Mathematiker beweisen Unmöglichkeit 5-zähliger Symmetrie, Physiker findet diese in einem Metall und erhält Chemie-Nobelpreis.

So könnte man die Geschichte des Chemie-Nobelpreises 2011 kurz zusammenfassen.

Worum geht es?
Lange ging man davon aus, daß Kristalle gitterförmig angeordnet sind. Das Bild unten zeigt die Struktur von Natriumchlorid (Kochsalz):

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Neben den Translationssymmetrien haben manche Gitter noch zusätzliche Rotationssymmetrien. Das NaCl-Gitter zum Beispiel hat Rotationssymmetrien der Ordnung 4. (Heißt: viermalige Hintereinanderausführung der Rotationssymmetrie gibt die Identitätsabbildung.)

Das NaCl-Gitter liefert einem auch eine Parkettierung des 3-dimensionalen Raumes durch Würfel, mit derselben Symmetriegruppe.

Schon lange bekannt sind die 17 möglichen Symmetriegruppen von Parkettierungen der Ebene, alle 17 finden sich (zumindest wenn man farbenblind ist) in der Alhambra:

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George Polya hat 1924 bewiesen, daß es neben den 17 bekannten keine weiteren Symmetriegruppen von Parkettierungen in der Ebene geben kann.

Aus der Klassifikation der 17 ebenen kristallografischen Gruppen ergibt sich insbesondere, daß alle Rotationssymmetrien die Ordnung 2,3,4 oder 6 haben müssen, also Drehungen um 180o, 120o, 90o oder 60o sind.

Man weiß aber schon seit den 60er Jahren, daß es aperiodische Pflasterungen der Ebene gibt, also Pflasterungen der Ebene mit endlich vielen Prototypen, deren Symmetriegruppe nicht kokompakt ist:

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In Dimension 3 gibt es ebenfalls eine Klassifikation der (kokompakten) Symmetriegruppen von Parkettierungen des 3-dimensionalen Raumes. Diese ist erstaunlicherweise älter als der Beweis der 2-dimensionalen Klassifikation: sie wurde 1891 unabhängig durch Fjodorow und Schoenflies bewiesen, es gibt 230 mögliche Symmetriegruppen.
Auch im 3-dimensionalen Fall müssen alle Rotationssymmetrien die Ordnung 2,3,4 oder 6 haben.

Deshalb war es eine große Überraschung als Daniel Shechtman eine Kristallstruktur mit Rotationssymmetrien der Ordnung 5 (und sogar der Ordnung 10) entdeckte. Es dauerte einige Zeit bis seine Entdeckung wirklich anerkannt wurde. Linus Pauling zum Beispiel wird im Guardian so zitiert:

“Danny Shechtman is talking nonsense. There is no such thing as quasicrystals, only quasi-scientists.”

Die Arbeit Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry von Shechtman-Blech-Gratias-Cahn wurde 1984 in Physical Review Letters veröffentlicht, sie beschreibt ein Metall, dessen Symmetriegruppe nicht kokompakt ist (also nicht in die Klassifikation der 230 bekannten kokompakten kristallografischen Gruppen fällt) und die die Symmetriegruppe eines Ikosaeders als Untergruppe enthält, insbesondere also Rotationen der Ordnung 5. Solche Strukturen mit nicht-kokompakten Symmetriegruppen nennt man heute Quasikristalle.

Kommentare (23)

  1. #1 KommentarAbo
    5. Oktober 2011

  2. #2 Greg
    5. Oktober 2011

    Cool, das ist doch mal eine schöne Geschichte! 🙂

    Als Laie frag’ ich mal ganz unbedarft: Haben die Mathematiker inzwischen den Fehler in ihrem Beweis gefunden oder woran lag’s sonst?

  3. #3 Sw
    5. Oktober 2011

    Es liegt daran, dass sich der Laie keine Gedanken über die VORAUSSETZUNGEN macht.

    Zitat:
    Die Arbeit Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry von Shechtman-Blech-Gratias-Cahn wurde 1984 in Physical Review Letters veröffentlicht, sie beschreibt ein Metall,

    dessen Symmetriegruppe nicht kokompakt ist (also nicht in die Klassifikation der 230 bekannten kokompakten kristallografischen Gruppen fällt)
    und die die Symmetriegruppe eines Ikosaeders als Untergruppe enthält, insbesondere also Rotationen der Ordnung 5.

    Solche Strukturen mit nicht-kokompakten Symmetriegruppen nennt man heute Quasikristalle.

    Zitazende

    Die nicht kokompakte Symmetriegruppe ist von der bisherigen Klassifizierung kokompakter Symmetriegruppen einfach nicht erfasst.
    Der Beweis ist richtig und der Chemiker hat auch recht.

  4. #4 Polygon
    5. Oktober 2011

    Ich danke mal Sw. Das habe ich mich nämlich auch gefragt.

  5. #5 "Geschichte"
    5. Oktober 2011

    >1984<

  6. #6 Thilo
    5. Oktober 2011

    Vielleicht noch als Ergänzung, was ‘kokompakt’ eigentlich bedeutet:

    Eine ‘kompakte’ Teilmenge K im 3-dimensionalen Raum R^3 ist eine beschränkte (und abgeschlossene) Menge.
    Die Wirkung einer Symmetriegruppe G auf dem 3-dimensionalen Raum R^3 heißt ‘kokompakt’, wenn es eine kompakte Teilmenge K des R^3 gibt, so dass man den gesamten R^3 als Vereinigung der gK über alle g aus G bekommt. (Mit gK ist das Bild der Menge K nach Anwendung von g gemeint.)

    Ein Beispiel: die Symmetriegruppe des im 1. Bild oben abgebildeten Natriumchlorid-Gitters ist kokompakt: als kompakte Menge K kann man einen der Würfel nehmen. In der Symmetriegruppe G kommen u.a. Translationen in alle 3 Achsenrichtungen vor. Offensichtlich kann man einen Würfel mit Hintereinanderausführung passender Translationen in jeden anderen Würfel abbilden. Also überdecken die Bilder gK den gesamten R^3.

    Man kann beweisen, daß eine Symmetriegruppe des 3-dimensionalen Raumes genau dann kokompakt ist, wenn sie Translationen in drei linear unabhängige Richtungen enthält.

    Die Physiker sprechen meist von ‘periodischen’ Kristallen – gemeint ist eben, daß das Kristall invariant unter 3 (linear unabhängigen) Translationen ist, also daß die Symmetriegruppen kokompakt ist. (Ich finde die Bezeichnung ‘periodisch’ etwas irreführend, weil sie nicht klarmacht, daß es ja Periodizität in 3 verschiedenen Richtungen geben muß.)

  7. #7 Thilo
    5. Oktober 2011

    @ Geschichte:
    Shechtman hatte die Quasikristalle schon 1982 entdeckt, die Arbeit wurde aber erst 1984 veröffentlicht, nachdem auch andere Wissenschaftler ähnliche Beobachtungen gemacht hatten.

  8. #8 BreitSide
    6. Oktober 2011

    Die “Penrose-Parkettierung” ist doch schon viel älter: 15. Jahrhundert http://de.wikipedia.org/wiki/Penrose-Parkettierung#Islamische_Vorl.C3.A4ufer oder sogar 12. Jahrhundert http://de.wikipedia.org/wiki/Gonbad-e-Kabud#Sehensw.C3.BCrdigkeiten

    Oder hab ich das in Deinem schönen Beitrag überlesen?

  9. #9 Alex
    6. Oktober 2011

    Und wieso ist es ausgerechnet Chemie und nicht Physik?

  10. #10 Thilo
    6. Oktober 2011

    @ Alex: Hab’ ich mich auch schon gefragt.

  11. #11 tritonus
    6. Oktober 2011

    Eine beeindruckende Geschichte.

    Noch eine Frage. Die “nicht kokompakten” Kristalle – sind die abzählbar unendlich nicht-kokompakt oder an sich? Anders gefragt, kann es eine höhere Symmetrie geben, die in diesen Quasikristallen erst ab einer bestmmten Kristallgröße (Teilnehmerzahl) sichtbar werden würde, die momentan, aufgrund praktischer Umstände, noch nicht erreicht oder vermessen werden kann?

  12. #12 Thilo
    6. Oktober 2011

    Grundsätzlich (mathematisch) ist das natürlich möglich: eine Verschiebungs-Invarianz bzgl. einer Verschiebung um eine sehr große Strecke würde man erst ab einer entsprechend großen Kristallgröße ‘sehen’ können.
    Dann könnte es aber nach den Regeln der Mathematik keine Drehsymmetrien der Ordnung 5 mehr geben. Shechtmans Drehsymmetrie müßte also bei sehr großen Kristallen plötzlich verschwinden.
    Ich weiß nicht, ob das mathematisch möglich ist (man bräuchte sozusagen eine Pflasterung des Raumes mit ‘großen’ Stücken, die jedes für sich nach dem Shechtman-Muster in endlich viele kleine Stücke zerlegt sind – mir ist nicht klar, ob das überhaupt theoretisch ginge), praktisch werden sich Physiker oder Chemiker vielleicht nur für Symmetrien interessieren, die sich bei einer ‘realistischen’ Kristallgröße erkennen lassen?

  13. #13 tritonus
    6. Oktober 2011

    @Thilo

    Danke für die Erläuterung.

    … praktisch werden sich Physiker oder Chemiker vielleicht nur für Symmetrien interessieren, die sich bei einer ‘realistischen’ Kristallgröße erkennen lassen?

    Das kann ‘realistisch’ (phänomenologisch) natürlich gar nicht anders sein. Mich interessiert in diesem Zusammenhang daher grundsätzlich, ob eine möglicherweise *finite* Grenzbedingung (überhaupt) theoretisch denkbar sei, die “realistisch” von “nicht-realistisch” schließlich zu trennen imstande ist, und wie diese beschaffen sei.

  14. #14 afrika
    7. Oktober 2011

    Wieso gehen eigentlich die Wirtschafts- und Wissenschafts-Nobelpreise immer an Amerikaner und “Juden”, aber der Friedensnobelpreis immer nach Afrika???????

  15. #15 Thilo
    7. Oktober 2011

    Ich nehme mal an, daß Israelis gemeint sind, aber auch so stimmt die Behauptung nicht.
    1. liegt Jemen nicht in Afrika
    2. war der letzte afrikanische Friedensnobelpreisträger Mohammed El Baradei 2005
    3. waren unter den naturwissenschaftlichen Preisträgern der letzten 3 Jahren u.a. 6 Japaner, 2 Franzosen, ein Inder

  16. #16 Thilo
    7. Oktober 2011

    Ein populär-mathematischer Artikel zum Thema: J.-H. Eschenburg: “Die Zahl Fünf und die Quasikristalle”

    Zitat:

    5. WARUM STÖRT DIE FÜNF DIE KRISTALLE?
    Wir haben über die Bedeutung der Fünf  in der belebten Natur gesprochen; wie steht es mit der unbelebten? Die Vielfalt und Schönheit der Kristalle erscheint uns geradezu paradigmatisch für die ambivalente Rolle der Mathematik. So beschreibt Thomas Mann in seinem Roman “Zauberberg” die Schneeflocken folgenderma ßen:
    “Eine endlose Erfi ndungslust in der Abwandlung und Ausgestaltung eines und immer desselben Grundschemas, des gleichseitig-gleichwinkligen Sechsecks, herrschte da; aber in sich selbst war jedes der kalten Erzeugnisse von unbedingtem Ebenmaß und eisiger Regelmäßigkeit, ja, dies war das Unheimliche, Widerorganische und Lebensfeindliche daran; sie waren zu regelmäß ig, die zum Leben geordnete Substanz war es niemals in diesem Grade; dem Leben schauderte vor der genauen Richtigkeit, es empfand sie als tödlich, als das Geheimnis des Todes selbst, und Hans Castorp glaubte zu verstehen, warum Tempelbaumeister der Vorzeit absichtlich und insgeheim kleine Abweichungen von der Symmetrie in ihren Säulenordnungen angebracht hatten.”
    Aber es sind eben die Zahlen 6 und auch 4, 3 und 2, die wir bei Kristallen fi nden, nicht 5. Sollte die Fünf etwa mit dem Leben verbündet sein gegen die “hexagonale Regelmäßigkeit” (a.a.O.)?
    […]

  17. #17 Lercherl
    8. Oktober 2011

    “Als Laie frag’ ich mal ganz unbedarft: Haben die Mathematiker inzwischen den Fehler in ihrem Beweis gefunden oder woran lag’s sonst?”

    Die Mathematiker haben keinen Fehler gefunden, weil es in ihren Beweisen keine Fehler gibt. Es existieren keine Kristalle (definiert durch dreidimensionale unendliche Gitter mit Translationssysmmetrie) mit fünfzähligen Symmetrieachsen. Quasikristalle sind eben keine Kristalle (haben keine Translationssymmetrie), sondern nur so etwas Ähnliches – und über die Existenz oder Nichtexistenz von Quasikristallen machen die Beweise von Fjodorow und Schönflies keine Aussagen.

    Mich stört es auch, dass Quasikristalle immer als etwas verkauft werden, was es „eigentlich nicht geben dürfte“. Natürlich kann es sie geben und es gibt sie auch – sicher eine hochinteressante und wohl auch unerwartete Entdeckung, aber nicht im Widerspruch zu bestehendem Wissen. Manchmal ist zu lesen, dass damit das „Dogma“ widerlegt wurde, dass es in Kristallen keine fünfzählige Symmetrie geben kann. Mit solchen Formulierungen tut man der Wissenschaft keinen Gefallen – ein mathematischer Satz ist kein Dogma wie die Jungfrauengeburt, sondern kann bewiesen werden.

  18. #18 Thilo
    8. Oktober 2011

    Zwar wurde kein mathematisches Dogma widerlegt, aber vielleicht ein physikalisches: daß kristalline Strukturen 3 unabhängige Translationssymmetrien haben (= Kristalle sein) müßten.

  19. #19 rank zero
    10. Oktober 2011

    Übrigens haben Quasikristalle (als mathematische Objekte) seit 2000 auch eine eigene Marke in der MSC.

    Eine gute Zusammenfassung zu Schoenflies’ Arbeit gibt es im Jahrbuch (JFM 23.0554.02.

  20. #20 rank zero
    10. Oktober 2011

    … und ebenfalls zu Fjodorow (JFM 24.0513.02) (sorry, war leider beim Abschicken abgebrochen).

  21. #21 Thilo
    28. Oktober 2011

    Ein allgemein-verständlicher Artikel über Aperiodizität und den Chemie-Nobelpreis (auf Französisch) von de la Harpe & Kwok: http://images.math.cnrs.fr/Prix-Nobel-de-chimie-quasi.html
    Und die Geschichte aus der Sicht eines Molekül-Chemikers: http://www.scilogs.de/wblogs/blog/fischblog/chemie/2011-10-25/in-einer-fremden-welt