Mindestens 3 kürzeste Kreise auf jeder verbeulten Sphäre.

Geodäten – d.h. (lokal) kürzeste Verbindungen – in der Ebene sind das natürlich die Geraden.
Auf der runden Sphäre sind es die Großkreise wie im Bild unten. (Der kürzeste Weg von London nach Fidschi führt über den Nordpol. Die Geodäte von Washington nach Mekka zeigt in nordöstlicher Richtung. Siehe TvF 56.)

i-0c4fc62e1af44419ca25b75218099db5-Web.jpeg

© Y.Petridis (MPI Bonn)

Sphären

Auf der runden Sphäre gibt es also unendlich viele Geodäten.

Ist das auch auf jeder ‘verbeulten’ Sphäre der Fall? Die Antwort ist negativ, ein Gegenbeispiel ist das Ellipsoid.

Wenn die Längen der 3 Achsen unterschiedlich sind, aber sich nicht zu stark unterscheiden, dann sind die 3 Achsen die einzigen geschlossenen Geodäten auf dem Ellipsoid.

Muß es auch auf jeder anderen ‘verbeulten’ Sphäre mindestens 3 geschlossene Geodäten ohne Selbstschnitte geben? Die Antwort ist positiv, dies wurde 1929 von Lusternik und Schnirelman bewiesen.

Wir hatten in den vergangenen Wochen über Morse-Theorie und Lusternik-Schnirelman-Theorie geschrieben, zwei Methoden, mit denen man u.a. untere Schranken für die Anzahl kritischer Punkte einer Funktion auf einer Fläche (oder höher-dimensionalen Mannigfaltigkeit) bekommt. Beide waren ursprünglich wesentlich motiviert durch die Frage nach der Anzahl geschlossener Geodäten auf einer Fläche.
Der Zusammenhang mit der Suche nach kritischen Punkten ergibt sich daraus, daß die geschlossenen Geodäten gerade die kritischen Punkte (Minima) des Energiefunktionals auf dem “freien Schleifenraum” (d.h. dem Raum der geschlossenen Kurven auf der Mannigfaltigkeit) sind. (Dazu nächste Woche ausführlicher.)

Der Beweis der Existenz von mindestens 3 geschlossenen Geodäten auf jeder verbeulten Sphäre geht auf Lusternik-Schnirelman zurück (man findet auch einen Beweis im Appendix zu Klingenberg: “Lectures on closed geodesics”) und nutzt subtile topologische Methoden. (Allerdings nicht die vor 2 Wochen besprochene Lusternik-Schnirelman-Kategorie, auch wenn man natürlich vermuten kann, dass es die Beschäftigung mit dieser Frage war, die Lusternik und Schnirelman darauf brachte, dass die Lusternik-Schnirelman-Kategorie eine untere Schranke für die Anzahl der kritischen Punkte liefert.) Ballmann verallgemeinerte den Satz 1977 auf die projektive Ebene (TvF 155): auch auf der projektiven Ebene gibt es bei jeder Metrik mindestens 3 geschlossene Geodäten.
Aus einem klassischen Satz von Serre folgt übrigens, daß die Cup-Length des Schleifenraumes der Sphäre (d.h. des Raumes der geschlossenen Kurven mit vorgegebenem Startpunkt x) unendlich ist, und damit dann auch die Lusternik-Schnirelman-Kategorie des Schleifenraums (denn diese ist immer mindestens so groß wie die Cup-Length). Fadell-Husseini haben 1989 bewiesen, daß auch die Lusternik-Schnirelman-Kategorie des freien Schleifenraums unendlich ist.

Andere Flächen

Über geschlossene Geodäten auf flachen Tori und auf hyperbolischen Flächen hatten wir in TvF 79 mal geschrieben. Allgemein gilt nach einem Satz von Hadamard: wenn die Krümmung der Fläche ≤ 0 ist, dann ist auf der Fläche jede geschlossene Kurve homotop zu einer geschlossenen Geodäten.

i-9ca4a10b81ae4fd25a4df8dee75d9fdc-singular.png

Quelle: Calegari “Foliations and the geometry of 3-manifolds”

Insbesondere gibt es unendlich viele geschlossene Geodäten. Der Satz von Margulis gibt einem sogar eine asymptotische Formel für die Anzahl der Geodäten bestimmter Länge T (auf einer hyperbolischen Fläche) – diese ist asymptotisch eT/T.

Auch für alle anderen Metriken (nicht nur die mit Krümmung ≤ 0) auf (kompakten, orientierbaren) Flächen mit mindestens einem Henkel kann man beweisen, daß es unendlich viele geschlossene Geodäten gibt.


Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202, Teil 203, Teil 204, Teil 205, Teil 206, Teil 207, Teil 208, Teil 209, Teil 210, Teil 211, Teil 212, Teil 213, Teil 214, Teil 215, Teil 216, Teil 217, Teil 218, Teil 219

Kommentare (1)

  1. #1 shoe lifts men
    http://www.deelsonheels.com
    2. April 2013

    This is very interesting, You