Symmetrien im Unendlichen

Wenn M Rank 1 hat, dann gibt es auch eine Fortsetzung der differenzierbaren Struktur auf CM, so daß G differenzierbar wirkt – die sogenannte differenzierbare Hadamard-Kompaktifizierung. Zum Beispiel gibt es nicht-äquivalente differenzierbare Hadamard-Kompaktifizierungen des hyperbolischen Raumes, indem man den Rand im projektiven (Klein) bzw. im konformen (Poincaré) Modell hinzufügt.

In der Arbeit “Symmetric spaces of higher rank do not admit differentiable compactifications” wird beweisen, daß eine solche differenzierbare Hadamard-Kompaktifizierung nicht existiert, wenn der symmetrische Raum M den Rang ≥ 2 hat.

Zunächst wird der Spezialfall H² x R¹ behandelt. Hierfür gibt der Autor ein kurzes und elegantes Argument wie folgt: der ideale Rand δM besteht aus 2 Punkten (panels) und einer 1-Parameter-Familie disjunkter Kreisbögen (chambers), die die beiden Punkte verbinden. Wenn s_x die Spiegelung an einem x in H² ist, dann hat die Ableitung von s_x x id : H² x R¹ —> H² x R¹ in (x,t) (für jedes t aus R¹) die Eigenwerte -1,-1,+1. Also, wenn sich die Wirkung der Isometriegruppe differenzierbar fortsetzen ließe, dann müßte die Ableitung von s_x:δM—->δM in den beiden Panels -id sein. Ebenso für jeden anderen Punkt y in H² muß die Ableitung von s_y in den beiden Panels -id sein. Damit muß die Ableitung der loxodromischen Isometrie s_xs_y in den beiden Panels id sein. Weil Darstellungen einfacher Lie-Gruppen entweder treu oder trivial sind, ist das ein Widerspruch.

Ein ähnliches, aber komplizierteres Argument funktioniert, wenn M von der Form M = F x R^k-1 mit rang(F)=1 ist.

Wenn M nun ein beliebiger symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ und Rang k ≥ 2 ist, dann findet man eine eingebettete Kopie von F x R^k-1 mit rang(F)=1. Es ist allerdings bisher nicht bewiesen, ob die Kompaktifizierung von F x R^k-1 in CM=MUδM eine Untermannigfaltigkeit ist. Trotzdem kann der Autor beweisen, daß der Tangentialraum von F einen “Grenzwert” an den Endpunkten singulärer Geodäten hat, welches invariant unter der Wirkung der Isometriegruppe von F wäre, wenn es eine differenzierbare Fortsetzung dieser Wirkung auf δM gäbe, und das genügt, um einen Widerspruch zu bekommen.

(Die zweite Hälfte dieses Beitrags erscheint etwas abgewandelt und übersetzt als Besprechung zu “Symmetric spaces of higher rank do not admit differentiable compactifications” in den “Mathematical Reviews”.)

Kloeckner, B. (2009). Symmetric spaces of higher rank do not admit differentiable compactifications Mathematische Annalen, 347 (4), 951-961 DOI: 10.1007/s00208-009-0464-z