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Minimale Calabi-Yaus

Von / 27. Februar 2011 / 8 Kommentare
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Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten beschreiben die 6 zusätzlichen Dimensionen in der Stringtheorie. Ein am Mittwoch auf dem ArXiv erschienener Preprint konstruiert nun die ‘kleinst-möglichen’ Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Bekanntlich geht man in der (supersymmetrischen) Stringtheorie von 10 Dimensionen aus: die 4-dimensionale Raum-Zeit und eine 6-dimensionale kompakte Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit (das ist eine Kähler-Mannigfaltigkeit mit c1=0).

Es gibt viele Beispiele von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten, zum Beispiel die Lösungsmenge der Gleichung (in komplexen homogenen Koordinaten, d.h. im P4(C)) z15+z25+z35+z45+z55=0:

i-c102e8db58b9dd070b30f8535494bbb2-Quintic_1.png

Eine wichtige Invariante von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sind ihre Hodge-Zahlen hp,q.
(Nach deRham-Theorie kann man ja die Kohomologie einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit mittels Differentialformen berechnen, nach dem Satz von Hodge werden Kohomologieklassen durch eindeutige harmonische Formen repräsentiert, wobei Klassen in der k-ten Kohomologie durch harmonische k-Formen repräsentiert werden. Für Kähler-Mannigfaltigkeiten hat man noch eine zusätzliche Gradierung für harmonische k-Formen: wenn eine Form in pVariablen holomorph und in q Variablen antiholomorph ist (mit p+q=k), dann bezeichnet man sie als (p,q)-Form. Entsprechend kann man die k-te Kohomologie zerlegen in die Summe der (p,q)-Kohomologien mit p+q=k. Die Dimension der (p,q)-Kohomologie heißt die (p,q)-Hodgezahl hp,q.)
Einige Beispiele von Hodge-Zahlen verschiedener Kähler-Mannigfaltigkeiten finden sich in diesem Wikipedia-Artikel (für 4-dimensionale Calabi-Yaus) oder in diesem (für die Quintik).
Für die oben abgebildete Quintik sieht der “Hodge-Diamant” so aus:

1
0 0
0 1 0
1 101 101 1
0 1 0
0 0
1

also h1,1=1 und h2,1=101.

Alle bekannten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten erfüllen h1,1+h2,1≤502. Eine Liste der jetzt bekannten Beispiele für die Werte von h1,1 und h2,1 zeigt das Bild unten aus motls.blogspot.com/2011/02/hodge-minimal-calabi-yau-three-fold.html:

i-c72c40805bdb00a6ccf7fcdac1d5f020-calabi-yau-catalog.JPG

Die Frage, ob es Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten mit den minimal möglichen Hodge-Zahlen
h1,1=h2,1=1 gibt, war bisher offen und sie scheint jetzt gelöst zu sein.

Am Mittwoch erschien auf dem ArXiv der Preprint The 24-Cell and Calabi-Yau Threefolds with Hodge Numbers (1,1) von Volker Braun (Dublin), in dem drei verschiedene Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten mit jeweils h1,1=h2,1=1 konstruiert werden.

i-38471c94a040fad6a82eca477b41d3b4-Schlegel_wireframe_24-cell.png

Die Konstruktion benutzt eine Wirkung von SL(2,Z/3Z) auf dem 24-Zell (einem 4-dimensionalen Polytop, Bild oben) und die entsprechende Wirkung auf einer torischen Varietät. Ein Schnitt des antikanonischen Bündels über der torischen Varietät ist eine Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit und deren Quotient bzgl. der SL(2,Z/3Z)-Wirkung hat die gewünschten minimalen Hodge-Zahlen.

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Kommentare (8)

  1. #1 Sim
    27. Februar 2011

    Ich versteh leider nur Kraut und Rüben aber wenn ich sowas lese dann werd ich mir immer wieder bewusst wie viel man noch lernen kann auf dieser Welt. Irgendwann will ich das auch mal kapiern, das hab ich mir fest vorgenommen.

  2. #2 Thilo
    27. Februar 2011

    Geht mir auch so…

  3. #3 volki
    1. März 2011

    Hallo Thilo,

    Ich habe da eine Frage (kurze und lange Version):

    Kurz: Was ist der Grund warum man sich die Hodgezahlen h^(1,1) und h^(2,1) ansieht?

    Lang: Ich weiß nicht viel (eigentlich gar nichts) über die Klassifikation von 3-folds und 3-dimensionalen Calabi-Yau-folds (weiß man darüber überhaupt etwas genaueres?). Aber warum sind die anderen Hodgezahlen nicht auch interessant? Insbesondere weiß man was über minimale Betti-Zahlen bi (die i-te Bettizahl ist die Summe über die Hodgezahlen h^(p,q) mit p+q=i)? Gibt es aus der Physik oder der Geometrie eine Motivation sich diese minimalen Hodgezahlen anzusehen?

  4. #4 Thilo
    1. März 2011

    Keine Ahnung, aber es ist ja sicher naheliegend, sich die ersten h^(i,j) mit i,j>0 anzusehen (und h^(2,1) ist für Kählermannigfaltigkeiten dasselbe wie h^(1,2)).
    Daß man die von Braun konstruierten Beispiele bisher nicht gekannt hatte, zeigt vermutlich, wie weit man von einer allgemeinen Klassifikation aller Calabi-Yau-3-Folds noch entfernt ist 🙂

  5. #5 volki
    1. März 2011

    “und h^(2,1) ist für Kählermannigfaltigkeiten dasselbe wie h^(1,2)”

    Danke! Das habe ich übersehen! Dann drauf gekommen, dass das doch nicht so ist 🙂 wie ich gehofft habe. Aber ich habe folgendes gefunden:

    Anscheinend ist man oft an Spektralfolgen interessiert. (Für den Laien: solche Folgen verraten oft sehr viel über die Geometrie einer Fläche) Zumindest im Buch von Husemöller Elliptic Curves, Kapitel 19 § 6 werden solche Spektralfolgen kurz diskutiert unter anderm diese:

    H^1(X,O_X)–>H^1(X,\Omega_X^1)–>H^1(X,\Omega_X^2)–>H^1(X,\Omega_X^3)

    wobei X eine Kählermannigfaltigkeit ist und die Hodgezahlen h^(1,1) und h^(2,1) die Dimensionen der Cohomologiegruppen in der Mitte sind. Und dann ist es für einen Mathematiker (vielleicht) interessant für welche Flächen diese Spektralfolgen am Anfang minimal sind.

    Also 2 Stunden damit verbracht, um herauszufinden, dass ich über das Thema leider viel zu wenig weiß und mal mehr über Homologie, Cohomologie und Kählermanigfaltigkeiten lernen sollte. Bin zwar nicht viel zum Arbeiten gekommen, habe aber trotzdem was gelernt 😉

  6. #6 mkf
    2. März 2011

    Durch h^{1,1} und h^{2,1} ist der Hodge-Diamant vollständig beschrieben.

    Man hat ja nicht nur h^{p,q}=h^{q,p} sondern auch h^{p,q}=h^{m-p,m-q}=h^{m-q,m-p} für kompakte Kähler Mfk der komplexen Dimension m(also hier m=3).

    Also muss man für m=3 nur h^{0,0}, h^{1,0}, h^{1,1}, h^{2,0}, h^{2,1} und h^{3,0} kennen.

    Man kann nun allgemein zeigen, dass für Calabi-Yaus (kompakte Kähler Mfk mit Hol=SU(m)) h^{p,0}=1 ist falls p=0,m und sonst 0.
    Daher bleiben dann nur h^{1,1} und h^{2,1} übrig.

  7. #7 hyperellipse
    28. Juni 2011

    gibt es auch formeln um eine calabi-yau-mannigfaltigkeit insbesondere eine quintik in einem dreidimensionalen koordinatensystem darzustellen? ich arbeite mit k3d surf, einem grafischen visualisierungsprogramm für komplexe topologische phänomene und suche nach einer forlem dafür.

  8. #8 Thilo
    29. Juni 2011

    Es handelt sich ja um eine 3-dimensionale Teilmenge in einem 4-dimensionalen Raum, insofern braucht man wohl 4 Koordinaten.
    Mögliche Koordinaten wären x_1=z_1/z_5,…,x_4=z_4/z_5. (Damit bekommt man allerdings nur den Teil der Quintik mit z_5 ungleich 0.) Die Gleichung in 4 Koordinaten ist dann
    x_1^5+x_2^5+x_3^5+x_4^5=0.