Letzte Woche hatten wir beschrieben, welche im R3 eingebetteten Flächen minimale Energie haben. Eine Frage, die sich da natürlich stellt: kann man eigentlich jede topologische Fläche in den R3 einbetten?

Die geschlossenen, orientierbaren Flächen lassen sich ja offensichtlich in den R3 einbetten: die unten abgebildeten

ebenso wie alle Flächen, die man durch Ankleben weiterer Henkel erhält – und nach der Klassifikation der Flächen (TvF 178) gibt es nur diese geschlossenen, orientierbaren Flächen, also lassen sich alle geschlossenen, orientierbaren Flächen in den R3 einbetten.

Was ist aber mit den nichtorientierbaren Flächen, zum Beispiel der projektiven Ebene (TvF 155) oder der Kleinschen Flasche (Bild unten)? Die lassen sich jedenfalls nicht auf offensichtliche Weise in den R3 einbetten: das Bild unten ist keine Einbettung, weil es ja eine Selbstdurchdringung gibt, wo sich zwei Teile der Bild-Flasche schneiden.

Tatsächlich kann man beweisen, dass sich die nichtorientierbaren geschlossenen Flächen nicht in den R3 einbetten lassen. (Sie lassen sich aber in den R3 immersieren, wie wir nächste Woche an einigen Beispielen zeigen werden.)
Der Beweis der Nicht-Einbettbarkeit, den wir im folgenden skizzieren, besteht aus zwei Teilschritten:
jede eingebettete Fläche zerlegt den R3 in zwei Zusammenhangskomponenten (hat also zwei Seiten), und
jede zweiseitige Fläche ist orientierbar.

Alles hat 2 Seiten …

In TvF 171 hatten wir mit Hilfe von Homologietheorie bewiesen, dass jede Kurve die Ebene R2 in zwei Zusammenhangskomponenten zerlegt. Wenn man sich den Beweis anschaut, stellt man fest, dass genau derselbe Beweis auch funktioniert um zu beweisen, dass jede geschlossene Fläche K den Raum in zwei Zusammenhangskomponenten zerlegt. Die einzige Feinheit, auf die man hier im Beweis achten muss: man muß Homologie mit Z2-Koeffizienten verwenden, um sicherzugehen, dass auch im Fall nichtorientierbarer Flächen gilt: H^2(K;Z_2)=Z_2. Der Beweis geht dann wie folgt: nach Lefschetz-Dualität hat man H_1(\mathbb R^3, \mathbb R^3-K; Z_2)=H^2(K;Z_2)=Z_2, wegen H_1(\mathbb R^3;Z_2)=0 und H_1(\mathbb R^3;Z_2)=Z_2 folgt dann aus der langen exakten Homologiesequenz H_0(\mathbb R^3-K;Z_2)=Z_2\oplus Z_2, also hat \mathbb R^3-K zwei Zusammenhangskomponenten.


Man sollte vielleicht erwähnen, dass dieses Ergebnis durchaus nicht offensichtlich ist. Während zum Beispiel alle Zerlegungen der Ebene durch eine Kurve topologisch äquivalent zur Zerlegung durch den Einheitskreis sind (das ist der Satz von Schoenflies, über den wir in TvF 177 geschrieben hatten) gibt es durchaus topologisch unterschiedliche Zerlegungen des R3 durch eine Sphäre. Bekanntes Beispiel ist Alexanders gehörnte Sphäre im Bild oben (der New Yorker hatte auch einmal ein Bild von Alexanders gehörnter Giraffe), oder natürlich auch die aus der Knotentheorie bekannten verknotete Volltori, deren Komplement nie (außer wenn der Torus unverknotet ist) homöomorph zum Komplement des Clifford-Torus ist.

… nur das Möbiusband nicht

Das Möbiusband ist natürlich eine in den R3 eingebettete Fläche und es ist nicht orientierbar, aber es ist eben keine geschlossene Fläche, sondern eine Fläche mit Rand (insbesondere ist H^2(K;Z_2)=0) weshalb sich der obige Beweis nicht anwenden läßt.

In TvF 11 hatten wir mal darüber geschrieben, dass man auf dem Möbiusband nicht sinnvoll “rechts” und “links” definieren kann (oder Drehungen mit und gegen den Uhrzeigersinn) definieren kann.

Mathematisch exakt formuliert man Orientierbarkeit wie folgt:
in einem Vektorraum gibt es zwei Äquivalenzklassen von Basen, wobei zwei Basen des Vektorraums zur selben Äquivalenzklasse gehören sollen, wenn ihr Basiswechsel positive Determinante hat. Man kann dann (willkürlich) festlegen, dass man die Basen der einen Äquivalenzklasse positiv und diejenigen der anderen Äquivalenzklasse negativ nennt.
Eine Orientierung der Fläche ist nun eine konsistente (d.h. stetig vom Basispunkt abhängende) Festlegung von positiv und negativ für die Basen jeder einzelnen Tangentialebene.

Auf dem Möbiusband gibt es keine Möglichkeit, auf konsistente Weise positiv und negativ (oder links und rechts) festzulegen. Wenn eine Ameise einmal um das Möbusband heumläuft, dann haben sich aus ihrer Sicht links und rechts vertauscht:

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Kommentare (21)

  1. #1 rolak
    29. September 2012

    Gibts diesen Tassen-Torus auch in freundlich bedruckt für den gepflegten Morgenkaffee?

  2. #2 michael
    29. September 2012
  3. #3 rolak
    29. September 2012

    Nee, mehr so dieses wabernde Ding..Zwar extrem hypothetisch, doch höchst reizvoll für die morgendliche “träum’ ich oder wach’ ich?”-Phase. Als Aufdruck vorschlagen würde ich aus historischen Gründen: Im Tassen-Zustand ‘drink me’ und im Donut-Zustand ‘eat me’.

  4. #4 Thilo
    29. September 2012

    Hat schon mal wer http://www.zazzle.de/dehnbare+tassen gekauft?

  5. #5 rolak
    29. September 2012

    Zumindest meiner einer nicht, Thilo – und nach Rückführung in die Originalsprache will mir scheinen, als sei nur die Größe des Bildes variabel, ein in seiner Lokalität auch vom männlichen Körper her bekanntes Phänomen.

    Das einzige von mir jemals erstandene Gefäß variabler Größe ist vor einigen Jahrzehnten so etwas gewesen. Und bevor der Verdacht auf Werbung kommt: Das Teil (nicht exakt das verlinkte, ein Analogon) war unpraktisch,unglaublich empfindlich und nach zehn Tagen entsorgt.
    btw: So etwas wie PET-Flaschen gab es damals noch nicht.

  6. #6 michael
    30. September 2012

    Essbare KaffeeTassen gibt es anscheinend.z.B hier. Um einen Donut zu erhalten, muss man den Boden zuerst essen.

  7. #7 rolak
    30. September 2012

    Aber auch nur, weil der Henkel kein Loch hat. ;−) Ansonsten eine schicke Idee, ist mir leider noch nicht untergekommen.

  8. #8 StefanL
    30. September 2012

    Ich stieß gerade auf http://www.kleinbottle.com/

  9. #9 StefanL
    30. September 2012

    ohh – hatte michael ja oben mehr oder weniger schon – aber die KleinschenFlaschen-Mützen mit Möbius-Schal …

  10. #10 Frank Wappler
    http://comment.preview.testing.testing--one.typo--two.topos...
    1. Oktober 2012

    Thilo schrieb (September 28, 2012):
    > http://scienceblogs.de/mathlog/files/2012/06/12264-Moebiusband_wikipedia.png

    Nur: ein Möbiusband ist das (sicherlich) nicht.

  11. #11 Thilo
    1. Oktober 2012

    Sorry, ich habe das Bild ausgetauscht.

  12. #12 Maxim
    4. Oktober 2012

    Hallo Thilo.
    Ich hätte eine Frage, die sich nicht unbedingt auf den Artikel bezieht, aber auch mit der Topologie zu tun hat.
    Angenommen ich umspanne ein paar Gegenstände z.B. Kugeln komplett mit einem Gummituch. Die Elastizität des Gummis kann variiert werden, so dass sich die Hülle immer mehr an die Objekt anschmiegt und mehr von dem eingeschlossenen Details zeigt. Kann man irgendwie die Oberfläche von so einer Anordnung berechnen?

  13. #13 Thilo
    4. Oktober 2012

    Hmm, in Spezialfällen wie z.B. einigen im Raum liegenden runden Kugeln wird man das sicher explizit lösen können (habe ich jetzt aber nicht gemacht), bei völlig beliebigen “unrunden” Flächen mit vielen Beulen und Dellen halte ich das jetzt aber fur ein Problem, das man wohl allenfalls numerisch mit Computerhilfe angehen kann. Ich weiss nicht, ob das schon mal irgendwo bearbeitet wurde.

  14. #14 Maxim
    5. Oktober 2012

    Also mit runden Kugeln würde mir schon reichen.
    Hast du mir vielleicht ein paar Begriffe sagen, nach denen ich überhaupt suchen muss? Also falls du sie kennst.

  15. #15 Thilo
    5. Oktober 2012

    Okay, nehmen wir mal zwei unterschiedlich grosse Kugeln vom Radius r und R. Wir koennen das Koordinatensystem so legen, dass die Mittelpunkte auf der x-Achse symmetrisch zum Nullpunkt sind, d.h. die Mittelpunkte sind (c,0,0) und (-c,0,0). (Natuerlich muss c groesser sein als r und R.)

    Dann schauen wir uns Flaechen an, die sich fuer x\in[-c-r,a] an die erste Sphaere anschmiegen, fuer x\in[b.c+r] an di zweite und dazwischen einen Kreiszylinder bilden, und versuchen diejenigen a,b zu finden, fuer die der Flaecheninhalt dieser Flaeche minimal wird. (Erfahrungsgemaess haben optimale Loesungen oft hohe Symmetrie, deshalb gehe ich jetzt einfach mal davon aus, dass das Optimum fuer eine solche Flaeche entsteht, die rotationssymmetrisch bzgl. der x-Achse ist. Das waere natuerlich noch zu beweisen.)

    In Abhaengigkeit von a,b kann man dann den Flaecheninhalt berechnen. Der Flaecheninhalt des sich an die erste Sphaere anschmiegenden Stueckes berechnet man als 2\pi(\int_{c-r}^a\sqrt{r^2-(x+c)^2}dx, den des Kreiszylinders als \pi(b-a)(\sqrt{R^2-(b-c)^2}-\sqrt{r^2-(a-c)^2}) und den des sich an die zweite Sphaere anschmiegenden Stueckes als 2\pi\int_b^{c+R}\sqrt{R^2-(x-c)^2}dx.

    Die Integrale kann man berechnen, z.B. ist, wenn ich mich hoffentlich nicht verrechnet habe, die Stammfunktion von \sqrt{r^2-(x+c)^2}dx gleich \frac{1}{2}(x+c)\sqrt{1-(x+c)^2}-\frac{r^2}{2}arccos(\frac{x+c}{r}).

    Man bekommt also eine von a und b abhaengende Formel und kann dann mit Differentialrechnung zu berechnen versuchen, fuer welche a ,b das Minimum dieser Funktion angenommen wird.

    Sieht aber nach ziemlich viel Arbeit aus und das war nur der einfachste Fall. Wahrscheinlich macht man das doch besser mit einem geeigneten numerischen Verfahren.

  16. #16 Jimmy
    Dresden
    5. Oktober 2012

    Moment…. ein paar Objekte, ein Gummituch: das klingt für mich einfach nach der konvexen Hülle der Objekte, oder?

  17. #17 Thilo
    5. Oktober 2012

    Das ist halt die Frage, ob die konvexe Hülle minimale Oberfläche hat oder ob es nicht doch Teilmengen mit geringerer Oberfläche gibt. Das Gummituch könnte sich ja auch fast ganz um die Sphären wickeln und dann einen entsprechend kleineren Zwischenraum überbrücken.

  18. #18 Jimmy
    Dresden
    6. Oktober 2012

    Das stimmt. Die konvexe Hülle ist ja nur die kleinste konvexe Menge, die eine gegebene Menge enthält. Eine nicht konvexe Menge, also eine Oberfläche, die beispielsweise diese zwei Kugeln umschließt und durch einen unendlich dünnen Steg verbindet, hätte sicher eine kleinere Oberfläche.

    Meine Vorstellung hängt aber an diesem Gummituch: wenn ich um eine Menge von Objekten (im Beispiel eben zwei disjunkte Sphären) ein Gummituch lege und straffziehe, dann müsste doch sowas wie die konvexe Hülle dabei entstehen, oder nicht?

  19. #19 m
    7. Oktober 2012

    Wenn der Abstand zwischen den Sphaeren grosz ist (im vergleich zum Radius) duerfte sich das Gummituch zwischen den Sphaeren verjuengen: zwei mal volle oberflaeche der Kugeln plus ein Zylinder mit vernachlaessigbarem Durchmesser ist dann weniger flaeche als zwei halbe Kugeln und der Zylinder mit vollem Radius. Minimale Oberflaeche hat vermutlich ein tropfenfoermiges Gebilde — und was ein reales Gummituch macht muss wohl ein Experiment zeigen 🙂

  20. #20 Maxim
    7. Oktober 2012

    @Thilo
    Vielen Dank schon mal. Ja, das ein sehr einfacher Fall. Wahrscheinlich gehen komplexere Fälle analytisch gar nicht. Meine Anforderung wäre eigentlich ein Klumpen aus Murmeln, der komplett von einer zähen Flüssigkeit bedeckt ist. Beim trocknen zieht sich diese Flüssigkeit zusammen und die entstandene Netzhaut dringt etwas in die Zwischenräume ein.
    Vielleicht kann man da etwas mit Kugelflächenfunktionen erreichen?!

    @Jimmy
    Nein, die Hülle muss nicht unbedingt konvex sein. Ich meine es so, wie Thillo es beschrieben hat: die zwei Kugeln können fast vollständig umschlossen und haben nur eine enge Verbindung miteinander.
    z.B. so http://www.chemgapedia.de/vsengine/media/vsc/de/ch/15/thc/bindung/bilder/lih_pot.png

    Bildquelle: http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ch/15/thc/bindung/tc022_h2plus.vlu/Page/vsc/de/ch/15/thc/bindung/lih.vscml.html

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