bestimmtes Element” deutlich zu unterscheiden?
    (Und ich fürchte auch, ich hab diese Unterscheidungs-Notation selber nicht ganz durchgehalten; sonst hätte ich sicher ab und zu mal “V_” oder “alle V_” benutzen müssen …)

    > zur Sache: die Bedingung (15) sollte man weglassen

    Das war die Absicht im “p.s.”. (Meinen internen Argumentations-Monolog behalt ich erstmal für mich …)

    Wäre es eventuell geschickt, z.B. etwas von (15.1), (15.2) oder (16) wegzulassen?

    > für Bedingung (16) […] sehe ich eigentlich auch keine Notwendigkeit,

    Das verhält sich möglicher Weise wie mit (15): eine ziemlich unfertige Vorstellung in unangemessen konkreter Notation.

    Die Idee dazu lässt sich etwa so zusammenfassen:
    “Eine Hefterklammer, die sich ausschließlich an einigen Zellstoff nur ein einziges Blattes klammert, taugt nicht dazu zu entscheiden, ob dieses bisschen Zellstoff (samt Klammer) noch als Brei im Topf des Papiermachers herumgerührt wird (und also von “Blatt” oder gar von “Blättern” noch gar keine Rede sein kann), oder ob es sich schon (mit mindestens drei anderen) zu einem ordentlichen Stapel gehört.”

    Bedingung (16) alleine bringt diese Idee natürlich nur sehr unvollständig zum Ausdruck;
    unerfahrener Weise (um nicht zu sagen: frecher Weise) wiege ich mich bisweilen in der Hoffnung, dass genügend konkrete Formeln (hier: (11) bis (17.3), einschließlich (16)) der Sache nahe genug kommen könnten.
    Immerhin scheint mir offensichtlich, dass das Gegenteil von (16) der Sache klar widerstreben würde:

    Eine Bedingung wie …

    “(??) für jedes V_j soll gelten:
    falls für ein bestimmtes Element \kappa aus der Menge { \zeta }
    s_j[ \kappa ] nicht gleich LeereMenge,
    dann muss für alle Elemente \zeta_ aus der Menge { \zeta } gelten:
    falls s_j[ \zeta_ ] nicht gleich LeereMenge,
    dann zwangsläufig \zeta_ == \kappa.”

    … wäre also unbedingt wegzulassen.
    (Denn: “sowas macht die Idee (17) kaputt” …)

    > für Bedingung […] (17) sehe ich eigentlich auch keine Notwendigkeit,

    … zusammen mit …

    > […] gehen ja von einer gegebenen Zerlegung in Blätter {\zeta} aus […]

    Das ist (bei aller anzuerkennenden Sorgfalt) gründlich missverstanden.
    Im Ansatz, (11), sind die Elemente der Menge { \zeta } nur (ausreichend viele verschiedene) _Namen_; in direkter Anlehnung an die Bedeutung von “\theta” in “der deutschen Version” http://de.wikipedia.org/wiki/Bl%C3%A4tterung

    Dort steht ausdrücklich (sofern ohne Verlinkung überhaupt Irgendetwas in WP als “ausdrücklich” aufgefasst werden kann &):
    K_\theta_ nennt man die Blätter“;
    und nicht etwa
    “\theta_ nennt man die Blätter” oder “\theta nennt man Blatt”.

    Die Unterscheidung, ob gewisse Vereinigungen von Teilmengen der V_ …

    – entweder jeweils “noch eine Portion Zellulosebrei im Topf” darstellen, die später mal zu einem Kartonage-Schwamm-Stück namens \zeta (oder durch irgendein Wunder vielleicht doch noch zu einem Blatt namens \zeta) aushärten mag,

    – oder jeweils “wirklich schon ein Blatt” darstellen

    … soll per (12) bis (17.3) konstruierbar sein.
    Und dazu erscheint mir die Idee, die durch (17.1) bis (17.3) konkretisiert sein soll, ganz entscheidend:

    “Falls die Hefterklammern zwischen zwei bestimmten Portionen Zellulosebrei namens \pi und \xi stets auch eine dritte Portion namens \rho halten,
    und zwischen den beiden Portionen \rho und \xi stets auch eine weitere Portion \tau,
    dann sollten sie zwischen den beiden Portionen \pi und \tau auch unbedingt die Portion \rho enthalten.”
    Nur unter dieser Bedingung (und falls die weiteren Bedingungen (11) bis (16) nicht dazwischenfunken), kann man die genannten Portionen wirklich “Blätter” nennen.

    (So die Idee. Ich hatte mir übrigens mittlerweile erspart, immer “namens” hinzuschreiben — hoffentlich ist und bleibt trotzdem verstanden, dass es sich bei “\pi”, “\rho” usw. nur um Namen/Indices von Teilmengen der Menge S, a.k.a. “um Bezeichnungen von Zellulosebrei-Portionen” handeln soll; nicht um diese Teilmengen bzw. Portionen an sich.)

    Deshalb: bitte nochmals daraufhin durchdenken … (Es ist mir auch nicht wirklich eilig — ich würde nur gern erfahren, falls …)

    > […] Zerlegung von M in Teilmengen {\zeta}. Damit diese Zerlegung eine Blätterung ist, muß aber noch eine weitere Bedingung erfüllt sein: es muß zu jeder Karte eine Abbildung in den R^n geben, so daß […]

    Der Clou meines Vorschlages und der entsprechenden Frage (“Wie heißt denn das: ?”) war doch, dass dabei offenbar _keine_ Koordinatentupel “R^n” auftauchten, und dass “S” in (11) schlicht als Menge angesetzt war; nicht als “M…annigfaltigkeit”.
    ‘ne Büttnerei kommt doch _auch_ ohne Koordinaten für den Zellulosebrei aus! …

    p.s.

    > Karte V_j

    Die oben benutzten “V_j” bzw. “V_” usw. sind im Ansatz bitte schlicht als Mengen bzw. als Teilmengen von S aufzufassen.
    (Gerade eben, d.h. beim Schreiben dieses Kommentars, bin ich darauf gekommen, dass “Hefterklammern (im Zellulosebrei)” eine halbwegs hilfreiche Analogie für diese Mengen sein sollte — sicher mehr für mich selbst, als für einen Mathematiker …)

    Es irritiert mich auch, dass die “U_j” aus http://en.wikipedia.org/wiki/Foliation “charts” bzw. “Karten” genannt werden;
    und ich (vermute ich) wäre beruhigter, wenn stattdessen die Funktionswerte
    “phi_j[ U_j ]” “Karten” genannt würden.

  15. #16 Frank Wappler
    27. Januar 2011

    À propos — weil ich nebenan (
    http://www.scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2011/01/raumzeitkrummung-ganz-einfach.php
    ) gerade mal wieder Gelegenheit hatte, umfassendere WP-Nutzereinstellungen einzufordern,
    insbesondere
    [[Spezial:Einstellungen#Sprach-Milieu|(… unterste-Mittelschicht …)]]
    usw.:

    wäre wenigstens
    “[[Schicht (Mathematik#Mengenlehre)]]” bzw.
    “[[Schichtung (Mathematik#Mengenlehre)]]”
    noch für die “Union aller s_[ \lambda ]” bzw. für deren Gesamtheit zu haben, bitte, sofern
    “[[Blatt (Mathemaik#Topologie)]]”
    eben leider schon vergriffen ist?

    Und übrigens: gerade hab ich immerhin mit freundlicher Hilfe durch Wikipedia herausgefunden, dass man unter “Büttnerei” gar nicht unbedingt eine Papiermühle zur gewerblichen Herstellung u.a. von Büttenpapier verstehen muss.

    Demnach hätte ich oben wohl besser so schließen sollen:
    ‘ne Paperimühle kommt doch _auch_ ohne Koordinaten für den Zellulosebrei aus! …

    Auch wenn man der Wikipedia, diesem unverbesserlichen Löschernest, eben leider nicht soweit trauen kann, dass “Büttnerei” (
    http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial%3ASuche&search=b%C3%BCttnerei
    ) andererseits gar keine Papiermühle ist …

  16. #17 Thilo
    27. Januar 2011

    Im Ansatz, (11), sind die Elemente der Menge { \zeta } nur (ausreichend viele verschiedene) _Namen_; in direkter Anlehnung an die Bedeutung von “\theta” in “der deutschen Version” http://de.wikipedia.org/wiki/Bl%C3%A4tterung

    Dort steht ausdrücklich (sofern ohne Verlinkung überhaupt Irgendetwas in WP als “ausdrücklich” aufgefasst werden kann &):
    “K_\theta_ nennt man die Blätter”;
    und nicht etwa
    “\theta_ nennt man die Blätter” oder “\theta nennt man Blatt”.

    Das macht doch aber keinen Unterschied. Jedem \theta entspricht ein eindeutiges Blatt K_\theta. Ob sie das Blatt \theta oder K_\theta nennen ist egal. (Die kompliziertere Bezeichnung K_\theta hilft nur, Verwechslungen zu vermeiden, falls in irgendeiner Rechnung zufällig noch mal eine Variable \theta vorkommt.)

  17. #18 Frank Wappler
    29. Januar 2011

    Thilo schrieb (27.01.11 · 22:35 Uhr):

    > Jedem \theta entspricht ein eindeutiges Blatt K_\theta.

    Lieber Mathematik-Dozent Thilo K.,

    halte das doch bitte mal gedanklich fest.
    Genau _so_ (und nicht anders) .

    Jedem \theta entspricht ein eindeutiges K_\theta.
    (Nicht etwa “theta ist-ein-und-das-selbe-wie K_\theta”.)

    Jedem \zeta entspricht eine eindeutige Union[ s_j[ \zeta ] ].
    (Nicht etwa “zeta ist-ein-und-das-selbe-wie Union[ s_j[ \zeta ] ]”.)

    (Die “Union” ist “über alle j”. Nur zur Erinnerung.)

    Lehne dich noch etwas weiter aus dem sprichwörtlichen Fenster und denke:

    Jedem \zeta soll eine bestimmte eindeutige Union[ s_j[ \zeta ] ] entsprechen.
    (Nicht etwa “zeta ist-von-vorn-herein-ein-und-das-selbe-wie Union[ s_j[ \zeta ] ]”.)

    In den einzelnen Mengen s_j[ \zeta ] befinden sich jeweils nur ganz bestimmte Elemente aus der oben genannten Grundmenge S.

    Welche (Elemente sich in welcher Menge s_j[ \zeta ] befinden),
    hängt meiner bescheidenen Absicht und Meinung nach mit den oben gelisteten Bedingungen zusammen,
    insbesondere auch mit den Bedingungen (17.1), (17.2) (17.3).

    Bitte die Sache mal mit dieser gedanklichen Einstellung durchsehen.

    Danke (nochmals) im voraus.

  18. #19 Thilo
    29. Januar 2011

    Gut, wenn sie die Blätter unbedingt \theta nennen wollen, dann tun sie das halt, dann IST jedes \theta ein Blatt.
    In der Wikipedia nennt man die Blätter aber K_\theta, also entspricht dann jedem \theta ein Blatt K_\theta. Nur eine Frage der Bezeichnungen, inhaltlich ändert das überhaupt nichts.

  19. #20 Frank Wappler
    29. Januar 2011

    p.s. — der Ordnung halber denke man sich bitte dazu:


    eine Schicht Luft
    eine Schicht Trinkwasser
    eine Schicht Sauerkirsch-Sirup
    eine Schicht Trinkglas-Boden
    eine Schicht Wachstuch-Tischdecke
    eine Schicht Küchentisch-Holz
    eine Schicht Luft

  20. #21 Frank Wappler
    29. Januar 2011

    Thilo schrieb (29.01.11 · 03:29 Uhr):

    [ — hab ich jetzt gerade zu meiner Überraschung festgestellt.
    Meine Güte seid ihr eilig! — ]

    > Gut, wenn sie die Blätter unbedingt \theta nennen wollen, dann tun sie das halt, dann IST jedes \theta ein Blatt.

    Puh …
    Ist diese Bemerkung jetzt als besonders spitzfindig zu nehmen? … Auch gut:

    Viele WP-Leser wollen Blätter ja auch nicht bei dieser Begriffsbezeichung (“Blätter”) nennen, sondern eher “leaves”.
    (Das lässt sich doch per http://de.wikipedia.org/wiki/Bl%C3%A4tterung und http://en.wikipedia.org/wiki/Foliation recht sicher nachweisen; wenn auch viel zu indirekt, MBMN.)

    Mit dem selben Recht (Mutterwitz?) mag jemand anstatt “Blatt” eben “\theta”,
    d.h. identisch-ein-und-das-selbe meinen.

    Zu einer … ähm … Blätterung ( — Mutterwitzbolde mögen diesen Fremdsprachen-Terminus verzeihen –) gehören doch i.A. mehrere verschiedene von eben diesen Dingern (die oben und bisher recht zuverlässig unter dem Begriff “Blatt” firmierten).

    Und diese sollte man doch nach wie vor namentlich unterscheiden können; wie-auch-immer; ausgehend von einem “Sack-voller-einzelner-Namen”.

    Oder versteh ich die zitierte Bemerkung falsch? …

    So.

    > In der Wikipedia nennt man die Blätter aber K_\theta, also entspricht dann jedem \theta ein Blatt K_\theta.

    Sag ich doch!
    Und mit allen anderen Bemerkungen aus “(Thilo· 27.01.11 · 22:35 Uhr)” kann ich (gerade deshalb) sonst rein gar nichts anfangen …

    Und allerspätestens seit “(Frank Wappler· 26.01.11 · 06:01 Uhr)” ging es (mir) doch sowieso nicht mehr um “Mannigfaltigkeit M”, sondern um “Menge S” …

    Um nochmal nach einer weiteren Ausdrucksform zu suchen, die vielleicht selbstverständlich und einvernehmlich ist:

    Ob jemand (im Matheunterricht)
    “F_p –> F_m”
    schreibt,
    oder stattdessen ehen (je nach Geschmack)
    “F_h –> F_l”,
    meint im strikten, recht verstandenen Sinne nichts anderes gemeint, sofern
    irgendwelche “Infrastruktur drumherum” sich eben selbstverständlich dazu anpasst; d.h. man schreibt dazu z.B.

    entweder

    Menge F_p := { x in GanzeZahlen: (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) == 0 },
    und
    Menge F_m := { x in GanzeZahlen: (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) == 0 },

    oder stattdessen eben

    Menge F_h := { x in GanzeZahlen: (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) == 0 },
    und
    Menge F_l := { x in GanzeZahlen: (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) == 0 },

    ,

    und man schreibt entsprechend dazu eben z.B.

    “g_pm: F_p –> F_m” usw.

    oder stattdessen eben

    “g_hl: F_h –> F_l” etc.

    Aber jemand (von den billigen Plätzen), der durchaus
    “F_u –> F_u”
    schreibt,

    oder sich daraufhin irgendwohin (gedanklich) sogar notiert:
    “g bedeutet hier: Identität”,

    der hat doch etwas ganz Bestimmtes (noch) nicht verstanden.

    Stimmen wir wenigstens soweit überein?

  21. #22 Frank Wappler
    8. Februar 2011

    Frank Wappler schrieb (27.01.11 · 07:41 Uhr):

    > “[[Schicht (Mathematik#Mengenlehre)]]” bzw.
    > “[[Schichtung (Mathematik#Mengenlehre)]]”
    > […] für die “Union aller s_[ \lambda ]” bzw. für deren Gesamtheit

    Auch die Gesamtheit der (im obigen Beispiel vorausgesetzten geeigneten) “(nicht unbedingt disjunkte) Teilmengen V_j” stellt ein besonderes mathematisches Objekt dar, das benannt werden sollte;
    mein Vorschlag ist (nicht zuletzt in Anlehnung an die zugrundeliegende Physik-Diskussion): “[[Vlies (Mathematik#Mengenlehre)]]”.

    (Die durch die Begriffswahl naheliegende Benennung der Elemente eines Vlieses, also der Teilmengen “V_j”, als “Fasern”, scheint zumindest nicht unverträglich mit dem Begriff “[[Urbild (Mathematik)|Faser]]n”.)

    Um abschließend den Zusammenhang zwischen den benannten Objekten auszudrücken:

    Eine Gliederung einer Menge S in disjunkte Teilmengen “s_[ \lambda ]” ist eine Schichtung der Menge S bzgl. eines gegebenen Vlieses “{ V_ }” (d.h. sofern die o.g. Bedingungen 11 – 17 erfüllt sind);
    bzw. die Gesamtheit “{ V_ }” von (nicht unbedingt disjunkten) Teilmengen der Menge S ist entsprechend ein Vlies der Menge S bzgl. einer bestimmten gegebenen Schichtung der Menge S.

  22. #23 Thilo
    5. Juli 2011
  23. #25 Thilo
    8. Juli 2011

    Nochmal zum Wiki-Watch-Skandal an der Viadrina: Der Rest war Handarbeit

  24. #27 Thilo
    13. Juli 2011
  25. #28 Thilo
    15. Juli 2011