Ebenfalls bei der Milnor-Abel-Konferenz hat Fabien Morel einen Beweis der Friedlander-Milnor-Vermutung angekündigt.

Das Video von Morels Vortrag kann man ansehen auf http://www.ima.umn.edu/videos/?id=1794. (Kann hier sowohl aus technischen als aus urheberrechlichen Gründen nicht direkt eingebettet werden.)

Worum geht es? In der algebraischen Topologie hat man topologische Invarianten, mit denen sich topologische Räume unterscheiden lassen. Die vielleicht grundlegendste solche Invariante sind die Homologiegruppen H*(X;A) eines Raumes X, die sich zudem in der Regel auch noch recht leicht berechnen lassen. (A ist eine zu wählende abelsche Gruppe, die “Koeffizienten” der Homologiegruppe, zum Beispiel Z oder Z/pZ.)
Eilenberg-MacLane hatten in den 40er Jahren festgestellt, dass die Homologiegruppen eines asphärischen Raumes nur von seiner Fundamentalgruppe abhängen. Dies führte dann zur Definition der Homologie H*(G;A) einer Gruppe G als Homologie eines asphärischen Raumes mit Fundamentalgruppe G. Diese Gruppenhomologie lässt sich rein algebraisch definieren, aber kaum berechnen. Wenn man sie berechnen will, muss man praktisch immer erst einen handhabbaren asphärischen Raum mit der entsprechenden Fundamentalgruppe kennen.
Nun gibt es verschiedene mathematische Probleme, z.B. im Zusammenhang mit Scherenkongruenzen oder mit algebraischer K-Theorie, bei denen die Gruppenhomologie von Lie-Gruppen eine Rolle spielt. (Um das Beispiel Scherenkongruenzen hier etwas ausführlicher darzustellen: Hilbert hatte 1900 in seiner bekannten Liste von 23 Problemen gefragt, ob zwei Polyeder genau dann scherenkongruent sind, wenn sie das selbe Volumen haben. Die entsprechende 2-dimensionale Aussage ist eine elementar-geometrische Übungsaufgabe. Ich nehme an, dass sich Hilbert wegen der damals noch nicht vorhandenen axiomatischen Definitionen von Messbarkeit etc. für die Frage interessierte. Dehn zeigte dann aber noch im selben Jahr, dass bei scherenkongruenten Polyedern eine weitere Invariante, die Dehn-Invariante, übereinstimmen muss. Dass Volumen und Dehn-Invariante gemeinsam genügen um Scherenkongruenz zu entscheiden wurde erst 1965 von Sydler bewiesen. Und bemerkenswerterwesie ist Sydlers Theorem äquivalent zu der Aussage, dass H2(SO(3),Z)=0, also zur Berechnung der Gruppenhomologie einer Lie-Gruppe.)
Man kann die Gruppenhomologie definieren als Homologie eines bestimmten Raumes BGδ, dieser Raum ist aber zu kompliziert für konkrete Berechnungen. Andererseits hat man für Lie-Gruppen den klassfizierenden Raum BG, dessen Homologie man durchaus berechnen kann. (Z.B. für die unitäre Gruppe U(n) ist BU(n) die Grassmann-Mannigfaltigkeit, deren Homologiegruppen etwa im Lehrbuch von Milnor-Stasheff berechnet werden, Stichwort Schubert-Kalkül.) Der Raum BGδ kann in diesem Kontext interpretiert werden als der klassifizierende Raum der Gruppe G mit der diskreten Topologie (statt der Lie-Gruppen-Topologie), daher auch das Schlagwort “homology of Lie groups made discrete” für die Gruppenhomologie von Lie-Gruppen.
Nun ist die Identitäts-Abbildung Gδ–>G (von der Gruppe mit diskreter Topologie in die Gruppe mit Lie-Gruppen-Topologie) natürlich stetig und man bekommt eine Abbildung H*(G,Z)–>H*(BG,Z) von der schwer zu berechnenden Gruppenhomologie in die berechenbare Homologie von BG. Die Abbildung ist aber in der Regel weit entfernt davon, ein Isomorphismus zu sein. Jedenfalls die torsionsfreien Anteile der Homologiegruppen haben nichts miteinander zu tun: während die rechte Seite stets endlichdimensional ist, dürfte das bei der linken Seite kaum der Fall sein. (Jedenfalls vermutet man, dass z.B. die Gruppenhomoloige von SL(2,C) abzählbar-dimensional ist.)
Insofern ist es ziemlich überraschend, dass die Torsionsanteile der beiden Homologiegruppen wohl doch übereinstimmen. Jedenfalls hatte John Milnor in seiner 1983 veröffentlichten Arbeit “On the homology of Lie groups made discrete” vermutet, dass H*(G,Z/pZ)–>H*(BG,Z/pZ) (also die obige Abbildung mit endlichen Koeffizienten statt Z-Koeffizienten) ein Isomorphismus ist, und er hatte das dann für den speziellen Fall auflösbarer Lie-Gruppen auch bewiesen. Kurz danach hatte André Suslin diese Vermutung auch für die unendliche lineare Gruppe über C bewiesen und Friedlander hatte gezeigt, dass für komplex algebraische Gruppen Milnors Vermutung mit einer anderen Vermutung über etale Kohomologie (“Friedlander-Vermutung”) zusammenhängt. Danach gab es aber in fast 30 Jahren keine nennenswerten Fortschritte.
Die im Vorttrag von Morel angekündigte Arbeit liefert nun einen Beweis der Friedlander-Vermutung und damit auch einen Beweis der Milnor-Vermutung für komplex algebraische Gruppen. Damit kann man nun immerhin die Torsionsanteile der Gruppenhomologie für diese Gruppen berechnen.

Kommentare (11)

  1. #1 ebert
    15. Februar 2012

    Ehrlich, ich habe nicht ein Wort verstanden, worum es hier geht. Ueberhaupt nicht. Noch nicht mal dem ersten inhaltlichen Satz (“In der algebraischen Topologie…”) kann ich entnehmen, welches mathematische Problem hier behandelt wird. Lediglich der Begriff Topologie laesst mich vermuten, dass es was mit Geometrie oder Formen zu tun hat. Natuerlich koennte ich mir nun einige Begriffe rauspicken und bei Google, Wikipedia, etc. suchen, aber muss das sein?
    Wenn man fuer sein Blog nur speziallisierte Fachkollegen als Leser will, ist das natuerlich ok. Aber die Science-Blogs sollten doch eigentlich auch eine etwas weiter gestreute Leserschaft ansprechen.
    Sorry an den Autor, wenn das etwas harsch rueberkommt. Betrachten Sie es als konstruktive Kritik/Idee. Eine kurze, allgemein verstaendliche Einleitung (nur 2-3 Saetze) oder ein Diagramm sind doch nicht wirklich zuviel? Dann kann der geneigte Leser immer noch selbst entscheiden, ob es sich lohnt, zu googeln.

    PS Ich bin tatsaechlich Naturwissenschafter, hatte also durchaus auch ein paar Vorlesungen/Seminare in Mathematik. Dennoch, ich habe nicht die geringste Vorstellung, worum es bei obigem Text geht.

  2. #2 Loki
    15. Februar 2012

    Ich auch nicht, obwohl ich Mathematik (3. Semester) studiere 😉

  3. #3 JPeelen
    16. Februar 2012

    Als Laie fällt mir auf: Morel hat keinen Beweis, sondern nur einen Beweis angekündigt.

    Ist das die heutige Auffassung von Wissenschaft? Wenn er einen Beweis hat, möge er ihn vorlegen. Wenn nicht, wäre Schweigen vielleicht besser? Worin wird der Nutzen von Ankündigungen anstelle von Fakten gesehen?

  4. #4 rolak
    16. Februar 2012

    moin an alle, es gibt hier im blog eine ausführliche Tour durch die Topologie, hier geht es zum letzten Artikel mit Index (die vielen links ganz unten)

    moin speziell JPeelen, ja, das ist eine wirklich höchst dubiose Verhaltensweise ohne erkennbaren Sinngehalt, die auch ausschließlich Mathematikern eigen ist. Was wäre denn auch der faßbare Nutzen, wenn z.B.

    • ..ein Autohersteller für den nächsten Salon ein neues Modell ankündigen würde?
    • ..eine Sendeanstalt die Ausstrahlung eines Filmes Tage vorher ankündigen würde?
    • ..zu einer Feier schon Wochen geladen werden würde?
    • ..dem Chef die Urlaubsplanung schon Monate vorher angekundigt werden würde?
  5. #5 JanG
    16. Februar 2012

    @rolak
    Klasse Kommentar, gefällt mir gut und ist ein schöner start in den Morgen.

    Muss aber auch zugeben, dass, auch wenn ich die Topologie-Serie mit Interesse lese (bin allerdings noch weit am Anfang), ich schon auch gehofft hatte, zur Vermutung etwas Verständlicheres zu lesen. Aber sei’s drum, das Video mit der Visualisierung einer sieben-dimensionalen Mannigfaltigkeit vor ein paar Tagen hat reichlich entschädigt.

    An dieser Stelle also mal wieder: Lob für den Blog, lese ich regelmäßig und sehr gern.

  6. #6 Niels
    16. Februar 2012

    @ebert und @Loki
    Ich bin auch nur Naturwissenschaftler.
    Trotzdem ist mir klar, dass es in der Mathematik Dinge gibt, bei denen es unmöglich ist, sie mal eben schnell jedem Laien mit Bienchen und Blümchen in zwei Sätzen zu erklären.
    Ist in eurer jeweiligen Naturwissenschaft doch auch nicht anders.
    In der Physik ist es jedenfalls mit Sicherheit so.

    Was soll Thilo denn eurer Meinung nach machen? Er hat schon 205 Teile über Topologie verfasst.
    Wenn er im obigem Beitrag die Definition jedes einzelnen verwendeten Begriffes und noch jeweils die Definitionen der in den Definitionen vorkommenden Begriffe erklärt hätte, wären dabei etwas im Umfang von mindestens drei mathematische Lehrbüchern rausgekommen.

  7. #7 Ebert
    16. Februar 2012

    @Niels (+ Thilo)
    Ich bin (über Google) zufällig auf diese Seite gestossen. Ich kannte bisher ein paar andere Science-Blogs, aber noch nicht Thilos Mathlog, ebensowenig die 205 anderen Teile über Topologie 🙂
    Ich war nur erstaunt, daß es ohne Einleitung direkt zur Sache geht.

    Was ich vorschlage, ist entweder
    * eine kurze Einleitung, wenn man das mit ein paar Saetzen (oder einer Abbildung) machen kann
    oder (in diesem Fall) vielleicht zumindest der Hinweis
    * (Beispiel): “Dies ist Teil 206 einer laaangen Serie über XY. Deswegen geht es ohne Umschweife zur Sache. Für eine Einführung, siehe hier oder hier .”

    Auch (oder gerade), wenn man sehr fachspezifisch schreibt, ist vielleicht ein kurzer, vorangestellter Abstract generell nicht schlecht (wie man es eben aus den Papers kennt)

    Aber nochmal: Ich schlage nur etwas vor, wie man es (vielleicht) besser machen könnte. Wenn ich im letzten Post etwas zu direkt war, nochmal Sorry.

    Ebert

  8. #8 rolak
    16. Februar 2012

    nope2sorry, Ebert, zumindest in meinen Augen – es ist auch mir (der sich übrigens bestenfalls mit viel {online}Zeit dem Verständnis mancher hier publizierter Beiträge näher bringen könnte) klar, daß ein solcher post gut heftig wirkt.
    Zwei Dinge noch: Dieser post ist nicht Teil 207 der Reihe (206 hatte keinen Index). Falls/Wenn der Beweis hier besprochen wird, kommt mit Sicherheit auch eine kleine Einführung.

    Doch eines bleibt zu bedenken: Ab einer gewissen Eindringtiefe in ein Fach-, insbesondere ein Spezialgebiet ist es langweilig für die Eingeweihten und höchst mühsam für den Schreibenden, jedesmal neu den Königsweg zum Kernthema zu pflastern.

  9. #9 Tim
    17. Februar 2012

    @ ebert: Ich finde es sehr gut, dass Dr. Küssner hier mal etwas technisch schreibt, obwohl ich sicherlich auch nicht alles verstehe. Um ehrlich zu sein, verstehe ich so gut wie gar nichts.

    Wenn dich das wirklich interessiert, wirst du wohl um technische Literatur und ein gewisses hartes Selbststudium nicht umhinkommen. Mathematik ist nunmal hart und wie ein Vorschreiber schon geschrieben hat, ist es gänzlich unnmöglich einem Laien innerhalb eines Blogeintrags Einblick in die mathematische Grundlagenforschung zu verschaffen.

  10. #11 Eulalia Gaudett
    7. Mai 2017

    I do agree with all the ideas you have offered to your post. They’re very convincing and can definitely work. Still, the posts are very quick for starters. May you please extend them a bit from next time? Thanks for the post.