Minimalflächen.

In den letzten, beiden Wochen hatten wir uns für Einbettungen von Flächen (in den R3) interessiert, die eine vorgegebene Metrik und damit insbesondere die Krümmung der Fläche erhalten sollen. (Vor 2 Wochen ging es z.B. um isometrische Einbettungen des flachen Torus.)

i-5be4eb37b5be27a00b8b7c551162f4f4-curvaturePRINC.jpg

Die Krümmung einer im R3 eingebetteten Fläche konnte man berechnen als Produkt der beiden Hauptkrümmungen: Gauß’ Theorema Egregium besagt, dass dieses Produkt nur von der Metrik abhängt und letztlich dass es der heute üblichen Definition von (Schnitt)krümmung Riemannscher Mannigfaltigkeiten entspricht.

Die sogenannte mittlere Krümmung, die Summe der beiden Hauptkrümmungen hängt hingegen nicht nur von der Metrik, sondern auch von der Einbettung der Fläche ab. Und sie hat eine geometrische Interpretation:
wenn man sich im R3 zu einer vorgegebenen Kurve alle diejenigen Flächen anschaut, deren Rand die gegebene Kurve ist, und unter diesen Flächen nach derjenigen mit dem minimalen Flächeninhalt sucht, dann muss für diese minimalen Flächen die mittlere Krümmung konstant 0 sein. (Es reicht sogar schon, dass die Fläche minimalen Flächeninhalt nur unter denjenigen Fl&aumlchen hat, die sich aus der Fläche durch Deformation mit festgehaltener Randkurve ergeben.)

Das motiviert die Definition: Flächen, deren mittlere Krümmung konstant 0 ist, werden als Minimalflächen bezeichnet.
(Dabei erlaubt man auch Flächen mit Selbstdurchdringungen. Es ist oft viel schwieriger, eingebettete Minimalflächen, d.h. Minimalflächen ohne Selbstdurchdringungen zu konstruieren.
Minimalfläche im Sinne dieser Definition sind übrigens nicht unbedingt flächen-minimierend, umgekehrt sind flächen-minimierende Flächen aber immer Minimalflächen im Sinne dieser Definition.)

Das Problem zu einer vorgegebenen Randkurve Minimalflächen zu finden, heißt Plateau-Problem, es war 1930 gleichzeitig von Rado (für rektifizierbare Kurven) und Douglas (mit anderen Methoden für beliebige Kurven und auch für 2 Randkurven) gelöst worden, Douglas gewann damit 1936 die Fieldsmedaille. Courant verallgemeinerte den Beweis dann 1937 auf den Fall von beliebig vielen Randkurven.

Veranschaulicht wird das gerne mit Seifenblasen (Bild aus der Wikipedia):
i-b4b70e689fca3f6d96bac168eeb95de6-POVRIN~1.JPG

Ein schwierigeres Forschungsgebiet ist die Konstruktion von Minimalflächen ohne Rand im R3. Eine “Minimalflächen-Museum” mit vielen Bildern findet man bei Matthias Weber.

Einfachste Beispiele für Minimalflächen sind natürlich Ebenen:
i-b7c2accc904bd51a0a031929025e50bd-ebenen-parallel.jpg

Das historisch erste ‘nichttriviale’ Beispiel einer Minimalfläche ist die 1744 von Euler gefundene Katenoide:
i-e063f41c81b04855cf110a9b78c68d4b-helicoidweber.bmp
http://www.indiana.edu/~minimal/index.html

Zur Klassifikation von Minimalflächen im R3 hat es in den letzteren Jahrzehnten viele Fortschritte gegeben (insbesondere hat man bewiesen, dass Ebenen und Helikoiden die einzigen einfach zusammenhängenden eingebetteten Minimalflächen sind), dazu nächste Woche.


Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202, Teil 203, Teil 204, Teil 205, Teil 206, Teil 207, Teil 208, Teil 209, Teil 210, Teil 211, Teil 212, Teil 213, Teil 214, Teil 215, Teil 216, Teil 217, Teil 218, Teil 219, Teil 220, Teil 221, Teil 222, Teil 223, Teil 224, Teil 225, Teil 226, Teil 227, Teil 228, Teil 229, Teil 230, Teil 231

Kommentare (7)

  1. #1 Frank Wappler
    10. August 2012

    퀘 스 너 틸 로 schrieb (10.08.12 · 11:15 Uhr):
    > (Vor 2 Wochen ging es z.B. um isometrische Einbettungen des flachen Torus.)

    Nochmals gefragt (wie schon 07.08.12 · 14:02 Uhr):
    Gibt es (mindestens) eine “nicht-isometrische Einbettung des flachen Torus” (in irgendeine geeignete Mannigfaltigkeit) ?

    Oder ist die Spezifikation der Einbettung einer bestimmten Fläche als “isometrische
    Einbettung
    ” redundant, zumindest im Fall des “flachen Torus” ?

  2. #2 Thilo
    10. August 2012

    Es ging um isometrische Einbettungen in den euklidischen Raum R^3.

    In der Topologie gibt es auch den Begriff (nicht-isometrische) Einbettung, d.h. man bettet den Torus irgendwie in den R^3 ein, ohne sich um eine Metrik zu kuemmern. Wenn ich von einer isometrischen Einbettung rede meine ich aber gerade, dass die Riemannsche Metrik (und damit auch die innerhalb der Flaeche gemessenen Abstaende) erhalten bleibt.

  3. #3 Thilo
    10. August 2012

    Ich hatte gerade auf den Wikipedia-Artikel uber Einbettungen verlinken wollen, fand den aber in Punkto Differentialgeometrie etwas verwirrend. Ich hab jetzt mal versucht, das zu begradigen: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Einbettung_(Mathematik)&stable=0&shownotice=1

  4. #4 Frank Wappler
    10. August 2012

    Thilo schrieb (10.08.12 · 16:03 Uhr):
    > In der Topologie gibt es auch den Begriff (nicht-isometrische) Einbettung, d.h. man bettet den Torus irgendwie in den R^3 ein, ohne sich um eine Metrik zu kuemmern.

    Sicher; z.B. die “(nicht-isometrische) Einbettung eines Torus als Tasse“.

    Aber (zurück zu meiner Frage, in Bezug auf http://www.scienceblogs.de/mathlog/2012/08/topologie-von-flchen-ccxxxi.php und dortige Kommentare):

    Gibt es denn den Begriff “nicht-isometrische Einbettung einer bestimmten Fläche” (d.h. “als genau die selbe Fläche”)?

    Gäbe es denn z.B. eine “nicht-isometrische Einbettung eines Torus” (selbstverständlich “als dieser Torus”)?

    > Wenn ich von einer isometrischen Einbettung rede […]

    … dann ist dagegen offenbar von einer Abstraktion des obigen Begriffes “der Einbettung einer bestimmten Fläche” die Rede; insbesondere auch ohne genauere Betrachtung und Klassifizierung des Urbildes als “Fläche“.

    p.s.
    Thilo schrieb (10.08.12 · 16:11 Uhr):
    > […] Ich hab jetzt mal versucht, das zu begradigen: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Einbettung_(Mathematik)&stable=0&shownotice=1

    Ich stelle fest, dass dort (seit kurzem) (mindestens) ein Symbol benutzt wurde, dass im Artikel-Text nicht erklärt geschweige denn verwikilinkt ist; nämlich das Symbol “D“.
    Falls und wenn die Ausführung der Verwikilinkung des Inhalts von Wikipedia-Artikeln endlich zu den Wikipedia-Nutzer-Optionen gehört, dann wird die Option, u.a. dieses Symbol unverwikilinkt zu lassen, sicherlich nicht meine Wahl sein.

  5. #5 StefanL
    15. August 2012

    D = http://de.wikipedia.org/wiki/Derivation_%28Mathematik%29 … und so differenzierbare Wege der glatten Einbettung ?

  6. #6 Michael Crabtree Nike Jersey
    http://www.official49ersteamshop.com/+michael+crabtree+jersey+c+9.html
    1. Oktober 2012

    Superior article. I commitment certainly due this article with my friends. Thanks payment the info.

  7. #7 This Web-site
    9. September 2016

    You really make it seem really easy together with your presentation however I find this topic to be really something that I think I would never understand. It sort of feels too complex and extremely extensive for me. I’m taking a look forward to your subsequent submit, I will try to get the grasp of it!|