In der Diskussion zum Beitrag “Unwahrscheinliches” kam die Frage auf, ob es unendlich kleine Wahrscheinlichkeiten gibt.

Die hat zwar nicht viel mit dem ursprünglichen Thema des Beitrags zu tun, ist aber vielleicht trotzdem mal von grundsätzlichem Interesse.

Endliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Bei im “wirklichen Leben” vorkommenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen hat man natürlich immer nur endlich viele Möglichkeiten, zum Beispiel bei 6 aus 49 gibt es 13.983.816 mögliche Ziehungen.

Jedes mögliche Ereignis hat dann natürlich eine Wahrscheinlichkeit > 0: die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser bei 6 aus 49 ist 1/13.983.816, für einen Fünfer 258/13.983.816 etc.

Das Bild zeigt eine Verteilung mit 20 möglichen Ereignissen:

i-83625be249f794c2ff252c6f8d74d106-Hypergeometrische_Verteilung.PNG

Unendliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Mathematiker beschäftigen sich aber durchaus auch mit unendlichen Mengen.

Zum Beispiel der Menge aller reeller Zahlen zwischen 0 und 1. Man nimmt sich zufällig eine Zahl zwischen 0 und 1 und möchte gern wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie bestimmte Eigenschaften hat.

Die Wahrscheinlichkeit, daß eine solche zufällig gewählte Zahl kleiner als 0,5 ist sollte 0,5 (also 50%) sein. Die Wahrscheinlichkeit, daß sie größer als 0,7 ist, sollte 0,3 sein. Die Wahrscheinlichkeit, daß die erste Nach-Komma-Stelle eine 7 ist, sollte 0,1 sein (alle Nachkommastellen sollten gleichwahrscheinlich sein).

Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Zahl zu einem bestimmten Intervall gehört, sollte die Länge des Intervalls sein:

i-6304e95d288fb5d04432930ddf9dd05c-200px-Illustration_nested_intervals.svg.png

Mathematisch formalisisiert man diese Vorstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung der reellen Zahlen mit dem Lebesgue-Maß.

Das Intervall [0,1] hat Maß 1 und man definiert die Wahrscheinlichkeit einer Eigenschaft E als das Lebesgue-Maß der Menge M={x in [0,1]: x hat Eigenschaft E}.

Zum Beispiel für die Eigenschaft E: x < 0.5 ist die Menge M=[0,0.5) und diese Menge hat Lebesgue-Maß 0.5. Hier hatte ich mich für zufällige Eigenschaften von Zahlen aus dem Intervall [0,1] interessiert. In diesem Fall hat der Gesamt-Raum das Maß 1.
Wenn ich mich für zufällige Eigenschaften von Zahlen aus irgendeinem Intervall [a,b] interessieren würde, müßte ich die Wahrscheinlichkeit jeweils als Lebesgue-Maß dividiert durch b-a definieren. Auf diese Weise hat der Gesamt-Raum wieder die Wahrscheinlichkeit 1.

Wahrscheinlichkeit 0

Ein einzelner Punkt hat Maß 0. Also ist die Wahrscheinlichkeit einer einzelnen Zahl gleich 0. Wenn ich zufällig eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 nehme, werde ich mit Wahrscheinlichkeit 0 gerade 0.5 (oder irgendeine andere spezielle Zahl) ziehen. Trotzdem ist dieses Ereignis natürlich nicht unmöglich.

Anders als bei den endlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt es also jetzt mögliche Ereignisse, die trotzdem Wahrscheinlichkeit 0 haben.

Abzählbarkeit

Jede endliche Menge hat Maß 0. Also z.B. die Menge M={0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}. Wenn ich zufällig eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 nehme, werde ich mit Wahrscheinlichkeit 0 gerade eine dieser 9 Zahlen ziehen.

Maße sind additiv: das Maß einer disjunkten Vereinigung zweier Mengen ist gerade die Summe der Maße der beiden Mengen.

Das Lebesgue-Maß ist aber sogar “σ-additiv”: das Maß einer disjunkten Vereinigung abzählbar vieler Mengen ist gerade die Summe der Maße der einzelnen Mengen.

“Abzählbarkeit” bedeutet hier einfach, daß man die Mengen durchnummerieren kann (mit natürlichen Zahlen), vgl. den Wikipedia-Artikel.

Seit Cantor weiß man, daß die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist. Insbesondere ist sie die Vereinigung abzählbar vieler Mengen, die alle aus jeweils einem Element bestehen. Weil diese ein-elementigen Mengen Maß 0 haben und das Lebesgue-Maß σ-additiv ist, hat dann auch die Menge der rationalen Zahlen Maß 0.

Wenn ich zufällig eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 nehme, werde ich mit Wahrscheinlichkeit 0 eine rationale Zahl ziehen, also mit Wahrscheinlichkeit 1 eine irrationale Zahl.

Das ist natürlich insofern überraschend, daß die meisten der aus der Schule bekannten Zahlen rational sind. Trotzdem gibt es viel mehr irrationale als rationale Zahlen.

“Anwendungen”

Man weiß, daß z.B. π oder die Wurzel aus 2 irrational sind. Wenn man es noch nicht gewußt hätte, könnte man mit dem Argument aus dem vorigen Abschnitt die Existenz irrationaler Zahlen beweisen. Denn wenn die rationalen Zahlen eine Nullmenge sind, dann muß es insbesondere irrationale Zahlen geben. Die Wahrscheinlichkeitstheorie beweist also die Existenz irrationaler Zahlen.

Man muß natürlich sagen, daß der klassiche Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 (oder auch dieser geometrische Beweis) einfacher ist als Cantors Beweis der Abzählbarkeit rationaler Zahlen und die Konstruktion des Lebesgue-Maßes.

Es gibt aber auch schwierigere mathematische Probleme, auf die sich solche Wahrscheinlichkeits-Argumente anwenden lassen.

Zum Beispiel die Frage nach der Existenz transzendenter Zahlen. Das sind Zahlen, die man nicht als Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten bekommen kann. Es ist sehr schwer, explizit die Transzendenz einer Zahl zu beweisen. Das erste bekannte Beispiel einer transzendenten Zahl wurde 1844 von Liouville konstruiert, Lindemann bewies 1882 die Transzendenz von π

Man kann aber (ähnlich zu Cantors Beweis der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen) beweisen, daß die Menge der Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten abzählbar ist. Insbesondere ist die Menge der Nullstellen solcher Polynome abzählbar, hat also Lebesgue-Maß 0.

Wenn ich zufällig eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 nehme, werde ich mit Wahrscheinlichkeit 0 eine Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms ziehen, also mit Wahrscheinlichkeit 1 eine transzendente Zahl. Insbesondere gibt es transzendente Zahlen, auch wenn ich (mit diesem Beweis) natürlich noch nicht weiß, wie ich ein konkretes Beispiel bekommen kann.

Solche Existenzbeweise mittels wahrscheinlichkeitstheoretischer Argumente gibt es inzwischen in vielen Teilgebieten der Mathematik. Oft sind es gerade die scheinbar komplizierten Eigenschaften, die eine hohe Wahrscheinlichkeit haben. Ein Beispiel: in der theoretischen Informatik interessiert man sich für sogenannte Expander-Graphen (TvF 101), die gute Stabilitäts-Eigenschaften haben. Wenn man einfach zufällig einen Graphen zeichnet, ist dieser mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Expander – das beweist insbesondere, daß es Expander-Graphen gibt. Die Konstruktion expliziter Serien von Beispielen erfordert aber schwere Mathematik (TvF 103).

Kommentare (49)

  1. #1 Ex-Esoteriker
    17. März 2011

    klingt kompliziert.

    Bed. dies, dass die Wahrscheinlichkeit = 1 ist, wenn ich zwischen 0 und 1 eine transzentendale Zahl “blind ziehe?”

    Klingt komisch, wie kann ich mir das am besten “nichtmathematisch” vorstellen?

    Polynome hatte ich nicht in der Schule, habe also absolut keine Ahnung davon.

  2. #2 BreitSide
    17. März 2011

    Beim Lesen des Titel hatte ich tatsächlich gedacht, es ginge wieder um die Atomdebatte, wo ja das Risko für Ereignisse wie Fukushima oder Tschernobyl “praktisch null” ist, die Ereignisse dann aber doch auftreten.

    Ansonsten für mich recht schwerer Tobak. Erinnerungen werden wach an HM1 und HM2…

    Das mit den transzendenten Zahlen wusste ich schon nicht mehr ;-(

  3. #3 knorke
    17. März 2011

    Ich tue mich irgendwie schwer mit der Wahrscheinlichkeit = 0. Schulmathematisch würde mir einleuchten, wenn diese annähernd 0 wäre bzw. 1/ unendlich.

    Ab der Stelle mit dem Beweis irrationaler Zahlen bzw. eigentlich schon am Punkt Abzählbarkeit bin ich dann ausgestiegen. Von irrationalen Zahlen hatte Florian nebenan ja auch grade im Zusammenhang mit Pi von geredet, aber irgendwie ist das nix für mich, mich da kurz nach nem Broiler mit Kartoffelsalat reinzudenken.

  4. #4 volki
    17. März 2011

    Also ich finde noch deutlicher, als bei den transzendenten Zahlen sieht man das bei normalen Zahlen.

    http://de.wikipedia.org/wiki/Normale_Zahl

    Man kann beweisen, dass fast alle Zahlen normal sind, aber man kennt kein einziges Beispiel einer normalen Zahl, das nicht irgendwie konstruiert wurde (z.B. Champernowne’s number). Man vermutet z.B das sqrt(2), pi, e, … alle normal sind, aber beweisen konnte man das bis jetzt noch nicht.

  5. #5 Heterodyne
    17. März 2011

    Irgendwie beruhigend, daß andere da auch Probleme haben 😉 Die Abzählbarkeit geht ja noch problemlos, aber die Wahrscheinlichkeit 0, die dann aber trotzdem da ist, das muß ich mir nochmal am Gehirnschmalz zergehen lassen.
    Sehr interessante Ausführung.

  6. #6 Thomas J
    17. März 2011

    Ist denn “wahrscheilichkeit unendlich klein” = 0 ?

  7. #7 volki
    17. März 2011

    @Thomas: ja = 0.

    Aber es tut der Mathematikerseele weh, wenn Leute von unendlich kleinen Zahlen sprechen, um so etwas zu vermeiden hat man den Begriff des Grenzwertes erfunden! 😉

  8. #8 Ex-Esoteriker
    17. März 2011

    @ volki,

    Aber es tut der Mathematikerseele weh, wenn Leute von unendlich kleinen Zahlen sprechen

    Ehrlich? Kann ich erlich gesagt mir gar nicht vorstellen, dass es sowas unter Mathematiker gibt.

    D.h. wenn ein Wert 0,00…(X)345 beträgt,

    (X) = die sagen wir mal die 35te Stelle nach dem Komma beträgt, dass der Wert gleich als “0” gilt?

  9. #9 PaulLinus
    17. März 2011

    Danke, sehr interessant.

  10. #10 JLN
    17. März 2011

    Ex-Esoteriker: nein, dein Beispiel gälte unter Mathematikern nicht als 0. Aber es gibt Ereignisse, die mit Wahrscheinlichkeit 0 eintreten und dennoch möglich (und für uns vielleicht sogar normaler) sind, wie eben in dem Artikel.

    Ein noch ein bisschen einfacheres Beispiel:

    Die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 0.5 im Intervall (0,1) zufällig zu treffen ist 0. nicht 0.0000…0001 oder so, sondern wirklich 0 (die Länge eines Punktes ist 0…). Trotzdem gibt es die Zahl 0.5 natürlich, und man rechnet auch mit ihr – nur ist sie eben zufällig nicht zu treffen.

  11. #11 clint
    17. März 2011

    “Man muß natürlich sagen, daß der klassiche Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 (oder auch dieser geometrische Beweis) einfacher ist als Cantors Beweis der Abzählbarkeit rationaler Zahlen und die Konstruktion des Lebesgue-Maßes.”

    Wird bei der Konstruktion des Lebesgue-Maßes nicht die Supremums Eigenschaft der reellen Zahlen verwendet, also insbesondere die Existenz irrationaler Zahlen?

  12. #12 Thilo
    17. März 2011

    Wird bei der Konstruktion des Lebesgue-Maßes die Supremums Eigenschaft der reellen Zahlen verwendet, also insbesondere die Existenz irrationaler Zahlen

    Irrationale Zahlen braucht man m.E. nicht, um das Supremum reeller Zahlen und das Lebesgue-Maß zu definieren.

    Die Existenz irrationaler Zahlen kann man natürlich aus der Supremums-Eigenschaft herleiten, z.B. in dem man (mit dem üblichen Schul-Beweis der Irrationalität von sqrt(2)) zeigt, daß das Supremum der Menge {x in Q: x^2 kleiner 2} keine rationale Zahl sein kann.

    Die Supremums-Eigenschaft selbst ist aber eigentlich eines der Axiome der reellen Zahlen (oder ergibt sich je nach Definition der reellen Zahlen direkt aus den Definitionen), und man kann dieses Axiom formulieren (bzw. aus der jeweiligen Definition herleiten) ohne schon zu wissen, daß es irrationale Zahlen gibt.

    Natürlich bekäme man letztendlich einen Widerspruch zur Supremums-Eigenschaft, wenn es keine irrationalen Zahlen gäbe, aber das ist eben der oben erwähnte Beweis der Irrationalität von sqrt(2) aus der Supremums-Eigenschaft.

  13. #13 Sim
    17. März 2011

    Endlich mal ein klar verständlicher Artikel xD

    Was ich mich allerdings doch frage…

    Die Wahrscheinlichkeit, daß eine solche zufällig gewählte Zahl kleiner als 0,5 ist sollte 0,5 (also 50%) sein. Die Wahrscheinlichkeit, daß sie größer als 0,7 ist, sollte 0,3 sein. Die Wahrscheinlichkeit, daß die erste Nach-Komma-Stelle eine 7 ist, sollte 0,1 sein (alle Nachkommastellen sollten gleichwahrscheinlich sein).

    Kann man das so sagen, das letzte was in Klammern steht? Ich denk gerade an solche Dinge wie 1.999… und 2.000… beschreiben ja die gleiche Zahl, nämlich 2. Also wo eine periodische 9er Folge auch ersetzt werden kann in dem die vorherige Ziffer um 1 erhöht und die 9er-Periode , dann durch eine 0er Periode ersetzt wird. Hm es dürft ja nur abzählbar viele reelle Zahlen geben die eine Dezimaldarstellung mit 9-Periode haben. Wenn ich so drüber nachdenke dürften das genau alle rationale Zahlen sein für die man so eine Darstellung findet. Also gibts 2 Darstellungen für jede rationale Zahl. Und zwei mal abzählbar bleibt abzählbar, ok dann ist das nur ne Nullmenge bzgl. des Lebesgue-Maßes.

    Gut also wenn man festlegt, dass man eine eindeutige Darstellung für reelle Zahlen hat und solche 9er Perioden zum Beispiel ausschließt, dann müsst das passen. Oder, was meinst du, ist das so die korrekte Erklärung dafür?

  14. #14 Sim
    17. März 2011

    @ Ex-Esoteriker

    Ehrlich? Kann ich erlich gesagt mir gar nicht vorstellen, dass es sowas unter Mathematiker gibt.

    D.h. wenn ein Wert 0,00…(X)345 beträgt,

    (X) = die sagen wir mal die 35te Stelle nach dem Komma beträgt, dass der Wert gleich als “0” gilt?

    Das ist übrigens so ne Falle. In den üblichen rellen Zahlen machts mathematisch gesehen gar keinen Sinn von kleinen oder großen Zahlen zu sprechen. Das ist so, weil die reellen Zahlen sind hochgradig selbstähnlich. Zwischen jeder rellen Zahl die echt größer als Null ist liegen genau so viele reelle Zahlen zwischen Null und dieser Zahl wie nach dieser Zahl liegen. Da kannst du mit Nullen um die werfen wie du willst. Wenn du also eine “vermeintlich kleine Zahl” zu konstruieren versuchst wie 0,00000000.. und noch ein Batzen Nullen , dann muss ja irgendwann noch etwas kommen das nicht Null als Nachkommaziffer ist, sonst wär unsere Zahl ja nicht größer als Null. Und genau dann haben wir die Zahl im Sack. Denn vor der ersten Stelle die Nicht Null ist liegen nur endlich viele Ziffern aber dahinter sind es unendlich viele. Ein ganzer Kosmos tut sich auf!

  15. #15 Thilo
    17. März 2011

    Es sind noch nicht einmal alle rationalen Zahlen, sondern nur die mit endlicher Dezimalbruchdarstellung (also diejenigen, wo in der Primfaktorzerlegung des Nenners nur Potenzen von 2 und 5 vorkommen), bei denen die Dezimalbruchdarstellung nicht eindeutig ist. Auf jeden Fall ist das eine abzählbare Menge, also Maß 0, kann also bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten vernachlässigt werden.

    Im konkreten Fall (erste Nachkommastelle eine 7) gibt es ohnehin nur zwei Zahlen, bei denen die Zugehörigkeit zur Menge nicht klar ist, nämlich 0,7=0,699999… und 0,79999…=0,8. D.h. man könnte sich darüber streiten, ob es sich bei der Menge um das halboffene Intervall [0.7,0.8) oder um das halboffene Intervall (0,6999…,0.7999…] handelt. Jedenfalls haben aber beide Intervalle das selbe Maß 0,1.

  16. #16 JK
    17. März 2011

    Interessantes Thema.

    “Wenn ich zufällig eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 nehme, werde ich mit Wahrscheinlichkeit 0 gerade 0.5 (oder irgendeine andere spezielle Zahl) ziehen. Trotzdem ist dieses Ereignis natürlich nicht unmöglich”.

    Laienfrage: Wie nimmt man tatsächlich “zufällig” eine reelle Zahl, mit welchem physikalischen Zufallsgenerator? Und dürfen wir unser Alltagsverständnis von “Unmöglichkeit” überhaupt auf eine so gebildete mathematische Wahrscheinlichkeit 0 übertragen?

  17. #17 Sim
    17. März 2011

    @ Thilo

    Achso, na eben. Hab ich ganz verdrängt dass es ja auch noch andere Perioden gibt.

    Den Rest kapier ich dann wieder. Obwohl es natürlich schon gemein wäre, die 0.7 aus der Menge aller rellen Zahl aus [0,1] mit zweiter Nachkommastelle 7 nicht mit zu berücksichtigen 😉 Drum würd ich für [0.7,0.8) votieren.

  18. #18 volki
    17. März 2011

    @Ex-Eso: Also Mathematiker haben eine Seele. Zumindest manche, bei einigen bin ich mir auch nicht sicher 😉

    Wie schon PaulLinus erklärt hat (übrigens Danke für die Antwort. Stimme voll zu) ist eine Wahrscheinlichkeit 0.0000…00035 mit sehr sehr vielen Nullen nicht 0.

    Das was Thomas gemeint hat ist z.B. wenn ich einmal würfle dann bekomme ich mit Wahrscheinlichkeit 1/6 eine 1. Die Wahrscheinlichkeit zweimal hintereinander eine 1 zu würfeln ist 1/36, dreimal 1/216, viermal 1/1296 und k-mal 1/6^k. Also die Wahrscheinlichkeit k mal hintereinander eine 1 zu würfeln wird immer unwahrscheinlicher. Und wenn du mir eine Schranke e>0 (z.B. das e aus deinem Beispiel mit den 35 Nullen nach dem Komme) vorgibts dann kann ich dir sagen ab welchem k es unwahrscheinlicher, ist k-mal hintereinander eine 1 zu würfeln als, dass ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit e eintritt (in dem Beispiel mit dem e und den 35 Nullen reicht k=100 zu wählen und 100 mal eine 1 zu würfeln ist zwar recht unwahrscheinlich aber doch denkbar).

    So und jetzt kommt’s: Wenn ich unendlich lange würfeln würde und immer eine 1 Würfeln würde dann wäre dafür die Wahrscheinlichkeit 0 aber wenn ich nur 1 Million mal würfeln würde und immer eine 1 würfle ist dafür die Wahrscheinlichkeit sehr sehr klein aber nicht 0.

    Besseres Beispiel nimm eine Zielscheibe und schieß mit einem Pfeil mit einer Punktförmigen Spitze darauf. Die Wahrscheinlichkeit sehr nahe in der Mitte zu landen ist sehr klein und um so mehr ich fordere, dass man die Mitte treffen soll also immer kleinere Kreise um die Mitte ziehe um so schwere bzw. unwahrscheinlicher wird es, dass jemand trifft. Wenn ich jetzt haben möchte, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner als e sein soll, mit der man trifft dann kann ich einen Radius r des Kreises in der Mitte angeben für den die Trefferwahrscheinlichkeit so klein ist. Und im Grenzfall wird die Wahrscheinlichkeit dann halt 0.

    Ich hoffe die Erklärung (ist jetzt länger als geplant) hilft ein bischen. Übrigens schau einmal nach was ein Grenzwert ist…

    http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29

    Ist dort zwar nicht unbedingt die beste Erklärung aber ich könnts auf die schnelle auch nicht besser.

    lg
    Volki

  19. #19 Sim
    17. März 2011

    @ JK

    Ich wüsste zumindest nicht wie man das mit den derzeitigen Mitteln bewältigen soll. Angenommen man geht zu Beispiel so vor, dass man das Intervall [0,1] in Teilintervalle zerlegt und dann auswürfelt ob die Zahl großer als 0,5 oder kleiner gleich 0,5 ist und dann das entsprechnde Intervall wieder halbiert und so weiter, dann wird man ja in der Realität nicht fertig. Weil man immer ein Intervall erhällt in der sich die gesuchte Zahl befinden könnte aber niemals die Zahl selber.

  20. #20 Thomas R.
    18. März 2011

    Als einer, der am Aufwerfen der Ursprungsfrage beteiligt war (und offenbar Unrecht hatte): Danke für die Aufklärung, das war wirklich informativ.

  21. #21 Sascha
    18. März 2011

    Wahrscheinlichkeit ist nicht durch ein ideales statistisches Ensemble gegeben (das interval [0,1] for example), sondern durch eine machbare Prozedur des “Ziehens” eines beliebigen Mitglieds des Ensembles.
    Zu etwas Aehnlichem, siehe diese Artikel zu “Unendlich Unwahrscheinliche Zufaelle”:
    http://www.science20.com/alpha_meme/infinitely_improbable_coincidences-71043

  22. #22 Ex-Esoteriker
    18. März 2011

    @ volki,

    vielen Dank für deine Erklährung.

    Also kurz gesagt, die Wahrscheinlichkeit 0 ist mehr oder weniger “nur vorhanden”, wenn ich unendliche Möglichkeiten habe?

    Z.B. dein Würfelexperiment, hasst du sehr schön beschrieben, also unendlich mal würfeln, will wissen wie hoch die Wahrscheinlichkeit beträgt, x-mal 1er hintereinnander zu würfeln.

    Das währe also z.B. 0.

    D.h. ich müsste Dinge “unendlich” lang durchführen, damit ein erwartetes Ereigniss was ich will (z.B. sehr viele 1er hintereinnander weg) = 0 ist.

    Dasselbe also auch für den Zahlenstrahl, die Wahrscheinlichkeit 0,5 zu treffen ist desswegen 0, weil es z.B. schon alleine zwischen 0,0 bis 0,1 unendliche Punkte (Zahlenwerte) gibt?

    Ich hoffe, ich habe es jetzt verstanden, aber ich sage mal so, praktisch ist das ja eigentlich “nutzlos”, aber wenn es um unendlichkeit geht, klar, dass kann ich mir schon vorstellen.

    Anders gefragt, gibt es für diese 0-Wahrscheinlichkeiten eigentlich praktische Anwendungen?

    Aber Wahrscheinlichkeiten kann man ja doch errechnen, wenn man praktisch alles “eingrenzt”, z.B. 1 Mio mal würfeln (1 Mio = die Grenze), wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, 10 Sechsen hintereinnander zu würfeln?

    PS: Grenzwertrechnungen hatte ich nicht in der Schule, ist vielleicht Gymnasialstoff oder?

  23. #23 Sim
    18. März 2011

    Ich hoffe ich darf auch antworten.

    D.h. ich müsste Dinge “unendlich” lang durchführen, damit ein erwartetes Ereigniss was ich will (z.B. sehr viele 1er hintereinnander weg) = 0 ist.

    Das scheint mir nicht richtig. Denn es ist im Gegenteil so, dass je öfter du ein Zufalls-Experiment wiederholst, ein Ereigniss dessen Ws. großer als 0 ist auch mit immer höherer Ws. irgendwann auftaucht.

    Wenn du zum Beispiel versuchst zehn mal 1en hintereinander zu würfeln. Dann kannst du zehn mal würfeln und feststellen ok schon der erste Wurf war keine 1 =(
    Aber wenn du das Experiment,10-mal-würfeln-und-gucken-was-passiert, öfter durchführst, dann wird es um so wahrscheinlicher dass eine lange Kette von 1en gewürfelt wird. Bei hinreichend großer Wiederholung des Exeriments kannst du die Wahrscheinlichkeit des auftretens dann auch 0,9 oder sogar auf 0,999 oder sogar auf 0,99999999999999 steigern. Das ist alles mit einer endlichen Anzahl von Wiederholungen möglich.

    Ok wie wärs damit. Hier ist ein Link zu einer Seite die 1 Millionen Stellen von Pi angibt. http://www.eveandersson.com/pi/digits/1000000 .

    Denk dir eine beliebige 5 stellige oder sogar 6 stellige Zahl aus. Und such dann innerhalb der Seite (Bei mir geht das per Strg+F) nach dieser Ziffernfolge. Du wirst sehen, dass du ziemlich oft fündig wirst.

    Also kurz gesagt, die Wahrscheinlichkeit 0 ist mehr oder weniger “nur vorhanden”, wenn ich unendliche Möglichkeiten habe?

    Wir müssen ausserdem noch fordern dass für diese Möglichkeiten gilt, dass eine genauso wahrscheinlich ist wie die andere. Dann sagt man in der Mathematik das Ereignis ist fast sicher Null. Aber es ist davor zu warnen, das in die Realität übertragen zu wollen. Die Mathematik bildet einen idealen Rahmen und schafft sich ihre eigene Realität in der sie ihre Gesetze beweist. Es ist wichtig diese Sachverhalte so zu interpretieren, so dass es Sinn ergibt sie in der Realität anzuwenden.

    Nehmen wir einen Grenzwertprozess (ja das ist gymnasial-Stoff) . Grenzwerte definiert man für Zahlenfolgen. Und eine Zahlenfolge ist vornehm ausgedrückt eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen. Aber für den Anfang reicht es zu sagen eine Zahlenfolge ist eine… naja… Folge von Zahlen.

    nehmen wir grad mal die Folge 1/6, 1/6^2 , 1/6^3, 1/6^4 , …. also das n-te Folgenglied dieser Folge soll den Wert 1/6^n haben. Nun gibt jeweils das n-te Folgenglied dieser Folge gerade an wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist zum Beispiel n mal hintereinander eine 1 zu würfeln. Was man auch sieht ist, dass je weiter man in der Folge vorranschreitet , desto kleiner werden die Zahlen.

    Diese spezielle Folge hier zum Beispiel hat den Grenzwert 0. Und das bedeutet anschaulich dass wir an die 0 beliebig nah herrankommen ABER, und das ist ganz wichtig, hier liegt der Hase im Pfeffer darum gehts in der ganzen Diskussion *trommel* wir können nicht notwendigerweise erwarten, dass die Glieder den Wert 0 genau annehmen. Wir können nur versichern, dass der Abstand zwischen den Gliedern und 0 so gering sein kann wie wir es uns wünschen, aber beim Wünschen müssen wir darauf verzichten dass der Abstand exakt 0 wird.

    So und jetzt nochmal ordentlich. Wir haben also so eine Zahlenfolge wie oben gegeben das n-te Folgenglied ist 1/6^n, der Grenzwert dieser Folge ist 0, das bedeutet wir können uns eine Zahl ausdenken die echt größer als 0 sein muss und DANN können wir fröhlich erwarten, dass es ein Folgenglied gibt, ab dem ALLE noch folgenden Folgenglieder einen Abstand zur 0 aufweisen der geringer ist als der von uns vorgegebene.

    Das bedeutet der Grenzwert. Es bedeutet nicht, dass die Folge diesen wert nach unendlich vielen Gliedern irgendwann annimmt, das ist mathematisch unsauber. Es gibt keine Stelle “unendlich”. Wir können uns immer nur endlich viele Folgenglieder anschauen. Unendlich ist hier keine Zahl, es beschreibt einen Prozess. Es steht für die Möglichkeit so nah an den Grenzwert zu gelangen wie man möchte, ABER NICHT NOTWENDIGERWEISE EXAKT NULL (sorry wenn ich darauf rumreite, aber das ist schweine wichtig ^^ ).

    Unsere Beispiel-Folge nimmt den wert 0 dann auch niemals an und wenn wir diese Folge interpretieren in der hinsicht, dass jedes Folgenglied für die Ws. n-mal hintereinander eine 1 zu würfeln steht. Dann sieht man, es wird immer unwahrscheinlicher, nimmt aber den Wert 0 niemals an. Und das bedeutet wiederrum man kann mit einer hinreichend großen Anzahl von würfen dieses Ereigniss doch relativ sicher erwarten.

    Nagut ich hoffe ich hab nicht zu viel geschwafelt und es war etwas hilfreich.

  24. #24 Jeeves
    18. März 2011

    Ist mir alles zu kompliziert, mir fehlt die Ausbildung, um das alles zu verstehen.
    Ich weiß aber: auch bei der Lotto-(Un)wahrscheinlicheit von 1 zu 14 Millionen gibt’s ja IN DER TAT ab und zu jemanden, der den Lotto-Gewinn einsackt. DAS ist real und verständlich, es leuchtet sogar Blödzeitungslesern ein (nur nicht Politikern …oder lügen die etwa?)

  25. #25 JKatins
    18. März 2011

    Ich denke, JK hat genau den Knackpunkt der Problematik erkannt.

    Aber, um euch zu verwirren, möchte ich hier einmal behaupten, dass auch der umgekehrte Fall gilt:
    “Es gibt Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit 1, die unmöglich sind.”

    Als Beispiel wähle ich hier wieder die Menge [0..1].
    Wenn ich nun zufällig eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 nehme, werde ich mit Wahrscheinlichkeit 1 irgendeine(!) Zahl ziehen. Das Ereignis “irgendeine Zahl” hat also die Wahrscheinlichkeit 1, sollte also doch wohl auch möglich sein.
    Trotzdem ist es, wie JK schon vermutete, natürlich völlig unmöglich, irgendeine Zahl aus der Menge [0..1] zufällig auszuwählen. Das ist auch keine Frage des derzeitigen Standes der Mathematik oder unseres unzureichenden Wissens, es geht einfach nicht. Es ist nicht möglich, aus einer unendlichen Menge ein Element zufällig auszuwählen.

    Und schon haben wir ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 1, das unmöglich ist.

  26. #26 PaulLinus
    18. März 2011

    @JLN: “Trotzdem gibt es die Zahl 0.5 natürlich, und man rechnet auch mit ihr – nur ist sie eben zufällig nicht zu treffen.”

    Gleichwohl, 0.5 existiert nicht “wirklich”, oder? Ich meine, als tatsächliches “Phänomen” (nicht als Mittelwert) in einem denkbaren Experiment.

    gPL

  27. #27 Thilo
    18. März 2011

    Es ist nicht möglich, aus einer unendlichen Menge ein Element zufällig auszuwählen.

    Hmm, wie wäre es mit radioaktivem Zerfall? Der Zerfallszeitpunkt eines einzigen Atoms ist völlig zufällig. Wenn wir also z.B. die Lebensdauer eines Berylliumatoms messen, bekommen wir eine zufällige reelle Zahl.

    Praktisch können wir diese natürlich nur mit begrenzter Genauigkeit messen. Aber jedenfalls haben wir eine reelle Zahl zufällig ausgewählt.

    (Außerdem handelt es sich hier um keine Gleichverteilung, nicht alle Zeitintervalle sind gleichwahrscheinlich.)

  28. #28 volki
    18. März 2011

    @Ex-Eso: Also ganz grob glaube ich hast du es verstanden. Zumindest das mit der Zahlengerade, beim würfeln bin ich mir nicht sicher ob du dich schlecht ausdrückst oder noch einen Denkfehler hast. Falls du einen Denkfehler hast sollte die Erklärung von sim weiterhelfen (tut sie auch so).

  29. #29 volki
    18. März 2011

    @JKatins: Also so wie ich das verstehe hast du ein Grundsätzliches Problem mit den reellen Zahlen. Weil wie beschreibst du eine beliebige reelle Zahl? Im Allgemeinen braucht man unendlich viel Information um reelle Zahlen zu beschreiben. Und unendlich viel Information hat man halt nicht zur Verfügung. Die reellen Zahlen sind ein rein mathematisches Objekt und haben mit der Realität wenig zu tun. Man kann z.B. nicht sinnvoll unter die Plancklänge gehen, bei den reellen Zahlen ist das kein Problem. Die reellen Zahlen beschreiben nur sehr gut sehr viele Dinge in der Natur, die man beobachten kann.

    @PaulLinus: 0.5 existiert. Das ist die Lösung der Gleichung 2*x=1. 😉 Ob du aber physikalisch jemals die Zahl 0.5 realisieren kannst, ist eine andere Frage und hat eher was mit Physik bzw. Philosophie zu tun, aber nicht mit Mathematik.

  30. #30 rolak
    18. März 2011

    Klar existiert 0.5 – ich habe jahrelang erfolgreich in Franken “ne Halbe” bestellt und auch prompt serviert bekommen.

    Außerdem handelt es sich hier um keine Gleichverteilung, nicht alle Zeitintervalle sind gleichwahrscheinlich.

    Dafür gibt es doch prima Rauschgeneratoren, Thilo. Für meine ersten Rechner (jetzt bitte nichts Großes vorstellen, das war so zweite Hälfte 70er und Selbstbau) hab ich ja noch so ein “Diode in Sperrrichtung”-Ding gebastelt — doch mittlerweile sollte es diese alten Hunde auch gut abgeschirmt als USB-Stick für Plug&Pray geben.

  31. #31 Ex-Esoteriker
    18. März 2011

    @ volki,

    da kann ich mir von sim weiter den Beitrag hundert mal durchlesen, aber komme einfach nicht dahinter.

    Gerade die Folge (1/6)^n,

    habe mal dies in Excel immer wieder eingegebn: 1/6^1, 1/6^2,…1/6^n.
    Bei mir bis 1/6^51 = 2,062*10^-40, und was heist das jetzt genau für die Wahrscheinlichkeit von 0 ?

  32. #32 rolak
    18. März 2011

    Korrektur: Der kaputtkopierte link da oben zum alten Hund sollte hierhin zeigen.

  33. #33 Sim
    18. März 2011

    @ Ex-Esoteriker

    Es bedeutet, dass es für unsere Würfelbeispiel keine Wahrscheinlichkeit von 0 gibt. Das heißt, egal wie groß die Anzahl an 1en ist die du hintereinander zu würfeln versuchst, die Wahrscheinlichkeit dass es eintrifft ist niemals 0.

  34. #34 Ex-Esoteriker
    18. März 2011

    Na toll,

    sowas hatte ich doch schon lange gedacht, als ich hier gepostet hatte. dass ein Würfelspiel niemals 0 Wahrscheinlichkeit hat, aber in dem Bericht kommt mir das irgendwie bei den Zahlen anders vor, na wie auch immer, bin kein Mathematiker, ich vertraue lieber der “praktisch anwendbaren” Mathematik.

    Scheint mir doch ein bissl zu hoch zu sein, dass Thema Unendlichkeit.

    Schade, dabei fange ich gerade an, mich für Mathematik zu interessieren *kein Scherz*.

    Hier die Sichtweise von volki, was ich damit meine:

    Wenn ich unendlich lange würfeln würde und immer eine 1 Würfeln würde dann wäre dafür die Wahrscheinlichkeit 0 aber wenn ich nur 1 Million mal würfeln würde und immer eine 1 würfle ist dafür die Wahrscheinlichkeit sehr sehr klein aber nicht 0.

    Also doch, egal wie man lange würfelt, ist doch eine wenn auch sehr sehr kleine Wahrscheinlichkeit da.

  35. #35 Sim
    18. März 2011

    @ Ex-Esoteriker

    Na ist doch super wenn du dir das schon gedacht hast. Da siehst du, dass du das instinktiv richtig überlegt hast. Man darf sich halt nicht von mathematischen Formulierungen verwirren lassen.

    Und ich finds toll wenn du dich für Mathematik interessierst. Gerade das Thema Unendlichkeit ist ein sehr spannendes. Da haben sich ja schon viele Leute daran die Finger verbrannt aber das macht es um so spannender. Mathematiker unterscheiden nämlich zwischen verschiedenen graden von Unendichkeit. Da wäre zum einen das potentiell Unendliche, das sind zum Beispiel die natürlichen Zahlen, auch abzählbar unendlich genannt.

    Und dann haben wir das aktual unendliche auch überabzählbar Unendlich genannt. Da ist es nicht möglich alle Elemente einer überabzählbar unendlichen Menge in einer Reihe aufzuschreiben so wie es bei den natürlichen Zahlen möglich wäre. Die rellen Zahlen sind überabzählbar unendlich während die natürlichen, ganzen und sogar rationalen oder algebraischen Zahlen abzählbar unendlich sind.

    Lass dich ruhig nicht entmutigen. Mathematik ist auch spannend. Ich würd einfach mal behaupten das kann fast jeder lernen, hab keine Angst, dass es dir zu hoch sein könnte. Man bekommt mit der Zeit einfach ein Gefühl dafür wenn man in die Welt der Zahlen eintaucht und etwas mit ihnen rumspielt und experimentiert.

  36. #36 Anton
    18. März 2011

    Also doch, egal wie man lange würfelt, ist doch eine wenn auch sehr sehr kleine Wahrscheinlichkeit da.

    Eben nicht, wenn es unendlich viele Teile gibt, die auswählbar sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit ein Teil davon auszuwählen Null.

    Wenn ich eine Strecke auswähle, wie die Strecke zwischen 0 und 1 und daraus eine relle Zahl auswählen will (von der es zwischen 0 und 1 unendlich viele gibt), dann ist die Wahrscheinlichkeit eine von diesen unendlich vielen rellen Zahlen auszuwählen gleich Null.

    Vielleicht eine andere Analogie: Eine Strecke besteht aus unendlich vielen Punkten. Ein Punkt hat keine Ausdehnung, ist also Null-Dimensional. Die unendlich vielen reellen Zahlen in der Strecke 0-1 sind nun diese uendlich vielen “Punkte”, sie besitzen keine Länge und damit ist auch die Wahrscheinlichkeit null (aber eben nicht unmöglich) eine auszuwählen.

    Und wichtig ist 0,000…0001 ist nicht unendlich klein – unendlich klein ist unendich klein, es gibt dafür keine Darstellungsmöglichkeit mithilfe der Form “0,000…0001”. DEine mögliche Darstellungsform ist 1/∞.

    Und ja “Unendlichkeit” bedarf durchaus anderer Gedankemodellen als aus der “normalen” Mathematik. Ein nettes Heftchen zum Einlesen ist das hier: http://www.spektrumverlag.de/artikel/849222

  37. #37 JKatins
    19. März 2011

    @Thilo
    Dass nicht alle Zeitintervalle gleich wahrscheinlich sind, ist hier, denke ich, mal egal.
    Aber jetzt gehts in die Quantenmechanik. Leider kann man einen Zeitpunkt nicht nur praktisch sondern auch theoretisch nicht genau bestimmen. Da hat Heisenberg seine Unschärferelation dagegen gesetzt. Wenn man so einen Zeitpunkt misst, erhält man immer ein kleines Zeitintervall, dem man dann auch eine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit zuordnen kann.

    @volki
    Sooo viele Informationen braucht man aber nicht, um irrationale Zahlen zu beschreiben. Ich schaffe das mit ganzen drei Wörtern: Wurzel aus Zwei. Damit habe ich eine einfache aber doch irrationale Zahl exakt beschrieben.

  38. #38 Ex-Esoteriker
    19. März 2011

    @ Anton,

    gut, dass habe ich ja auch kapiert, mit dem Punkten auf der Zahlengerade.

    Naja, wie auch immer, vielleicht finde ich noch mehr im Internet darüber, ist gar nicht soo einfach, dass ganze zu kapieren, müsste mich da erstmal Grundwissen dazu aneignen.

    @ Sim,

    Und ich finds toll wenn du dich für Mathematik interessierst. Gerade das Thema Unendlichkeit ist ein sehr spannendes

    gut, bei mir ist es Statistik (und lese mir gerade erstmal das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung an), die mich sehr interessiert, hatte erst gedacht, nix ist langweiliger als Statistik, bis ich mal Quarks & Co: Die Wissenschaft vom Zufall gesehen hatte. Da ist es um mich geschehen :-), weil es doch sogar meiner Meinung nach “praktischer” ist, Statistik (gerade zum “selbermachen”) durchzuführen als Finanzmathematik.

    Aber es gibt auch unendliche Zahlen die mich reizen, wie z.B. Pi oder der goldene Schnitt usw.

    Goldener Schnitt funktioniert bei mir sehr gut auf intuitive Basis…kann sehr gut fotografieren :-)

    Ich möchte mich sehr gerne hier weiter mich austauschen über Statistik, gibt es da jemanden als “Ansprechpartner” oder so?

  39. #39 Howie Munson
    19. März 2011

    Würde “unendlich oft würfeln” nicht auch bedingen, dass man nie fertig damit wäre?

    und wenn ich nicht fertig werde, kann das Ereignis auch nicht eintreten. *duck*

  40. #40 BreitSide
    19. März 2011

    Komm raus, Howie, ich hab Dich gesehen!

    Bin aber auch Deiner Meinung. 2 Parallelen schneiden sich ja auch – im Unendlichen. Dazu gibt´s nen schönen MatheNerdCartoon, wo die Angebetete erwidert: “wie romantisch!”…

    Das ist aber (von mir gefühlte) eindimensionale Unendlichkeit. Genauso wie Achilles mit der Schildkröte, die er nie erwischt. Unendlich viele Versuche, sie zu erreichen, die aber unendlich klein werden. Und am Schluss hat er sie doch.

  41. #41 skeptizistiker
    19. März 2011

    Was habt ihr denn für Probleme? Nie “Per Anhalter durch die Galaxis” gelesen? Da wird das doch alles bestens erklärt 😉

  42. #42 BreitSide
    19. März 2011

    skeptizistiker·
    19.03.11 · 13:58 Uhr

    Was habt ihr denn für Probleme? Nie “Per Anhalter durch die Galaxis” gelesen? Da wird das doch alles bestens erklärt 😉

    Für den Tip bin ich Dir unendlich dankbar!:-)))

  43. #43 PaulLinus
    19. März 2011

    @volki
    “Ob du aber physikalisch jemals die Zahl 0.5 realisieren kannst, ist eine andere Frage…”

    Wenn, dann, theoretisch, klassisch. Das Konzept wirkender Quanten schließt das sicher aus, nehme ich an. Ich frage mich btw., wie Differential- und Integralrechnung überhaupt logisch widerspruchsfrei in der QM angewandt werden können, aber das wäre eine andere Frage, die ich mal zum Themenkreis Pfadintegralmethode vs. Dirac-Theorie, falls der mal kommen sollte, stellen wahrscheinlich gewollt haben würde.

    @JKatins
    “Wurzel aus Zwei. Damit habe ich eine einfache aber doch irrationale Zahl exakt beschrieben.”
    Beschrieben oder entworfen? Du mußt dich trotz exakter Beschreibung überraschen lassen, was deine exakte Beschreibung – dann doch wieder als Näherung – d.h.: mit der Zeit liefert, nicht? Die exakte Beschreibung ist ein Kochrezept, das erst gekocht werden will.

  44. #44 Stefan W.
    19. März 2011

    Wie JK und JKatkins würde ich auch gerne wissen wie man das macht: “Man nimmt sich zufällig eine Zahl zwischen 0 und 1 und möchte gern wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie bestimmte Eigenschaften hat.”

    Wenn ich ein Programm baue, basierend auf der Bedingung “die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Nach-Komma-Stelle eine X ist, sollte 0,1 sein”, dann wird das Programm nie fertig. Ich kann nicht eine einzige Zahl ziehen.

    “Wenn ich zufällig eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 nehme, werde ich mit Wahrscheinlichkeit 0 eine rationale Zahl ziehen, also mit Wahrscheinlichkeit 1 eine irrationale Zahl.”
    Wenn die Zahlen gleichverteilt sind. Wenn ich ein unfaires Ziehen veranstalte – z.B. könnte ich immer statt aus 10 Ziffern aus elfen ziehen, und zwar wäre die elfte ein ‘T’ wie terminate!.
    Dann würden längere Zahlen systematisch benachteiligt, aber es wäre immer noch ein Zufallsexperiment – wenn auch kein faires, bzw. keines mit gleichverteilten Zahlen.

    Aber wenn man nicht angeben kann, wie eine Ziehung praktisch zu vollführen wäre, und es aussieht, als ob es prinzipiell keine Ziehung geben kann, dann kann man beliebiges aus der Ziehung folgern.

  45. #45 JKatins
    20. März 2011

    Ist nun ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0 möglich, oder nicht?
    Kann man zufällig eine reelle Zahl auswählen, oder nicht?
    Praktisch fällt mir zwar keine Möglichkeit ein, wie man das machen könnte (und ich glaube auch, das geht praktisch nicht), das heißt aber doch nicht, dass ein solches Verfahren mathematisch nicht existent ist.

    Tatsächlich liefert uns die Mathematik darauf eine Antwort, und sie lautet: Ja (und Nein)!
    Die Antwort ist das Auswahl-Axiom, und das sagt uns (mal kurz gefasst):
    Aus einem Satz von Mengen lässt sich aus jeder Menge ein Element auswählen.
    Für unser Problem wählen wir etwa aus dem Satz der Mengen
    {0}{0..9}{0..9}{0..9}{0..9}{0..9}{0..9}{0..9}{0..9}{0..9}{0..9}…
    jeweils ein Element aus und erhalten zum Beispiel:
    0,3627084937…
    also eine reelle Zahl aus [0..1].
    Also sind auch Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit 0 möglich.
    Eine schöne Abhandlung über das Auswahlaxiom fand ich hier:
    http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=492

    Dummerweise ist das Auswahlaxiom eben ein Axiom. Diese Axiome werden aber einfach proklamiert und sind nicht weiter begründbar. Man könnte auch das Gegenteil proklamieren und die daraus entstehende Mengenlehre wäre immer noch in sich konsistent. Schlimmer noch: Das Auswahlaxiom führt auch noch zum Wohlordnungsprinzip und zum Banach-Tarski-Paradoxon.
    Aus diesen und einigen anderen Gründen gibt es auch Mathematiker, die das Auswahlaxiom ablehnen und eine Mathematik ohne es betreiben.

    Ob ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0 also möglich ist oder nicht, ist also eine Frage der Definition (die in diesem Fall nicht Definition sondern Axiom heißt).

  46. #46 rolak
    20. März 2011

    Das ist doch nur deswegen ein Axiom, weil nicht allgemein die Konstruktion einer Auswahlfunktion angegeben werden kann. Bei Mengen von Intervallen aus N oder gar R gibt es aber überhaupt kein allgemeines Konstruktionsproblem, also benötigst Du kein Axiom für die Existenz der AF.
    Da das darstellende System egal ist, nehmen wir (schlicht ist schick) die binäre Variante, wählen also aus {0,1}^N, stöpseln eine stochastische Bitquelle SBQ() an die Auswahlmaschine und erhalten die Zufallswahl ZW({0,1}^N)=>[0,1]⊂R mittels ZW()=∑(n=0,∞)(SBQ()*2(^-1-n). Null problemo, insbesondere wenn Zeit keine Rolle spielt und es nur um die Möglichkeit geht.
    Bei endlichen Mengen ist bei Gleichverteilung die Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes der Elemente auszuwählen 1/(#Elemente) – übertrage ich diese intuitive Technik auf ein Intervall reeller Zahlen erhalte ich 1/(2^ℵ0)=0.

  47. #47 rolak
    20. März 2011

    Oh, sorry, bei der Definition von ZW() fehlt ganz hinten eine schließende Klammer. *Schluck Kaffee*

  48. #48 Matthias
    25. März 2011

    Ok, zur Unendlichkeit eine kleine Frage:

    Ich möchte eine Strecke zeichnen und benutze dazu Punkte. Jeder Punkt hat eine Länge von 0. Nach jedem Punkt setze ich “neben dem Punkt” an (da die Länge selbstverständlich 0 ist, wieder genau auf dem gleichen Punkt) und zeichne einen weiteren.
    Dieses wiederhole ich unendlich mal.

    Mein Endresultat wird genau ein Punkt sein. Die Situation wird sich selbst nach unendlich vielen Punkten nicht verändert haben.
    Wie kann dann eine Gerade aus unendlich vielen Punkten bestehen, wenn ich mit unendlich vielen Punkten keine Gerade zeichnen kann?

  49. #49 Thilo
    26. März 2011

    Nach jedem Punkt setze ich “neben dem Punkt” an (da die Länge selbstverständlich 0 ist, wieder genau auf dem gleichen Punkt) und zeichne einen weiteren.
    Dieses wiederhole ich unendlich mal.

    Mit diesem Verfahren bekommt man eine abzählbare Menge von Punkten. (Man kann die gezeichneten Punkte durchnummerieren: es gibt einen ersten Punkt, einen zweiten, einen dritten …)
    Die Menge der reellen Zahlen ist aber nicht abzählbar, deshalb kann man mit diesem Verfahren nicht alle reellen Zahlen bekommen.

    Es gibt verschiedene Unendlichs. Die Anzahl der Elemente in der unendlichen Menge der reellen Zahlen ist größer als die Anzahl der Elemente in der unendlichen Menge der natürlichen Zahlen.