Was machten wir hier noch mal? Topologie von Flächen, Anwendungen der hyperbolischen Geometrie und wie klassifiziert man Flächen.

Was machten wir hier noch mal?

Es ging um Flächen:

die konnte man einerseits durch ihre Euler-Charakteristik #Ecken-#Kanten+#Dreiecke unterscheiden (TvF 6), oder auch durch ihre Fundamentalgruppe (TvF 31), oder man konnte sie “geometrisieren” (Tvf 46): der Torus hat flache Metriken (TvF 63), Brezel, Doppelbrezel, etc haben hyperbolische Metriken (TvF 69).

Hyperbolische Metriken auf Flächen hatten vielerlei Anwendungen, zum Beispiel:
– Veranschaulichung von Chaos (TvF 74)
– Trommeln mit identischem Klangspektrum (TvF 78)
– Fundamentalgruppen hyperbolischer Flächen als ‘Vorbild’ für die Theorie der hyperbolischen Gruppen (TvF 83) und der automatischen Gruppen (TvF 138)
– nicht-rekurrente Irrfahrten (TvF 86)
– der Modulraum von Gittern (TvF 95)
– Expander-Graphen (TvF 102)
– Quantenchaos (TvF 106)
– die Kleeblattschlinge (TvF 112) und Knoten im Lorenz-Attraktor (TvF 119)
– die Klassifikation der Selbstabbildungen von Flächen (TvF 140 bis TvF 157)

Vor allem der letzte Punkt zeigt, wie man die Geometrie der hyperbolischen Metriken benutzen kann, um ein rein topologisches Problem (die Klassifikation der Selbstabbildungen von Flächen bis auf Homotopie) zu verstehen.

Andererseits gibt es natürlich schon seit langem eine rein topologische Theorie von Flächen, insbesondere ist die topologische Klassifikation der Flächen (wie sie das Bild oben nahelegt) schon seit dem 19. Jahrhundert bekannt, den ersten vollständigen Beweis der Klassifikation für triangulierte Flächen gaben Dehn und Heegard 1907.
Einen anderen und eleganteren Beweis (allerdings unter der Voraussetzung, daß die Flächen differenzierbare Atlanten haben) liefert die Henkelzerlegung via Morse-Theorie.

Für die Geometrisierung der Flächen hatten wir hier ja unterschiedliche Beweise angegeben: analytische Beweise a la Riemann (TvF 67, TvF 68) funktionieren unabhängig von der topologischen Gestalt der Fläche (beweisen freilich “nur” die Geometrisierung und liefern noch keine Klassifkation der Flächen, ähnlich wie der Thurston-Perelman-Geometrisierungssatz in der 3-Mannigfaltigkeits-Topologie), während der einfachere explizite Beweis der Hyperbolisierung von Flächen (durch Konstruktion eines Fundamentalpolygons in der hyperbolischen ebene, cf. TvF 69) schon eine explizite Beschreibung der Flächen nutzte, also im Prinzip die Klassifikation der Flächen bereits voraussetzte.

Nun sind die meisten der oben aufgelisteten Anwendungen natürlich einfach schon deshalb interessant, weil sie sich eben auf die bekannten hyperbolischen Flächen beziehen. Aber es bleibt natürlich die Frage, ob diese hyperbolischen Flächen (zusammen mit Sphäre und Torus) tatsächlich alle (kompakten, orientierbaren, zusammenhängenden) Flächen sind, oder ob es vielleicht noch irgendwelche ganz anderen Flächen gibt. Und diese Frage wird (negativ) von der topologischen Klassifikation der Flächen beantwortet, weshalb wir, nachdem wir bisher an vielen Beispielen den Nutzen von Geometrisierung diskutiert hatten, in den nächsten Folgen dann auf die rein topologische Theorie von Flächen eingehen werden.


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