das letzte von unendlich vielen

Von Thilo / 4. April 2012 / 23 Kommentare

Grün oder rot?

Math Fail hatte gestern einen Cartoon über unendlich+1=unendlich:

Wer zu einer unendlichen Menge noch ein Element hinzufügt bekommt eine Menge mit der selben Anzahl von Elementen – das ist die bekannte Geschichte von Hilberts Hotel.

Anders wäre die Antwort z.B. mit 2ⁿ statt n+1. Die Potenzmenge einer Menge hat immer mehr Elemente als die ursprüngliche Menge.

Und gar nicht zu beantworten ist die Frage nach dem letzten Element einer unendlichen Menge. Dieses Problem veranschaulicht das Viereck von Milos Arsenijevic:

Quelle: Borkenhagen-Pennartz, U Düsseldorf

Ist das letzte Viereck grün oder rot???

Kommentare (23)

#1 Jonas W.
4. April 2012

Ich hatte als Kind mal folgendes Buch bekommen:

https://www.amazon.de/Wie-gro%C3%9F-unendlich-Knobelgeschichten-Zahlenuniversum/dp/3499213117/ref=cm_cr_pr_product_top

Ich fand es damals recht interessant, auch wenn ich mit den meisten Rechenarten nichts anfangen konnte. Dort wird auch die Hotelgeschichte erzählt

(Keine Ahnung, ob ich solche Links posten darf, wenn nicht bitte löschen)
#2 koi
4. April 2012

Es gibt doch kein letztes Rechteck, ist doch (einer) der Witze an ∞
#3 Frank Wappler
4. April 2012

큈넬 티로 schrieb (04.04.12 · 08:50 Uhr):

> Grün oder rot?

Weiß.
(Die Farbe des letzten Rechtecks auf der rechten Seite innerhalb des Arsenijevicschen Vierecks ist weiß; egal welche Anzahl von waagerechten Trennlinien innerhalb des Arsenijevicschen Vierecks eingezeichnet wurden und egal ob die Fläche links von einer eingezeichneten Trennlinie jeweils grün oder rot gefärbt wurde.)
#4 Arnd
4. April 2012

Das letzte Rechteck hat gar keine Farbe mehr. Farbe entsteht durch Licht einer bestimmten Wellenlänge oder Kombination verschiedener Wellenlängen. Sobald die Rechtecke die Größe der Wellenlänge signifikant unterschreiten, kann man auch keine Farbzuordnung mehr vornehmen.
#5 Tubshell
4. April 2012

Schwacher Comic. Aleph_0 + 1 bezeichnet gerade die Nachfolgerordinalzahl von Aleph_0, die beiden Zahlen sind also mitnichten identisch…

(Mit kardinaler Arithmetik sind “Aleph_0 + 1” und “Aleph_0” zwar identisch, aber es ist aus dem Zusammenhang des Comics klar, dass auf die erstgenannte Zahl immer eins draufgezählt werden soll, wir uns also im Zusammenhang der ordinalen Arithmetik befinden.)

Also, Math Fail passt da ganz gut…

Übrigens: 1 + Aleph_0 ist identisch mit Aleph_0. Aber dann wäre ja der Gag kaputt…
#6 Thilo
4. April 2012

Mag sein, dass die Bezeichnung +1 manchmal fuer die Nachfolge-Ordinalzahl verwendet wird. Die eigentliche Bedeutung von + und 1 in der Ordinalzahl-Arithmetik ist aber doch: 1 ist die Anzahl der Elemente der Menge aus einem Element und + steht fuer die Anzahl der Elemente in der Vereinigung zweier Mengen. Aleph_0 + 1 ist also die Anzahl der Elemente in der Vereinigung zweier Mengen, deren erste Aleph_0 Elemente und deren zweite 1 Element hat. Und diese Vereinigung hat eben wieder Aleph_0 Elemente.
#7 Martin
4. April 2012

Das letzte Rechteck hat gar keine Farbe mehr

Somit stellt sich die Frage, welche Farbe es unmittelbar vor dem quantenmechanischen Verschwinden hatte?
Ich neige zu folgender Antwort: Nachdem die Ausdehnung bis zuletzt durch ein Rechteck beschnitten wird, ergibt sich aus der Fouriertransformierten der Rechtecksfunktion eine immer stärkere Verbreiterung des Spektrums, zugleich nimmt die Energie ab. Es müsste sich demnach um dunkles Grau handeln.
#8 Frank Wappler
4. April 2012

Arnd schrieb (04.04.12 · 10:34 Uhr):

> […] Farbe entsteht durch Licht einer bestimmten Wellenlänge oder Kombination verschiedener Wellenlängen.

Richtig.

> Sobald die Rechtecke die Größe der Wellenlänge signifikant unterschreiten, kann man auch keine Farbzuordnung mehr vornehmen.

Nicht ganz; sondern:
Sobald die Rechtecke (oder allgemeiner: “Felder”) die “Größe einer bestimmten Wellenlänge” signifikant unterschreiten (bzw. unterschreiten würden), kann (bzw. könnte) man auch keine Farbzuordnung hinsichtlich dieser bestimmten Wellenlänge mehr vornehmen.
Das schließt aber keineswegs eine Farbzuordnung hinsichtlich geeigneter geringerer Wellenlängen aus.

Sofern die Farbzuordnungen “grün” oder “rot” oder “weiß” (mit entsprechenden Wellenlängen oder Wellenlängenbereichen) nicht gleichermaßen für alle Felder vorgenommen werden könnte, wäre eine Farbzuordnung gemäß der Wellenlängen
“grün * Größe-des-Feldes / Größe-des-Arsenijevicschen-Vierecks” bzw.
“rot * Größe-des-Feldes / Größe-des-Arsenijevicschen-Vierecks” bzw.
“ohne Licht”
vielleicht sinnvoller.
(Letzteres für Felder, die jede bestimmte positive “Wellenlängen-Größe” unterschreiten und folglich keine andere “Farb”-zuordnung erlauben.)

Erst in diesem Sinne ergäbe sich für “das letzte, begrenzende Feld”:

> Das letzte Rechteck hat gar keine Farbe mehr.

Allerdings haben alle Rechtecke (entsprechend der Skizze im Blogartikel) offenbar die gleiche Höhe (nämlich gleichermaßen die Höhe des Arsenijevicschen Vierecks, indem sie enthalten sind); und unterschreiten daher die “Wellenlängen-Größe(n)” offenbar nicht, auf Grund derer sich die Farbzuordnungen “grün” oder “rot” oder “weiß (d.h. rot und grün und sogar noch andere)” im Prinzip vornehmen lassen.
#9 Martin
4. April 2012

Ausgangspunkt ist – so nehme ich an – die Reflexion von rein weissem Licht.
#10 Martin
4. April 2012

Weiters bleiben die Eigenschaften des Rands der Rechtecke undefiniert. Ich habe angenommen, dass dem Rand eine physikalische Existenz zukommt und unendlich dicht aufgertragene Substanz in diesem Zusammenhang schwarz erscheint.

Genausogut hätte man annehmen können, dass dem Rand keine physikalische Existenz zukommt und das Licht daher bei so kleinen Strukturen unbeeinflusst bleibt. In diesem Sinn wäre die letzte “Farbe” ein sehr helles Grau vor dem unbeeinflissten weissen Licht (Hintergrund).
#11 rolak
4. April 2012

Das letzte Rechteck rechts ist selbstverständlich grün-rot-kariert 😉
#12 michael
4. April 2012

Gemäß dem Bibelspruch

Das letzte wird das erste sein und das erste wird das letzte sein.

(oder so), ist das letzte Rechteck grün.
#13 Sim
4. April 2012

Letztendlich veranschaulicht es einen interessanten Sachverhalt der in der Mathematik oft vorkommt. Was ist zum Beispiel das größte Element des offenen Intervalls (0,1) ?

Der Mathematiker weiß natürlich. Es gibt kein größtes Element in diesem Intervall. Wessen Existenz aber schon in der Frage impliziert wurde. Damit ist aber nur die Frage Quatsch.

Allerdings können auch unsinnige Fragen auf fruchtbaren Boden fallen. Hier zum Beispiel führt die Frage nach dem größten Element des Intervalls auf eine Spur welche zur Entwicklung des Supremumbegriffs beiträgt.
#14 StefanL
4. April 2012

aleph_0 , aleph_1 … CH oder nicht CH, das ist die Frage…
#15 StefanL
4. April 2012

@Thilo

Die eigentliche Bedeutung von + und 1 in der Ordinalzahl-Arithmetik ist aber doch: 1 ist die Anzahl der Elemente der Menge aus einem Element und + steht fuer die Anzahl der Elemente in der Vereinigung zweier Mengen.

Ist es nicht so, dass ggfs. dem Term “+1” eher in der Kardinalzahl-Arithmetik eine (direkte) Bedeutung zugeordnet ist und in der Ordinalzahl-Arithmetik eher (Wohlordnungssatz?) so etwas wie lexikographische Ordnung zum Tragen kommt:
N x N etwa (0,0),(1,0),……. aleph_0(-tes) und ‘+’ (0,1) = aleph_0 +1 (= aleph_0 + 1 ste Element) usf. ? Sicherlich ändert das nichts an der gleichen Kardinalität gemäß der Existenz eine Bijektion von N -> NxN .
#16 Tubshell
4. April 2012

Thilo: Mag sein, dass die Bezeichnung +1 manchmal fuer die Nachfolge-Ordinalzahl verwendet wird. Die eigentliche Bedeutung von + und 1 in der Ordinalzahl-Arithmetik ist aber doch: 1 ist die Anzahl der Elemente der Menge aus einem Element und + steht fuer die Anzahl der Elemente in der Vereinigung zweier Mengen. Aleph_0 + 1 ist also die Anzahl der Elemente in der Vereinigung zweier Mengen, deren erste Aleph_0 Elemente und deren zweite 1 Element hat. Und diese Vereinigung hat eben wieder Aleph_0 Elemente.

Was du als die “eigentliche Bedeutung der Ordinalzahlarithmetik” beschrieben hast, ist die Bedeutung der Kardinalzahlarithmetik. Es ist wichtig zu wissen, dass das gänzlich unterschiedliche Dinge sind! omega^omega in kardinaler Arithmetik ist eine überabzählbare Kardinalzahl, omega^omega in ordinaler Arithmetik ist hingegen eine abzählbare Ordinalzahl (und sogar eine verhältnismäßig kleine, denn epsilon_0 ist ebenfalls abzählbar).

Dass ordinale und kardinale Arithmetik auf die gleiche Weise notiert werden, hat mich anfangs immer extrem verwirrt, und ich gebe zu, dass man als Logiker eher “omega + 1” statt “Aleph_0 + 1” schreiben würde, wenn es um die Nachfolgerordinalzahl von Aleph_0 geht – aber falsch ist zweiteres wie gesagt nicht, es sollte bloß aus dem Kontext klar werden, was gemeint ist. Und da der zweite Spieler im Comic immer gewinnt, indem er auf eine beliebige Ordinalzahl alpha einfach die Nachfolgerordinalzahl nennt (die in diesem Kontext IMMER als alpha + 1 notiert wird), hat sich der Initiator des Spiels selbst ein Bein gestellt – wenn er jetzt mit kardinaler Arithmetik kommt, kennt er ordinale Arithmetik nicht oder ist ein schlechter Verlierer… 😉
#17 Thilo
5. April 2012

Okay, es geht nicht um Ordinalzahlen, sondern um Kardinalzahlen, aber jedenfalls definiert man auch dort Addition über die Mächtigkeit der Vereinigung disjunkter Mengen. Und ich nehme mal an, “1” ist auch in der Kardinalzahlarithmetik die Bezeichnung für die Mächtigkeit der Menge aus einem Element, oder?
#18 Tubshell
5. April 2012

@Thilo: Wie gesagt, in Sachen Kardinalzahlarithmetik hast du vollkommen Recht. Das Problem ist vielleicht, dass für endliche Zahlen ordinale und kardinale Arithmetik identisch sind, aber für unendliche Zahlen zwei grundverschiedene Arithmetiken existieren: Die ordinale und die kardinale Arithmetik.

Es ist zwar nett, dass du postulierst, dass es um kardinale Arithmetik geht – das ist meiner Meinung nach aber nirgends ersichtlich. Im Comic geht es um “numbers” – und “ordinal numbers” ist ein allgemeineres Prinzip als “cardinal numbers”: Jede Kardinalzahl ist auch eine Ordinalzahl, aber nicht umgekehrt.

Vielleicht ist auch ein Problem, dass du “Aleph_0” am Anfang des Posts mit “unendlich” (“infinity”) gleichgesetzt hast: Natürlich gibt es diese Konvention “unendlich + 1 = unendlich”, aber die wird nur in gewissen Zusammenhängen vereinfachend gebraucht; einem Logiker braucht man damit nicht zu kommen.

Ordinale Arithmetik wird jedenfalls nicht über die MÄCHTIGKEIT der Vereinigung disjunkter Mengen definiert! Da geht es um den Ordnungstyp von Wohlordnungen, die man “hintereinanderschaltet”. Im Detail ist das hier im Kommentarbereich scheiße zu erklären, aber ich versuchs mal mit dem hier relevanten Beispiel:

Stell dir vor, du hast die übliche Wohlordnung der natürlichen Zahlen, also
0, 1, 2, 3, ………
Der Ordnungstyp dieser Wohlordnung ist per Definition Aleph_0.
Nun kann man die Wohlordnung der natürlichen Zahlen durch genau ein Element erweitern, welches größer ist als alle natürlichen Zahlen, also etwa
0, 1, 2, 3, …….., omega
Dann hat man (kardinal gesehen) immer noch Aleph_0-viele Elemente, aber die beiden Ordnungen sind nicht isomorph, d.h. du kannst keine Bijektion angeben, welche die Ordnung erhält. In der zweiten Wohlordnung hat sich der Ordnungstyp um 1 erhöht: Wenn man sie intuitiv gesprochen “aufzählen” würde, würde man ein Element mehr erhalten als zuvor. Daher ist der Ordnungstyp der zweiten Wohlordnung “Aleph_0 + 1”.

Also: “Aleph_0 + 1” ist der Ordnungstyp derjenigen Wohlordnung, die dadurch entsteht, dass man hinter eine Wohlordnung der Länge Aleph_0 eine Wohlordnung der Länge 1 packt.

Allgemein ist dann “alpha + beta” der Ordnungstyp derjenigen Wohlordnung, die dadurch entsteht, dass man hinter eine Wohlordnung der Länge alpha eine Wohlordnung der Länge beta packt.

Hier kommt dann auch der im Kommentarbereich schonmal angesprochene Wohlordnungssatz ins Spiel, durch den sichergestellt ist, dass das ganze wohldefiniert ist.

Wie auch immer, das nur als kurzer Abriss, hoffe das war ein wenig verständlich. Je länger man damit arbeitet, desto natürlicher und intuitiver wird das ganze, deswegen weiß ich nicht, ob ich irgendwas unbekanntes vorausgesetzt habe…
#19 StefanL
5. April 2012

@Tubshell
Du hast erwähnt (omega = w), daß w^w ordinal abzählbar sei. Inwiefern? w^w ( = |NxNx…| w-mal bzw. lexikographisch geordnet; Wohlordnung ist ja nicht an ‘abzählbar’ gebunden ) gte 2^w … oder meinst Du damit M= {0,1, …, w,…, w^2,…,w^w(=epsilon_0),…. } abzählbar und dann eine ‘überabzählbare Ordinalität’ erst für 2^M ?
#20 troglodyt
5. April 2012

@StefanL:
Um Ordinalzahlexponentiation a^b zu definieren betrachtet man die Menge aller Funktionen f:b->a mit endlichem Träger. Diese Menge lässt sich unter dem Wissen das a und b beide wohlgeordnete Mengen sind kanonisch wohlordnen und ist damit eindeutig einer Ordinalzahl c zugeordnet. Man definiert dann a^b=c.
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_arithmetic#Exponentiation

Für die Kardinalzahloperation a^b betrachtet man die Menge aller Funktionen f:b->a. Die Mächtigkeit dieser Menge ist dann wieder eine Kardinalzahl c und man setzt a^b=c.

w^w ist im Übrigen nicht epsilon_0. Epsilon_0 kann man rekursiv mit Ordinalzahlexponentiation so definieren:
w_0=w
w_{n+1}=w^w_n
epsilon_0=lim w_n

Es gilt schöner- und jetzt auch offensichtlicherweise:
Epsilon_0=w^epsilon_0
#21 StefanL
5. April 2012

Danke. Damit wird die “ordinale Abzählbarkeit” von w^w als endlicher arithmetischer Ausdruck klar, und epsilon_0 als erste nicht als endlicher (per w) arithmetischer Ausdruck darstellbare Ordinalzahl.
#22 Rene
6. April 2012

“Die Potenzmenge einer Menge hat immer mehr Elemente als die ursprüngliche Menge.”

Nett! Bei solch schwachen Formulierungen muss man sich über die obige Dukatenscheißerei in den Kommentaren nicht wundern.

Die Potenzmenge umfasst die Menge überhaupt nicht. Es gibt lediglich eine natürliche Injektion in die Potenzmenge. Und die Annahme, dass es eine bijektive Abbildung zwischen de Potenzmenge und der Menge gibt, führt auf einen logischen Widerspruch. Über den lohnt es sich nachzudenken – insbesondere wenn man weiß, dass es für jedes Axiomensystem ein abzählbares Modell gibt 🙂
#23 Thilo
6. April 2012

Die Potenzmenge umfasst die Menge überhaupt nicht.

Das hatte ja auch niemand behauptet. Sie hat aber mehr Elemente = eine größere Anzahl (Kardinalität) von Elementen.