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Wie zeichnet man eine projektive Ebene mit möglichst wenigen Überschneidungen in unseren 3-dimensionalen Raum? Vor 2 Wochen hatten wir gesehen, dass sich nicht-orientierbare geschlossene Flächen wie die Kleinsche Flasche oder die projektive Ebene nicht in den R3 einbetten lassen.

Es gibt aber natürlich Abbildungen dieser Flächen mit Selbstschnitten. Ein oft gezeigtes Bild einer im R3 liegenden projektiven Ebene sind die Steiner-Flächen (gelegentlich auch als Römerflächen bezeichnet weil Jakob Steiner sich 1838 während eines Rom-Aufenthaltes mit ihnen beschäftigte):

Eine mögliche Parametrisierung ist:
x=r^2sin(t)cos(t), y=rsin(t)\sqrt{1-r^2}, z=rcos(t)\sqrt{1-r^2},
0\le r\le 1, 0\le t\le 2\pi ,
das Bild (Quelle: Adam Coffman) sieht dann so aus:

(Coffman hat Steiner-Flächen übrigens in 10 Typen klassifiziert.)

Die Steiner-Flächen sind freilich nicht nur keine Einbettung, sondern noch nicht einmal eine Immersion. Immersionen hatten wir letzte Woche diskutiert, das sind i.W. Abbildungen, die lokal wie Einbettungen aussehen, aber Selbstschnitte haben können. (Jedenfalls für kompakte Flächen, für Immersionen nichtkompakter Flächen ist es etwas komplizierter, die sind wie letzte Woche gesehen möglicherweise auch ohne Selbstschnitte keine Einbettung.)
Das Bild unten zeigt die Umgebung der Singularität der Steinerfläche: lokal sieht die Fläche aus wie eine Kreisscheibe, von der zwei Radien auf dieselbe von der Singularität ausgehende Halbgerade abgebildet werden.

Die Steiner-Fläche ist also keine Immersion und so stellt sich die Frage, ob es eine Immersion der projektiven Ebene in den R3 überhaupt gibt. Die Antwort auf diese Frage ist die Boy’sche Fläche.

Werner Boy beschäftigte sich in seiner 1903 in den “Mathematischen Annalen” veröffentlichten Dissertation mit einer Verallgemeinerung des Gauß-Bonnet-Theorems auf Flächen mit Singularitäten im R3 und in dem Zusammenhang dann auch überhaupt mit der möglichen Gestalt von einseitigen Flächen im R3. Sein Doktorvater David Hilbert hatte ihm 1901 aufgetragen zu beweisen, dass es keine Immersion der projektiven Ebene in den R3 gäbe und Boy konstruierte die später nach ihm benannte Fläche dann als Gegenbeispiel zu Hilberts Vermutung. (Das erinnert an die Geschichte von Max Dehn, der 1900 ebenfalls in seiner Dissertation ein Gegenbeispiel zu einem der im selben Jahr von Hilbert gestellten Jahrhundertprobleme fand, dem dritten über die Scherenkongruenz von Polyedern gleichen Volumens). Boy (der dann übrigens bereits September 1914 im Krieg gefallen ist, ein Nachruf im Geiste der Zeit findet sich in dieser Schulzeitung) gab allerdings keine explizite Parametrisierung seiner Fläche an, sondern zeichnete sie, in dem er die Schnitte mit verschiedenen Ebenen z=const. im R3 zeichnete.

Heute macht man sowas am Computer, wofür man freilich explizite Parametrisierungen statt nur handgezeichneten Bildern benötigt:

Boy hatte seine Immersion der projektiven Ebene in den R3 nur gezeichnet und keine Formeln angegeben. Die Frage nach einer expliziten Parametrisierung der Boy’schen Fläche blieb tatsächlich noch bis 1978 unbeantwortet, inzwischen kennt man aber sehr viele Parametrisierungen. Dazu nächste Woche.

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