Ein Grund, warum die im Video letzte Woche beschriebene Umstülpung der Sphäre eine Zeitlang mit Skepsis gesehen wurde ist die Unmöglichkeit einer analogen Verformung für Kurven in der Ebene.

Reguläre Kurven in der Ebene können (anders als die Sphären im 3-dimensionalen Raum) nicht immer durch eine reguläre Homotopie ineinander überführt werden. Das Hindernis für eine solche reguläre Homotopie ist die Totalkrümmung (“turning number”), die bei regulär homotopen Kurven gleich sein muss. Diese “turning number” wird mit Hilfe der Windungszahl definiert werden (nämlich als Windungszahl des Tangentialvektors), weshalb wir hier zunächst die Windungszahl einführen wollen.

Windungszahl und nicht durch 0 gehende Homotopien

Kurven in der Ebene sind natürlich zunächst einmal alle homotop zueinander: zwei Kurven γ₁, γ₂ lassen sich einfach linear verbinden durch F(x,t)=tγ₁(x)+(1-t)γ₂(x).

In der Funktionentheorie lernt man zwar die Windungszahl einer Kurve um einen Punkt z₀

(oder, falls man lieber reell rechnet, ersetze man den Integranden durch xr^-2dy-yr^-2dx, wobei r der Abstand vom Punkt z₀ ist), aber:

die ist nicht invariant unter Homotopien, sondern nur unter Homotopien, bei denen die Kurven zu keinem Zeitpunkt durch z₀ verlaufen. (Nebenbei: die Windungszahl hat nichts mit der in der Differentialgeometrie definierten Windung von Kurven zu tun, letztere ist bei ebenen Kurven immer 0.)

Zum Beispiel ist also die Windungszahl um 0 invariant unter Homotopien, die nicht durch 0 gehen (wenn auch eben nicht unter beliebigen Homotopien). Sie berechnet genau das, was man sich anschaulich unter einer Umlaufzahl vorstellen würde.

Diese Kurve hat Windungszahl 3 um den schwarzen Punkt:

und diese Kurve Windungszahl -2:

Allgemein zählt die Windungszahl die Umläufe im Uhrzeigersinn minus die Umläfe gegen den Uhrzeigersinn, wie es dieses Applet aus der Wikipedia veranschaulicht:

Die Windungszahl ist in diesem Fall 2.

(Man kann die Windungszahl auch mit Hilfe des in TvF 191 definierten Abbildungsgrades berechnen, indem man die Kurve radial auf den Einheitskreis um z₀ projiziert, die Bildkurve als Abbildung S¹–>S¹ betrachtet und deren Abbildungsgrad nimmt.)

Wir wollen – als Gegenanalogie zur letzte Woche gezeigten Umstülpung der Sphäre – zeigen, dass sich reguläre Kurven in der Ebene nicht umstülpen lassen. Um zunächst die Begriffe zu klären: eine reguläre ebene Kurve ist eine Immersion der S¹ in den R², die Ableitung ist an keiner Stelle 0. (Das ist in diesem speziellen Fall eine Umformulierung der Definition von “Immersion”.) Und man betrachtet dann auch nicht beliebige Homotopien, sondern reguläre Homotopien, wo man also zu jedem Zeitpunkt der Homotopie wieder eine Immersion (d.h. eine reguläre Kurve) hat.

Die Windungszahl um 0 ist keine Invariante von Homotopien und natürlich auch keine Invariante von regulären Homotopien: man kann sich ohne weiteres Beispiele regulärer Homotopien ausdenken, die durch den Nullpunkt gehen.

Aber: eine reguläre Homotopie hat ja die Eigenschaft, dass die Ableitungen zu keinem Zeitpunkt 0 sind. Wenn man sich statt der Kurven S¹–>R² ihre Ableitungen S¹–>R²-{(0,0)} anschaut, dann bleibt die Windungszahl dieser Ableitungen um (0,0) also während dieser Homotopie unverändert. Man kann diese Windungszahl also als Invariante regulärer Homotopien benutzen und wir werden nächste Woche zeigen, dass man mit dieser Invariante tatsächlich die Unmöglichkeit der Umstülpung von Kurven beweisen kann.

Windungszahl und Gauß

Die Windungszahl war übrigens von Gauss in seinem Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra benutzt worden, siehe TvF 194, was mir hier einen Anlaß gibt auf den Trailer der letzte Woche gestarteten Kehlmann-Verfilmung zu verlinken. (Vielleicht kommt die ja irgendwann auch in die koreanischen Kinos.)

In der ARD wurde der Film auch besprochen:

Daß auf Gauß die Integrale zurückgehen würden, die uns in der Schule das Leben schwer machen (wie der Film-Fuzzi behauptet) stimmt übrigens nicht, jedenfalls glaube ich kaum, dass der Gaußsche Integralsatz in der Schule vorkommt. Und daß Humboldt “ein wenig unpointiert” dargestellt wird, das könnte ja auch beabsichtigt sein…