Homotopiegruppen der 2-Sphäre.

Letzte Woche hatten wir erklärt, daß Abbildungen von S2 nach S2 genau dann homotop sind, wenn sie denselben Abbildungsgrad haben. Früher, in TvF 183 hatten wir auch schon mal erwähnt, daß Abbildungen von S3 nach S2 genau dann homotop sind, wenn sie dieselbe Hopf-Invariante haben.

Homotopiegruppen

Weil Abbildungsgrad und Hopf-Invariante ganzzahlige Werte haben (und für beide Invarianten auch alle ganzzahligen Werte durch geeignete Abbildungen realisiert werden können), hat man also Bijektionen: [S2,S2]=Z sowie [S3,S2]=Z.

Die Homotopiegruppen πmSn sind eigentlich (nach Festlegung von Basispunkten) definiert als die Homotopieklassen von basispunkt-erhaltenden Abbildungen von Sm nach Sn (modulo basispunkt-erhaltenden Homotopien).
Allgemein definiert man die Homotopiegruppen πmX eines Raumes X (nach Wahl von Basispunkten in Sm und X) als die Gruppe der Homotopieklassen (bzgl. basispunkt-erhaltenden Homotopien) von basispunkt-erhaltenden Abbildungen Sm–>X.

Die Homotopiegruppe πmX ist i.a. (für beliebige Räume) nicht dasselbe wie die Homotopieklassen [Sm,X] von beliebigen (nicht unbedingt basispunkt-erhaltenden) Abbildungen: es gibt eine Wirkung von π1X auf πnX und man hat [Sm,X]=πmX/π1X.

Im Fall von Sphären ist (für n≥2) allerdings π1Sn=0, weshalb man dann tatsächlich πmSn=[Sm,Sn] und insbesondere die durch Abbildungsgrad bzw. Hopf-Invariante vermittelten Isomorphismen π2S2=Z, π3S2=Z bekommt.

Homotopiegruppen sind schwer zu berechnen. Für die Sphäre S2 kennt man neben π2 und π3 auch noch alle Homotopiegruppen πm für m≤64, zum Beispiel
pi_1(S^2) = 0
pi_2(S^2) = Z
pi_3(S^2) = Z
pi_4(S^2) = Z/2
pi_5(S^2) = Z/2
pi_6(S^2) = Z/4 x Z/3
pi_7(S^2) = Z/2
pi_8(S^2) = Z/2
pi_9(S^2) = Z/3
pi_10(S^2) = Z/3 x Z/5
pi_11(S^2) = Z/2
pi_12(S^2) = Z/2 x Z/2
pi_13(S^2) = Z/2 x Z/2 x Z/3
pi_14(S^2) = Z/2 x Z/2 x Z/4 x Z/3 x Z/7
pi_15(S^2) = Z/2 x Z/2
(Die Tabelle ist aus diesem Artikel von John Baez.)
Jie Wu hatte 2001 eine Arbeit in Math.Proc.Camb.Phil.Soc. mit einer xpliziten Beschreibung von Erzeugern und Relationen in πmS2 (Prop.4.9. in dieser Arbeit). Aber es ist ja bekanntlich nicht so einfach, aus der Kenntnis von Erzeugern und Relationen tatsächlich die Gruppe zu bestimmen. (Für abelsche Gruppen sollte es eigentlich machbar sein. Ich habe aber jedenfalls noch nicht versucht, Wu’s Formel etwa für m=65 anzuwenden.)

Ein allgemeiner Ansatz zur Berechnung der Homotopieklassen πmSn (als dessen Spezialfall man dann dann den durch den Abbildungsgrad vermittelten Isomorphismus π2S2=Z bekommt) ist die Pontrjagin-Thom-Konstruktion. Die vermittelt einen Isomorphismus zwischen πmSn und der “Kobordismus-Gruppe gerahmter (n-m)-Mannigfaltigkeiten in Sm.

Die Grundidee ist:
Homotopieklassen von Abbildungen S2–>S2 klassifizierte man ja über den Abbildungsgrad und diesen bestimmte man, indem man die Urbildpunkte eines (regulären) Wertes zählte, und zwar jeweils mit einem Vorzeichen nach Orientierung. Der Effekt des Vorzeichens war, daß sich Paare aus einem positiven und einem negativen Urbildpunkt gegenseitig annulieren konnten.
Ein Paar aus einem positiven und einem negativen Punkt ist aber gerade der Rand einer 1-Mannigfaltigkeit. Man kann also sagen, der Abbildungsgrad für Abbildungen S2–>S2 klassifiziert 0-dimensionale Untermannigfaltigkeiten in S2, modulo Rändern von 1-Mannigfaltigkeiten (die Abbildungsgrad 0 entsprechen). Die Verallgemeinerung dieser Idee auf beliebige Dimensionen ist das Konzept der gerahmten Kobordismusgruppen.

Kobordismus

Ein Kobordismus W zwischen zwei Mannigfaltigkeiten M,N ist eine Mannigfaltigkeit, deren Rand aus M und N besteht. (Die Dimension von W ist also um 1 höher als die Dimension von M und N.)

i-ba688c1eda1e9e5826b26e554fe05d69-500px-Cobordism.svg.png

Das Bild aus der Wikipedia ist etwas verwirrend, weil man auf der rechten Seite einen Torus hat und auf der linken Seite, ja was eigentlich? M und N müssen jedenfalls dieselbe Dimension haben, auf der linken Seite müßte also eine Fläche sein.
Korrekter ist das andere Bild aus der Wikipedia, welches einen Kobordismus zwischen einem Kreis (oben) und der Vereinigung zweier Kreise (unten) zeigt:

i-100c1726a4706c28d04f4f642d69e7e6-Pants.png

Die Definition oben betrifft Kobordismengruppen abstrakter (d.h. nicht notwendig eingebetteter) Mannigfaltigkeiten.
Für die Berechnung von Homotopiegruppen braucht man aber gerahmte Kobordismen von Untermannigfaltigkeiten der Sm.

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Kommentare (2)

  1. #1 MichiS
    8. November 2011

    Hallo Thilo, beim Surfen nach ‘Kobordismus’ fand ich deinen älteren Beitrag :
    http://www.scienceblogs.de/mathlog/2008/03/physik-topologie-logik-und-berechenbarkeit.php

    ….da gehts mit den Feynman-Graphen ja fast direkt zum QFT-Blog von MartinB :-), auch wird der Kobordismus da noch anders gut erklärt für mich…:-)

    Zitat: ” Entsprechend kann man formale Analogien der Toplogie dann also auch zur Logik und Theoretischen Informatik entwickeln. Ob dies nur deskriptiven Charakter hat oder auch tatsächlich etwa topologische Methoden zur Lösung von Problemen auf diesen Gebieten verwendet werden können, bleibt natürlich abzuwarten. ”

    …wie siehts da aus nach 3.5 Jahren ?
    MFG

  2. #2 Thilo
    8. November 2011

    Ich steck da jetzt nicht so drin, die Frage sollte man vielleicht lieber bei John Baez stellen 🙂
    Das Rosettastone-Paper hat bei Google Scholar 41 Zitierungen, aber ob da jetzt wirkliche Anwendungen dabei sind, ist mir nicht klar.