Letzte Woche hatten wir gesehen, dass die nicht-orientierbaren Flächen wie die projektive Ebene oder die Kleinsche Flasche nicht in den 3-dimensionalen Raum eingebettet werden können, jedenfalls nicht ohne Selbstschnitte.

Die nächste Frage ist dann, ob es wenigstens Abbildungen mit möglichst wenigen Selbstschnitten gibt.

Der Fachausdruck für die – nach Einbettungen – nächst-allgemeinere Klasse von Abbildungen ist Immersion – nicht im Sinne der virtuellen Realität, sondern im Sinne der Mathematik: eine Immersion ist eine Abbildung, deren Differential in jedem Punkt injektiv ist.

Zum Beispiel ist jede reguläre Kurve eine Immersion, weil ja nach Definition das Differential nie 0 ist.
< Anschaulich ist eine Immersion eine Abbildung, die lokal eine Einbettung ist, aber global (wie im Bild oben) Selbstschnitte haben kann. Nebenbei bemerkt ist eine injektive Immersion einer kompakten Kurve oder Fläche immer eine Einbettung, für nichtkompakte Kurven oder Flächen gilt das aber nicht, wie das Bild unten aus der Wikipedia zeigt:

(Die Pfeile deuten die Enden des offenen Intervalls an, die Abbildung ist eine injektive Immersion, aber keine Einbettung.)

Die Bilder oben zeigten Immersionen von Kurven in die Ebene, interessanter sind aber natürlich Immersionen von Flächen in den 3-dimensionalen Raum.

Die können Selbstschnitte haben, wo zwei Teile der Fläche sich transversal in einer Kurve schneiden und es kann sogar Tripelpunkte geben, wo 3 Teile der Fläche sich in einem Punkt schneiden.

Lokal sieht das aus wie der Schnittpunkt der 3 Koordinatenebenen:

Ein Beispiel einer immersierten Fläche mit einem solchen Tripelpunkt ist die Boysche Fläche (dazu nächste Woche):

Banchoff bewies 1974, dass für eine Immersion einer geschlossenen Fläche in den R3 die Anzahl der Tripelpunkte modulo 2 mit der Euler-Charakteristik übereinstimmt. D.h. für eine orientierbare Fläche ist die Anzahl der Tripelpunkte stets gerade, für eine nicht-orientierbare stets ungerade. (Insbesondere kann es keine Immersionen nicht-orientierbarer Flächen ohne Tripelpunkte geben. Das liefert einen anderen, wenn auch komplizierteren Beweis für die letzte Woche gezeigte Unmöglichkeit der Einbettung nichtorientierbarer Flächen in den R3. Man kann Banchoff’s Theorem auch so formulieren: die Anzahl der Tripelpunkte modulo 2 ist die 1-te Stiefel-Whitney-Klasse.)

Tatsächlich bewies Banchoff, dass man eine beliebige Immersion einer Fläche in den R3 Schritt für Schritt so abändern kann, dass man am Ende eine Immersion mit keinem (im orientierbaren Fall) oder nur einem (im nicht-orientierbaren Fall) Tripelpunkt erhält. Insbesondere gibt es also für nicht-orientierbare Flächen wie die projektive Ebene eine Immersion mit nur einem Tripelpunkt. Solche Immersionen explizit zu beschreiben ist aber recht schwierig, dazu nächste Woche.

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