Topologie von Flächen CCXIII

Wie verlegt man Photovoltaik Zellen auf unebenen Flächen?

Diese Frage wird hier nicht beantwortet (sondern zum Beispiel hier), aber hier geht es jedenfalls auch um die Zerlegung unebener Flächen in Zellen.

Vorletzte Woche hatten wir gezeigt, wie man eine (jede) Fläche mittels Morsetheorie in Henkel zerlegen kann. Damit kann man relativ einfach die Klassifikation der Flächen beweisen, wozu wir hier natürlich demnächst auch noch kommen werden.
Heute wollen wir aber zunächst eine andere Zerlegung von Flächen diskutieren, die man ebenfalls mittels Morsetheorie bekommt (dazu nächste Woche) und mit der Algebraische Topologen eigentlich lieber arbeiten, weil sie einfacher und flexibler ist, nämlich Zellkomplexe, sogenannte CW-Komplexe.

Beispiele: Flächen

Ganz am Anfang, in TvF 5 (und geometrisch z.B. in TvF 69) hatten wir mal gezeigt, daß man die geschlossene Fläche vom Geschlecht g bekommen kann, indem man ein 4g-Eck nimmt und bestimmte Paare von Seiten miteinander verklebt. (Danach entsprechen alle Ecken des 4g-Ecks demselben Punkt auf der Fläche.) Anders ausgedrückt kann man auch sagen: man bekommt die Fläche, indem man zunächst einen Punkt nimmt, an diesen 2g Kanten anklebt und schließlich noch das Innere des 4g-Ecks (topologisch eine Kreisscheibe) anklebt:

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Quelle: Hatcher: Algebraic Topology

Zellkomplexe

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0-Zelle

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1-Zelle

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2-Zelle

Das Beispiel der Flächen motiviert die allgemeine Definition von Zellkomplexen:
- für k>0: eine k-Zelle ist topologisch dasselbe wie (d.h. homöomorph zu) einem offenen k-dimensionalen Ball (und eine 0-Zelle ist einfach ein Punkt),
- ein Zellkomplex besteht aus Zellen, so daß jeweils der Abschluß einer k-Zelle topologisch dasselbe ist wie ein abgeschlossener k-dimensionaler Ball und der Rand des Abschlusses in der Vereinigung der Zellen von Dimension kleiner k liegt.
(Es muß also nicht, wie bei Simplizialkomplexen der Rand einer k-Zelle die Vereinigung von k-1-Zellen sein, sondern der Rand kann auch in, eventuell mehreren, Zellen niedrigerer Dimension liegen. Zum Beispiel kann man die 2-dimensionale Sphäre aus einer 0-Zelle und einer 2-Zelle zusammensetzen: der Rand der 2-Zelle wird komplett in die 0-Zelle abgebildet. Oder man kann den Torus aus einer 0-Zelle, zwei 1-Zellen und einer 2-Zelle zusammensetzen: der Rand der 2-Zelle durchläuft dabei beide 1-Zellen jeweils zweimal.)

Für die Definition eines Zellkomplexes oder CW-Komplexes setzt man als weitere (recht natürliche) Bedingungen voraus, daß der Raum Hausdorffsch ist, daß der Abschluß jeder Zelle nur endlich viele Zellen schneidet und daß eine Menge abgeschlossen ist gdw. ihr Schnitt mit jeder Zelle abgeschlossen ist. (Diese beiden Bedingungen heißen “closure finiteness” und “weak topology”, was die Bezeichnung CW erklärt.)

CW-Komplexe sind allgemeiner als Mannigfaltigkeiten oder Simplizialkomplexe, z.B. ist das unten abgebildete ‘Bouquet’ von zwei (oder mehr) Kreisen ein CW-Komplex, aber keine Mannigfaltigkeit (weil die Umgebungen des ‘Schnittpunktes’ nicht homöomorph zu R1 sind).

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Zum Beispiel hatten wie hier (und auch im Zusammenhang mit der Friedlander-Milnor-Vermutung) mal über Gruppenhomologie geschrieben. Per Definition war die Gruppenhomologie einer Gruppe G die Homologie eines asphärischen Raumes mit Fundamentalgruppe G. (Solche Räume heißen Eilenberg-MacLane-Räume.) Das Bild oben – das ‘Bouquet’ zweier Kreise – zeigt den Eilenberg-Mac Lane-Raum einer freien Gruppe mit 2 Erzeugern. (Analog wäre das ‘Bouquet’ von k Kreisen der Eilenberg-MacLane-Raum der freien Gruppe mit k Erzeugern.) Das ist die einfachst-mögliche Konstruktion des Eilenberg-MacLane-Raums für freie Gruppen. Es ist nicht möglich eine asphärische Mannigfaltigkeit mit dieser Fundamentalgruppe zu finden. Auch sonst gibt es viele Gruppen (z.B. alle endlichen Gruppen), deren Eilenberg-MacLane-Räume sich nicht durch Mannigfaltigkeiten realisieren lassen. Man findet aber zu jeder (endlich präsentierten) Gruppe einen asphärischen CW-Komplex mit der entsprechenden Fundamentalgruppe. (Die dabei entstehenden CW-Komplexe können allerdings manchmal sehr kompliziert sein, weshalb die Berechnung von Gruppenhomologie oft eine schwierige Aufgabe ist, obwohl sich die Homologie von CW-Komplexen eigentlich durchaus effektiv algorithmisch berechnen läßt.)

CW-Komplexe (bzw. Räume, die homotopie-äquivalent zu CW-Komplexen sind) sind in der Algebraischen Topologie beliebt, weil sie die “richtige” Klasse von Räumen für eine allgemeine Theorie sind, einerseits keine allzuwilden Pathologien zulassen, andererseits neben Mannigfaltigkeiten auch noch andere in der Algebraischen Topologie benötigte Räume umfassen, z.B. eben Eilenberg-MacLane-Räume oder Schleifenräume oder Einhängungen anderer CW-Komplexe (die dann meist keine Mannigfaltigkeiten mehr sind).

Das Bild unten zeigt die Einhängung einer 1-dimensionalen Sphäre, das Ergebnis ist eine 2-dimensionale Sphäre. Allgemein ist die Einhängung einer n-dimensionalen Sphäre immer eine n+1-dimensionale Sphäre, also eine Mannigfaltigkeit. Wenn man aber statt Einhängungen von Sphären Einhängungen anderer Mannigfaltigkeiten betrachtet, z.B. die Einhängung eines Torus, dann erhält man nicht wieder eine Mannigfaltigkeit. Das gibt dann also weitere (für die Homotopietheorie wichtige) Beispiele von CW-Komplexen, die keine Mannigfaltigkeiten sind.

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