Heute wäre der 120. Geburtstag des bekannten Surrealisten.

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Über sein Euklid-Porträt (Bild oben) werden inzwischen ganze Bücher geschrieben.
Die nichteuklidische Geometrie fand er wohl ziemlich verwirrend, jedenfalls heißt das Bild unten “Junger Mann, beunruhigt durch den Flug einer nicht-euklidischen Fliege”.

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Und nicht nur mathematische Formen, auch mathematische Formeln kommen im Werk vor: die Potenz ii unten in der Mitte. (Das Bild heißt “Die Phasen der Nacht”.)

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Wie berechnete man noch mal ii?
Erst mal ist ii=eilog(i), man muß also log(i) berechnen.
Das macht man, indem man 1/z über eine von 1 nach i laufende Kurve integriert. (Die Kurve darf nicht durch 0 gehen und unterschiedliche Kurven können zu unterschiedlichen Ergebnissen führen: der Logarithmus ist nur eindeutig bis auf Addition von 2πni.)
Am einfachsten integriert man über den Einheitskreis, denn da ist 1/z gleich dem Konjugierten von z, was die Rechnung vereinfacht.
Also sei der Einheitskreis von 1 bis i parametrisiert duch z=cos(t)+isin(t), wobei t von 0 bis π/2 läuft. Dann ist dz=(-sin(t)+icos(t))dt, das gesuchte Kurvenintegral von 1/z ist also das Integral über (cos(t)-isin(t))(-sin(t)+icos(t))dt für t von 0 bis π/2.
Wunderbarerweise hebt sich beim Ausmultiplizieren fast alles weg, es bleibt i(cos2(t)+sin2(t))dt=idt, das Integral ist also iπ/2.
Also ii=eilog(i)=e-π/2. (Bemerkenswerterweise eine reelle Zahl.)

Kommentare (16)

  1. #1 maxfoxim
    2. April 2011

    hmmm, klappt in echt aber leider nicht, habe mir gerade einen imaginären Porsche vorgestellt den ich mit imaginären Porschen potenziere. Ergebniss: ich muss immer noch die Deutsche Bahn nehme… 😉

  2. #2 Thilo
    2. April 2011

    Jedenfalls hast Du etwas reelles als Ergebnis bekommen, das ist doch schon mal korrekt 🙂

  3. #3 michael
    2. April 2011

    Nett, aber um mal zu nörgeln:

    1. “Wunderbarerweise hebt sich beim Ausmultiplizieren alles weg,” wenn sich wirklich alles weg hebt, kann nicht i*dt übrigbleiben.

    2. (cos(t)-isin(t))(-sin(t)+cos(t))dt sollte wohl (cos(t)-isin(t))(-sin(t)+i*cos(t))dt sein

  4. #4 Thilo
    2. April 2011

    Okay, fast alles

  5. #5 Matthias J.
    2. April 2011

    alternativ: iⁱ = exp(i π/2)ⁱ = exp(i² π/2) = exp(—π/2)

    (Die Exponenten sind mit Unicode-Zeichen dargestellt. Mit welchem Code kann man hier Sub- und Superskripte erstellen? Die üblichen HTML-Tags scheinen nicht zu funktionieren, jedenfalls nicht in der Kommentar-Vorschau. Sind die erlaubten Formatierbefehle irgendwo auf scienceblogs.de dokumentiert?)

  6. #6 Thilo
    2. April 2011

    Sind die erlaubten Formatierbefehle irgendwo auf scienceblogs.de dokumentiert?

    Leider nicht.

    Exponenten in Kommentaren kann man mit Alt Gr schreiben, was ich aber auch erst durch einen Kommentar auf http://www.scienceblogs.de/mathlog/2008/06/aufbruch.php gelernt hatte.

  7. #7 Thilo
    2. April 2011

    als nachgeholter Aprilscherz, was ist falsch bei folgender Rechnung?

    1 = 1ⁱ = (i^4)ⁱ = i^(4i) = (iⁱ)^4 = (exp(—π/2))^4 = exp(—2π) ≠ 1

    (btw, das mit Alt Gr funktioniert offenbar nur bei Exponent 2 und 3, nicht für Exponent 4. Sehr merkwürdig.)

  8. #8 Matthias J.
    2. April 2011

    Danke für die schnelle Antwort. Alt Gr gibt es leider nicht auf dem Mac. Aber solange irgendein Workaround funktioniert, geht es ja.

    Bei Wolfram MathWorld gibt es eine kurze, übersichtliche Darstellung zur komplexen Exponentiation: http://mathworld.wolfram.com/ComplexExponentiation.html

  9. #9 JLN
    2. April 2011

    der Logarithmus ist ja nicht eindeutig definiert. Insbesondere gilt also beim Schritt von i^(4i)=(exp(-pi/2))^4 eigentlich i^(4i)=exp(2*n*pi)*(exp(-pi/2)^4)=exp(-2*(n-1)*pi). Wenn wir für n 1 statt 0 einsetzen, erhalten wir exp(0)=1.

  10. #10 rolak
    2. April 2011

    ..oder htmlsch, Thilo: ¹= ¹ ²=² ³=³ womit die IBM-Codepage abgegrast wäre. Alles andere müßte mittels unicode &#xyza; eingegeben werden, wobei xyza die (Dezimalnummer) aus dieser Tabelle ist, z.B. für y=x??¹???.

    Ist auch so ein Rätsel der PC-Geschichte, warum zum Henker AltGr-1 nicht ¹ ergibt 😉

  11. #11 Thilo
    2. April 2011

    @ JLN: Ganz so einfach ist es nicht, es ist ja nicht exp(2npi)=1, sondern exp(i2npi)=1.

  12. #12 Redfox
    2. April 2011

    Mir wird ganz Surreal wenn ich mich hiermit geschäftige:

    (1+0.9 cos(8 t))(1+0.1 cos(24 t))(0.9+0.05 cos(200 t))(1+sin(t))

  13. #13 Matthias J.
    3. April 2011

    Für komplexe Zahlen a, b, c gilt im allgemeinen nicht (aᵇ)ᶜ = aᵇᶜ, nicht einmal die speziellere Formel (eᵇ)ᶜ = eᵇᶜ.

    Die letztere Formel gilt aber dann, wenn Im(b) im Intervall (-π,π] liegt. In diesem Fall gilt log(eᵇ) = b, also (eᵇ)ᶜ =eᵇᶜ direkt aufgrund der üblichen Definition allgemeiner komplexer Potenzen.

  14. #14 Thilo
    3. April 2011

    Jo, der Fehler ist beim dritten Gleichheitszeichen.

  15. #15 Nairolf
    8. April 2011

    i = e^(i * pi/2)

    i^i = ( e^(i * pi/2) )^i = e^(i*i * pi/2) = e^(-pi/2)

  16. #16 Thilo
    8. April 2011

    Wie gesagt, man kann Exponenten nicht immer multiplizieren:
    Zum Beispiel (i^4)^i=1 aber (i^i)^4=exp(-2pi).