In Nature erscheint heute ein Artikel “The Unplanned Impact of Mathematics”.

Peter Rowlett hat sieben Mathematikhistoriker nach den ihrer Meinung nach überraschendsten1 Anwendungen reiner Mathematik gefragt.

1 Überraschend insofern, daß die Erfinder der jeweiligen mathematischen Konzepte diese Anwendungen sicherlich nicht vorhergesehen haben.

Quaternionen

Die Quaternionen haben es vermutlich deshalb an die erste Stelle gebracht, weil sie für den Erstsemester das Standardbeispiel einer künstlichen, anwendungsfernen Theorie sind. Während sich bei komplexen Zahlen recht schnell erschließt, wozu man sie zum Beispiel bei der Beschreibung von Schwingungen oder dem Lösen kubischer Gleichungen braucht, sehen die Quaternionen erstmal wie eine Erfindung von Algebraikern aus. Das sind sie allerdings schon historisch nicht gewesen, denn sie dienen in der Geometrie zur Beschreibung von Rotationen. In heutiger Sprache: die Gruppe der Einheitsquaternionen (Quaternionen der Länge 1) ist isomorph zu SU(2) und es gibt eine 2-fache Überlagerung von SU(2) zur Drehgruppe SO(3). Jede Drehung läßt sich also durch zwei Quaternionen beschreiben. Es ist eigentlich nicht überraschend, daß solche Formeln für 3-dimensionale Drehungen in der Computerspiele-Entwicklung gebraucht werden und insofern würde ich dieses Beispiel nicht wirklich als eine unerwartete Anwendung bezeichnen 🙂

Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Das zweite Beispiel ist Riemanns Habilitationsvortrag, in dem er das Konzept der Riemannschen Mannigfaltigkeiten entwickelte. Daraus entwickelte sich die Semi-Riemannsche Geometrie (Levi-Civita-Zusammenhang, Ricci-Krümmung, …) ohne die Einstein seine Allgemeine Relativitätstheorie nicht hätte entwickeln können.

E8-Gitter

Bei der Kepler-Vermutung geht es bekanntlich um die effektivsten Kugelpackungen im 3-dimensionalen Raum. Insbesondere stellt sich dabei die Frage nach der maximalen Anzahl von Kugeln mit gleichem Radius, die in Kontakt mit einer mitteren Kugel gebracht werden können. Wenn man, was zunächst esoterisch erscheint, die 8-dimensionale Version der Kepler-Vermutung untersucht, dann stößt man auf das E8-Gitter, das mindestens unter den gitterförmigen Packungen (und vermutlich unter allen) die effektivste 8-dimensionale Kugelpackung ergibt. Dieses Gitter wurde bei der Konstruktion von Modems verwendet: man denkt sich die zu übertragenden Signale durch Punkte in einem 8-dimensionalen Raum repräsentiert, wegen des Rauschens muß es jeweils eine Kugel um jeden Signal-Punkt geben, der keinen anderen Signal-Punkt enthält, und das möchte man dann eben möglichst effektiv machen – mit dem E8-Gitter.

Spieltheorie

Das Parrondo-Paradox ist eine Konstruktion aus der Spieltheorie: “Given two games, each with a higher probability of losing than winning, it is possible to construct a winning strategy by playing the games alternately.” Die Erwähnung im Nature-Artikel geht auf Parrondo selbst zurück und er nennt als Anwendungen die Modellierung von Infektionskrankheiten, wenn die Kombination chaotischer Systeme eine nicht-chaotische Dynamik ergäbe.

Wahrscheinlichkeitstheorie

Eine weitere, nicht wirklich überraschende, Anwendung betrifft das Gesetz der großen Zahlen: je mehr Policen eine Versicherung verkauft, desto sicherer kann sie davon ausgehen, daß die tatsächlichen Schadensfälle den berechneten Wahrscheinlichkeiten entsprechen, desto geringer ist also ihr Risiko.

Topologie

Es werden dann auch verschiedene Anwendungen der Topologie erwähnt. Die vielleicht überzeugendste ist der Zusammenhang zwischen Knotentheorie und DNS: Enzyme wirken auf DNS-Strängen, indem sie diese verknoten.

Fourier-Reihen

Trigonometrische Funktionen spielten natürlich schon immer eine große Rolle in physikalischen Anwendungen, besonders durch ihre Rolle in der Fourier-Theorie. Die mathematischen Probleme der Fourier-Theorie führten letztlich zur Entwicklung von funktionalanalytischen Konzepten wie dem Hilbertraum, der sich dann in den 20er Jahren als der richtige mathematische “Untergrund” für die Quantenmechanik erwies – und diese wiederum ist die Grundlage für fast alle modernen Technologien.

Quelle: “The Unplanned Impact of Mathematics”. (erfordert Abonnement).

Kommentare (13)

  1. #1 Ulrich Berger
    14. Juli 2011

    Ich habe den Nature-Artikel noch nicht gelesen, aber es würde mich wundern, wenn Parrondos Paradox dort unter “Spieltheorie” verkauft würde. Die “Spiele” dort sind simple statistische Prozesse ohne Interaktion (es gibt nur einen Akteur), das heißt, das Paradox gehört nicht in den Bereich der Spieltheorie. Was Wikipedia zu diesem Punkt schreibt, ist leider Quatsch.

  2. #2 Thilo
    14. Juli 2011

    Im Artikel kommt das Wort “Spieltheorie” tatsächlich nicht vor, bei Math Reviews werden Parrondos Arbeiten zum Thema aber jedenfalls unter MSC 91 (Game Theory) einsortiert, z.B. Inefficiency of voting in Parrondo games unter 91B12 oder Parrondo’s capital and history-dependent games unter 91A60.

  3. #3 weyoun
    14. Juli 2011

    hmmm man könnte doch auch noch die radon-transformation und ihren nutzen bei der rekonstruktion von ct aufnahmen hier unterbringen

  4. #4 Thilo
    14. Juli 2011

    Wobei die Einordnung natürlich tatsächlich dem üblichen Verständnis von Spieltheorie als mathematische Theorie sozialer Interaktion widerspricht.

  5. #5 Thilo
    14. Juli 2011

    @ weyoun: Ich glaube auch, daß es noch viele andere und vielleicht überraschendere Anwendungen gegeben hätte. (Klar, Relativitätstheorie und Quantenmechanik sind auf jeden Fall überraschende Anwendungen, aber Wahrscheinlichkeitstheorie? Die ist doch von vornherein aus angewndten Fragestellungen entstanden.)

  6. #6 Peter
    14. Juli 2011

    Peter Rowlett verdient (imho) einen Link zu seinem Blog .

  7. #7 rolak
    15. Juli 2011

    Gerade ward mir eine völlig unerwartete Anwendung (des Namens) geschickt: Das Knülle-Angebot. Oder wars doch ‘Knüller’?

  8. #8 Thilo
    15. Juli 2011

    PYTHAGORAS® -Pfff
    Das Thema mit den Trademarks hatten wir hier schon mal

  9. #9 rolak
    15. Juli 2011

    herrje, das hatte ich ja ganz übersehen… (automagisch als [P.-Wodka]® ‘gelesen’)

  10. #10 rolak
    15. Juli 2011

    ^^und jetzt auch noch die Sortierung verwechselt. Nüchtern. Was soll denn da noch kommen? 😉
    btw: Schön durchgereicht.

  11. #11 Sprachrohr
    16. Juli 2011

    @Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten:
    War es nicht so, dass es schon zu Gauß Zeiten und früher Anwendungen von nichteuklidischen Geometrien gab und man sehr wohl ahnte, dass diese in der Lage sein könnten, das physikalische Weltbild zu verändern?

  12. #12 Thilo
    16. Juli 2011

    Gauß’ Flächentheorie (über Flächen im euklidischen Raum) ist auf jeden Fall der ‘Vorläufer’ der Riemannschen Geometrie.
    Ob Gauß allerdings die Krümmung der Raum-Zeit vorhergesehen hat – das wird manchmal vermutet, aber wirkliche Belege gibt es dafür nicht. http://www.scienceblogs.de/mathlog/2009/01/topologie-von-flachen-xlvii.php

  13. #13 Thilo
    26. Juli 2011

    Nachtrag: Eine deutsche Übersetzung des ‘Nature’-Artikels findet man jetzt auf http://www.spektrumdirekt.de/artikel/1116948 und http://www.spektrumdirekt.de/artikel/1117437