Alles ist möglich und nichts kann berechnet werden?

Im Rahmen des “International Congress of Mathematical Education” gab es heute einen Hauptvortrag von Etienne Ghys über den Schmetterlingseffekt.
(Ghys arbeitet z.Zt. mit Leys und Alvarez an einem Film über “Chaos”, der im September herauskommen soll.)

Der Schmetterlingseffekt – der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien könne einen Wirbelsturm in Texas auslösen (oft auch mit anderen Ländern erzählt, bemerkenswerterweise immer mit Schmetterlingen in Entwicklungsländern und Wirbelstürmen in Industrieländern) – ist wohl die erfolgreichste Metapher der Wissenschaftsgeschichte und gleichzeitig auch die am häufigsten mißverstandene und falsch verwendete.

Vom Werbevideo einer Versicherung

bis zu Andy Andrews’ Erbauungsliteratur “The Butterfly Effect – How Your Life Matters”

muß der Schmetterlingseffekt immer wieder als Beleg für Unberechenbarkeit und Unvorhersehbarkeit herhalten. In Wirklichkeit jedoch läßt sich das Chaos durchaus mathematisch fassen – und darum ging es mit einem 60-minütigen Crashkurs durch die Wissenschaftsgeschichte in Ghys’ Vortrag, den ich im folgenden zusammenzufassen versuche.

Die Geschichte beginnt natürlich mit dem Determinismus, wie er sich etwa in der Newtonschen Mechanik ausdrückt. Laplace brachte das auf den Punkt, daß “eine Intelligenz, die in einem gegebenen Augenblick alle Kräfte kennt, mit denen die Welt begabt ist, und die gegenwärtige Lage der Gebilde, die sie zusammensetzen”, Zukunft und Vergangenheit klar berechnen könne. Weil wir über diese Intelligenz aber nicht verfügen, so Laplace, brauchen wir Wahrscheinlichkeitsrechnung, um zumindest zu annähernd sicheren Aussagen über die Zukunft zu kommen.

Das, was oft als Schmetterlingseffekt bezeichnet wird, also die Tatsache, daß geringfügige Änderungen der Ausgangsbedingungen große Folgen haben können, ist eigentlich eine Selbstverständlichkeit, die sich zum Beispiel auch bei Maxwell erwähnt findet. Poincaré beschäftigte sich mit solchen Fragen im Zusammenhang mit seinen Arbeiten zur Himmelsmechanik und er beschrieb diesen Effekt in seinem populärwissenschaftlichen Buch “Wissenschaft und Methode” mit Worten, die Lorenz späterer Metapher vom Schmetterlingseffekt sehr nahe kommen:

The meteorologists see very well that the equilibrium is unstable, that a cyclone will be formed somewhere, but exactly where they are not in a position to say; a tenth of a degree more or less at any given point, and the cyclone will burst here and not there, and extend its ravages over districts it would otherwise have spared

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Das erste tatsächliche Beispiel von (beweisbarem) mathematischem Chaos fand 1898 Hadamard: er konstruierte eine Fläche, so daß man geschlossene Geodäten in jeder (beliebig komplizierten) Homotopieklasse findet – es ist also völlig unmöglich, die Bahn eines Teilchens aus seinem ungefähren Startpunkt abzuleiten. In einem populärwissenschaftlichen Buch von Duhem wurde dies recht einprägsam mit Bildern von kürzesten Wegen auf der Oberfläche eines Ochsenkopfes veranschaulicht. (Weitere Arbeiten zur mathematischen Chaostheorie, ohne direkte Bezüge zu naturwissenschaftlichen Themen, gab es in den 20er Jahren von Birkhoff.)

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Obwohl also Poincaré und Duhem in ihren Büchern durchaus den heutigen Veranschaulichungen der Chaostheorie nahekamen, wurde die Chaostheorie öffentlich kaum beachtet – die Diskussion von Grenzen der Vorhersagbarkeit entsprach um 1900 nicht dem Geist der Zeit.

Ganz anders war das dann, als Edward Lorenz 1972 seine berühmte Metapher vom Schmetterlingseffekt erfand. Dabei war an diesem Effekt damals nichts Neues: nicht nur stammte Lorenz Arbeit (über eine stark von den Anfangsbedingungen abhängende Differentialgleichung in 3 Variablen) bereits aus dem Jahr 1963, sondern es hatte ja auch schon lange vorher die Arbeiten von Poincaré, Birkhoff und anderen gegeben, die Lorenz als Metereologe offenbar kaum kannte.
Das eigentliche Neue in Lorenz Arbeit war nicht der Schmetterlingseffekt, sondern daß es Lorenz gelang, diesen trotz der Unvorhersehbarkeit mathematisch zu beschreiben. Zwar ist es (wegen der zu großen Abhängigkeit von den genauen Anfangsbedingngen) nicht möglich, die weitere zeitliche Entwicklung eines Punktes in Lorenz Differentialgleichung vorherzusagen, aber er fand ein geometrisches Gebilde (den Lorenz-Attraktor) mit der Eigenschaft, daß jede Lösungskurve gegen den Attraktor konvergiert.

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Kommentare (11)

  1. #1 Lercherl
    11. Juli 2012

    Warum wird ein französischer Text in einem deutschsprachigen Blog eigentlich in englischer Übersetzung zitiert?

  2. #2 Thilo
    11. Juli 2012

    Weil der Vortrag auf Englisch war und ich das Zitat aus der dort angegebenen Quelle heruberkopiert habe.

  3. #3 a+
    11. Juli 2012

    Ui, Thilo: für deine Verhältnisse ist dieser Beitrag ja enorm lang und wortreich! Übrigens auch für Nicht-Mathematiker und Nicht-Meterologen ein Vergnügen, den Lorenz-Attraktor mal wieder ins Gedächtnis gerufen zu bekommen.

  4. #4 BreitSide
    12. Juli 2012

    xxx

  5. #5 rolak
    13. Juli 2012

    Wenn ich mich recht entsinne, war ich in den 70ern einige Zeit lang der Meinung, der Effekt hieße so wegen der eindeutigen Form des Lorenzattraktors. Ob hinter der Wahl der möglichen Ursache texanischer Tornados diese Ähnlichkeit stand? ‘Fliegenfurz’ würde ja thematisch auch passen…

    was oft als Schmetterlingseffekt bezeichnet wird, also die Tatsache, daß geringfügige Änderungen der Ausgangsbedingungen große Folgen haben können

    ööhmm, wäre das nicht der Schneeballeffekt? Es geht doch um unvorhersagbare und durchaus auch vollständige Änderungen des Gesamtsystemes – also nicht ‘wenn oben am Berg eine Kiefernadel in den Schnee plumpst, kann kurz danach im Tal eine Lawine ankommen’ sondern zB ‘wenn oben am Berg eine Kiefernadel in den Schnee plumpst, kann kurz danach im Tal eine Dürre ausbrechen’.

  6. #6 Thilo
    13. Juli 2012

    Das, was oft als Schmetterlingseffekt bezeichnet wird, also die Tatsache, daß geringfügige Änderungen der Ausgangsbedingungen große Folgen haben können, ist eigentlich eine Selbstverständlichkeit, die sich zum Beispiel auch bei Maxwell erwähnt findet.

    Wie gesagt, oft wird die Schmetterlingseffektmetapher (fälschlich) so verwendet, daß kleine Ursachen große Wirkungen haben können – so steht es sogar in der Wikipedia. Daß kleine Ursachen große Wirkungen haben können ist natürlich eine Banalität, für die man keine Mathematik braucht und bei Lorenz ging es wie gesagt tatsächlich einerseits um die Unvorhersagbarkeit der langfristigen Entwicklung und andererseits aber eben doch um eine Vorhersehbarkeit in dem Sinne, daß man langfristig immer in der Nähe des Attraktors bleiben wird.

    Wenn ich mich recht entsinne, war ich in den 70ern einige Zeit lang der Meinung, der Effekt hieße so wegen der eindeutigen Form des Lorenzattraktors.

    Es gibt jedenfalls eine Reihe von YouTube-Videos, die die Form des Lorenz-Attraktors mit einem Schmetterling in Zusammenhang bringen.

  7. #7 rolak
    13. Juli 2012

    /Schneeball/ Ah, wiki, hätte ich auch nachschauen können – dann hätte sich die Frage hier erledigt…
    /Form und Metapher/ Ich hielt es bisher eher für eine jugendliche Verwirrung meiner Mustererkennung – und wenn ausschließlich YTclips das aufgreifen, fühle ich mich in dieser Bewertung bestätigt 😉

  8. #8 MichiS
    14. Juli 2012

    @Thilo …..eigentlich gehört doch hier auch noch der RÖSSLER-Attraktor erwähnt ?

    http://de.wikipedia.org/wiki/Attraktor

    ..hast du schon mal was über den gebloggt ? …interessiert mich auch deshalb, weil ORR ja sonst wissenschaftlich schlecht weg kommt… =)=)

    und überhaupt TIA !!!

  9. #9 Thilo
    14. Juli 2012

    Na ja, ich schaetze, es gibt viele Moeglichkeiten, Lorenz urspruengliches Gleichungssystem
    x’=-10x+10y
    y’=28x-y-xz
    z’=-8z/3+xy
    zu modifizieren und dann aehnlich schoene Bilder zu bekommen. Ich weiss nicht, ob das mal jemand systematisch untersucht hat, welche Differentialgleichungen in 3 Variablen jeweils seltsame Attraktoren geben und mit welchen Gleichungen man die schoensten Bilder bekommt. Roesslers Gleichung ist jedenfalls
    x’=-y-z
    y’=x+0,2y
    z’=0,2+xz-5,7z.
    Aus philosophischer Sicht trifft natuerlich alles, was Ghys ueber den Lorenz-Attraktor gesagt hat, genauso auf den Roessler-Attraktor zu. (Ausser dass der nicht wie ein Schmetterling aussieht.)

  10. #10 FTH 74
    15. August 2012

    Friedrich Heß (Physiker)This is the most massage you ever heard please use an german-english or german-french translater perhaps google
    Ein anerkennungswürdiger Evolutionsforscher ebnet den Weg zu Gott
    Als Herr Svante Pääbo einmal von Herrn Stefan Klein im ZEITmagazin beim Thema Genetik (Titel: “Alle Menschen sind miteinander verwandt”) gefragt wurde, warum die Frage, woher wir kommen, die Fantasie der Menschen dermaßen anrege, antwortete dieser, weil wir wissen wollen, wer wir eigentlich sind und weil wir hoffen, die Geschichte werde es uns verraten. Zum Schluss wurde er dann gefragt, ob er verstünde, warum sich die Menschen nach einfacheren religiösen Erklärungen sehnen und antwortete:
    (Svante Pääbo ZEITmagazin): Ich verstehe, dass Menschen, die vor existenziellen Herausforderungen stehen, religiöse Bedürfnisse haben. Die habe ich auch. Manchmal stelle ich mir vor, dass ich mit mir nahestehenden Verstorbenen geistig Kontakt aufnehmen kann. Das hilft mir dann, die Trennung zu verarbeiten. Trotzdem finde ich es naiv, an einen persönlichen Schöpfer zu glauben.
    Daraufhin wurde er gefragt, ob das nicht inkonsequent sei und er antwortete:
    (Svante Pääbo ZEITmagazin): Wer ist schon immer konsequent? Ich hatte einmal einen Doktoranden, der war fundamentalistischer Muslim. Er litt, denn natürlich glaubte er an die Schöpfung. Doch wir konnten uns einigen. Denn können wir kategorisch ausschließen, dass es einen allmächtigen und unergründlichen Gott gibt? Vielleicht ist die molekulare Evolution sein Plan, den wir nur nicht durchschauen.
    Ein zweifelsohne brillanter diplomatischer Forscher – der den Mut zur Offenheit hat. Denn diese Inkonsequenz, auf der einen Seite wie jeder Mensch, schwere Schicksalsschläge verarbeiten und am Ende den größten Verlust einsehen müsste, wohl wissend aber auf der anderen Seite die kritische Rationalität als Wissenschaftler nicht aus den Augen zu verlieren zu dürfen, führt in der gesamten Forschung zu einem Bruch der Objektivität und dies wird in ganz natürlicher Weise übersehen.
    Was ist ein persönlicher Gott? Ist es ein deistischer Gott, der die Dominoreihe anschubst, und wer schubst dann seine Existenz auf die gleiche Weise an und in diesem Moment meinen Gedanken, ganz gleich wie abstrakt und allgemein sich dieser über das Ganze vorentwickelt, gefangen in der Detektion einer Kernspinresonanz? Genau hier beginnt die Naivität und Inkonsequenz der naturwissenschaftlichen Forschung letztendlich durch uns alle, da wir glauben, unsere Gedanken seinen prinzipiell materiell nicht existent, nicht detektierbar, unterschlagen diese, wie von Geisterhand und eben „Totengeistern“. Ist diese Kette aller „fallenden Dominosteine“, seiner ganzen Verzweigungen, dann eine Menge, genauer die Menge aller möglichen Mengen und existiert diese? Und mit welcher bildet diese eine Identität mit der Russelschen Antinomie oder Ihrem exakten Gegenteil? Wir können also behaupten, dass wir selbst dort drinnen nicht enthalten seien, dann müssten wir selbst die Obermenge der Russelschen Antinomie verkörpern, und könnten damit unsere Klasse nicht mehr ad hoc verbieten, um ein Widerspruch zu bilden, also eben wie dann zu erwarten ist nicht existieren, durch solche unmögliche Gedanken. Daraus folgt dann das Gegenteil, und diese Menge, all der Mengen, die sich selbst enthalten, bildet mit der Menge aller Mengen eine Identität (Johannes 6 NT), die Russelsche Menge schließt sich also auch dadurch ganz aus. Enthält sich die Menge aller Mengen, könnten wir uns fragen und schon würde in unsere Endlichkeit die Allmenge aufs Neue hineinlegt, unendlich oft. Wir liegen aber eben in dieser und der Grund, warum diese über alle Zeiten sich selbst enthält, liegt daran, dass der bereits dargelegte Widerspruchsbeweis, über alle Zeiten, schon längst über alle Zeiten gesetzt ist, auch das Nachvollziehen in der Gegenwart, man denke auch dabei etwa an die vollständige Induktion. Dass auch Allgemeingültigkeit, man denke an die physikalischen Gesetze, immer gilt, liegt daran, weil das determiniert ist, also so beschlossen ist. Der lebensunmögliche ewigliche Zustand des Big Chill müsste also schon längst aus statistischen Gründen eingetroffen sein und das ist nicht der Fall, weil der Zufall unendlich, also in einem unendlichen Willen, in dem wir gesetzt sind, ausgeschlossen ist. Sonst wäre also dieser Wahn, diese Staubwolke des Big Chill, gleich einer allumfassenden Nuklearexplosion aus den besagten statistischen Gründen längst eingetreten. Aktuell und in einem endlichen Rahmen kann angenommen werden, dass die Entropie zunimmt, aber auf sehr lange Sicht, endet diese nicht in der Divergenz, im Kältetod, sondern die unendliche Real-Existenz gegen den Zufall, wie ich es ausdrücken würde, endet, weil partikuläre Systeme, eben nie abgeschlossen sein können, in ewiger Existenz einer Persönlichkeit, die nun verstanden werden kann, in der wir gesetzt wandeln. Sie werden also, wenn auch in für Sie nicht vorstellbaren Zeit- oder Entwicklungsabschnitten zurückgerufen, weil alles andere ausgeschlossen ist. Weitere Informationen stelle ich unter https://sites.google.com/site/jesusistelija/ dort dann unter Konsequenzen einer bestimmten Welt, Nathanprogramm, Jesus ein wachsendes Vermächtnis, bereit. Bitte die Adresse genau in Ihre Adressleiste kopieren. Gott kann also nur in Bestimmung bewiesen werden, weil er sonst ganz durch das Erklärungswerk unserer Unvollkommenheit, der Immanenz relativiert würde. Ich schicke das noch nicht einmal als Leserbrief, sondern nur als Kommentar, als Anregung, still und leise, den Wert dieser Nachricht einzuschätzen, stelle ich dem Leser allerdings anheim. Die Widerlegung des Higgsmechanismus (genauer Goldstonetheorems), war mir gerade gut genug auf einer Schülerseite zu präsentieren, weil ich der Schüler aller Schüler bin, ich lerne von Ihnen. Wenn erfahren werden wird, (längst wird das in den größten amerikanischen Blogs diskutiert) wie diese Erkenntnis ergründet wurde, dann werden Sie verstehen, dass diese Welt eine sehr weitreichende Amnestie braucht, weitsichtige kluge Leser, einfühlsame Journalisten, eben wie bei der Süddeutschen http://www.sueddeutsche.de/wissen/evolution-von-homo-erectus-und-co-grosse-artenvielfalt-des-menschen-in-der-steinzeit-1.1436686?uq=1345020890#kommentare, die den Leser nicht in leichtfertige Empörungen verleiten, sondern eine tiefe Einsicht in unsere aller Natur eröffnen!

  11. #11 Thilo
    30. Juni 2014

    Ghys’ Vortrag gibt es inzwischen auch als pdf: http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/butterflyeffect.pdf