Hopf-Invariante Eins

Der Zusammenhang mit der letzte Woche diskutierten Hopf-Invariante h(f) ist nun folgender: wenn es auf der Sphäre Sn-1 eine H-Raum-Struktur gibt, dann gibt es eine stetige Abbildung f:S2n-1—>Sn mit h(f)=1. Der Beweis, der auf Heinz Hopf zurückgeht, ist eine einfache explizite Konstruktion (siehe May, S. 216 unten).

Für n=2,4,8 sind die letzte Woche diskutierten Hopf-Faserungen solche Abbildungen mit Hopf-Invariante 1. Für andere Werte von n gibt es aber keine Abbildungen mit Hopf-Invariante 1: dies wurde zuerst 1958 von Adams mit Kohomologie-Operationen bewiesen, Adams-Atiyah gaben 8 Jahre später einen Beweis mit K-Theorie-Operationen, der sich in wenigen Zeilen aufschreiben läßt:

May, S.218

Das beweist also für n≠2,4,8 die Nichtexistenz von Abbildungen mit Hopf-Invariante 1 und daraus folgend die Nichtexistenz von n-1 linear unabhängigen Vektorfeldern auf der n-1-Sphäre und die Nichtexistenz von nullteilerfreien Multiplikationen auf Rn.
(Bemerkenswert vielleicht, daß dieser Beweis zur Hopf-Invariante ebenso wie die ursprünglichen Beweise von Milnor und Kervaire zu den Multiplikationen alle auf K-Theorie aufbauen und sich offenbar mit K-Theorie einfacher durchführen lassen als mit anderen Kohomologietheorien.)

1 In den amerikanischen scienceblogs gab es neulich einen Artikel “Spherical waves and the hairy ball”, in dem der Autor die Neigung der Physiker thematisierte, physikalische Sachverhalte am Modell einer Sphäre zu untersuchen. (“Assume a spherical cow“.)
Er diskutierte das Beispiel sphärischer Wellen:

… what about spherically propagating waves? Light waves propagate perpendicular to the E and B fields, so perhaps we can have a light wave propagating radially outward. The E and B fields would be tangent to the outgoing spherical waves, skirting the problem that you can’t have non-static E and B fields both pointing radially outward.

Unfortunately we run into a brick wall there too. There’s a theorem in mathematics which states given a vector field defined on a sphere such that every vector is tangent to that sphere, the vector field must be zero on at least one point on that sphere. This theorem is called the hairy ball theorem. I’m not making this up. Basically if you have a basketball covered in fur, there’s no way to comb the entire thing smoothly. You’ll always have at least one cowlick.

But if either one of the E or B fields is zero at some point, the Poynting vector ExB will be zero too, meaning no light is being radiated from that point. Thus a spherical light wave is impossible too, not just in practice but in theory as well. Sometimes that isn’t a problem. We might be interested only in some region in which the assumption of spherical symmetry works just fine. Still, we are constrained …


scienceblogs.com/builtonfacts/2011/08/spherical_waves_and_hairy_ball.php

Dazu muß man allerdings sagen, daß das Problem in diesem Fall nicht die Regelmäßigkeit (oder Symmetrie) der Sphäre ist. Auch auf einer völlig unsymmetrischen Sphäre müßte jedes Vektorfeld eine Nullstelle haben.

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Kommentare (1)

  1. #1 Thilo
    19. September 2011

    Nachtrag: Einen Überblick über die Literatur zum Thema gibt ein Artikel im aktuellen BAMS: https://www.ams.org/journals/bull/2011-48-04/S0273-0979-2011-01345-3/S0273-0979-2011-01345-3.pdf