Das Titelbild zeigt einen Teil einer seltsamen Immersion des Torus in den R3 (von Cassidy Curtis).

Andererseits hat man natürlich auch die übliche Einbettung des Torus in den R3

und man fragt sich, ob solche verschiedene Immersionen des Torus eigentlich topologisch dieselben sind – so wie (nur mal als Analogie) scheinbar kompliziert aussehende Knoten ja auch manchmal trivial sein können:

und so wie wir in den letzten Wochen diskutiert hatten, dass die Umstülpung einer Sphäre topologisch dasselbe ist wie die übliche Einbettung der Sphäre in den R3:

Wobei “topologisch dasselbe” für 2 Immersionen bedeuten sollte, dass es eine reguläre Homotopie gibt, d.h. eine Homotopie, die zu jedem Zeitpunkt eine Immersion ist.

Für Immersionen von Sphären hatten wir in den letzten beiden Wochen das Resultat aus Steven Smales Dissertation von 1957 diskutiert: zu jeder Immersion S2–>R3 hat man eine Abbildung S2–>V2(R3) in die Stiefel-Mannigfaltigkeit und diese Abbildung ist 0-homotop genau dann, wenn die ursprüngliche Immersion regulär homotop zur Standardeinbettung ist. (Und wegen π2V2(R3)=0 folgt daraus, dass jede Immersion, insbesondere die Umstülpung, regulär homotop zur Standard-Einbettung ist.)

Man kann dann natürlich fragen, ob sich dieser Zugang auf andere Flächen verallgemeinern läßt. Das wurde (für Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension) 1958 in der von Smale betreuten Dissertation von Morris Hirsch untersucht. (Betreuer Smale war bei Abschluß der Promotion knapp 28, was ziemlich rekordverdächtig klingt.)

Hirschs Ansatz benutzt eine Triangulierung der Fläche:

Hirsch beweist das zu Smales Resultat für Sphären analoge Resultat für Simplizes: zwei auf dem Rand übereinstimmende Immersionen eines Simplex in den R3 sind genau dann (bei festgehaltenen Rändern) regulär homotop, wenn die entsprechende Abbildung in die Stiefel-Mannigfaltigkeit (anschaulich die “Differenz” der Bilder der beiden jeweiligen Basisvektoren) nullhomotop bei festgehaltenem Rand ist.
Damit kann man dann per Induktion (über die Anzahl der Simplizes) den entsprechenden Satz für die gesamte Fläche beweisen: die regulären Homotopieklassen von Immersionen entsprechen den Homotopieklassen von Abbildungen der Fläche in die Stiefel-Mannigfaltigkeit. (Aus heutiger Sicht ist das ein Spezialfall des sogenannten h-Prinzips.)

Analog zur Sphäre, wo es letzte Woche darum ging, π2V2(R3) zu berechnen, muss man dann also auch für die anderen Flächen Sg mit g>0 Henkeln jeweils die Mengen der Homotopieklassen [Sg,V2(R3)] berechnen. Das geht recht einfach, wenn man ein wenig algebraische Topologie kennt: weil die Flächen mit g>0 Henkeln alle asphärisch sind (die höheren Homotopiegruppen sind 0) entsprechen die Homotopieklassen gerade den Homomorphismen der Fundamentalgruppen: [Sg,V2(R3)]=Hom(π1Sg1V2(R3).
Wir hatten letzte Woche gesehen, dass V2(R3) dasselbe ist wie SO(3) und letzteres von SU(2) zweifach überlagert wird, welches wiederum dasselbe ist wie S3. Also wird V2(R3) von der einfach zusammenhängenden S3 zweifach überlagert, woraus mit Überlagerungstheorie π1V2(R3)=Z/2Z folgt.
Damit ist dann also [Sg,V2(R3)]=Hom(π1Sg1V2(R3))=Hom(π1Sg,Z/2Z)=H1(Sg;Z/2Z)=(Z/2Z)2g. Es gibt also 4g verschiedene Immersionen einer Fläche in den R3.

Im Falle des Torus sind das also 4 verschiedene Immersionen, die natürlich schon ausführlich untersucht wurden. Eine Arbeit eines Computergrafikers (aus der das Bild unten stammt) mit vielen weiteren schönen Bildern ist hier.

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Kommentare (9)

  1. #1 Sim
    13. Dezember 2012

    Sorry wenn ich hier so reinplatz Thilo, aber ich hätte da mal eine Frage mit Bezug zur algebraischen Topologie und es hat den Anschein als ob du dich damit etwas auskennst. Wie kann ich aus einem Fundamentalpolynom die Fundamentalgruppe erschließen wenns etwas komplizierter wird?

    Bei einem Fundamentalpolynom wie a b a^-(1) b^(-1) brauch ich ja nur die Kanten zu verkleben und dann sieht man dass es sich um einen Torus handelt und dann ist einfach zu erkennen dass die Fundamentalgruppe isomorph zu ( Z² , + ) ist

    Aber sagen wir mal ich hab das Fundamentalpolynom a b c b^(-1) d d a^(-1) c

    Das kann ich mir nicht mehr so locker vorstellen ohne dass mein Hirn einen Knoten bekommt. Wie kann ich denn da vorgehen um da auf die Fundamentalgruppe zu kommen? Und wie geb ich die überhaupt an?

  2. #2 Thilo
    13. Dezember 2012

    Es ist (allgemein bei CW-Komplexen) so, dass alle Erzeuger der Fundamentalgruppe vom 1-Skelett und alle Relationen zwischen diesen Erzeugern vom 2-Skelett kommen. D.h. man schaut sich zunächst die Kanten an, diese geben (je nachdem, wie sie sich zu geschlossenen Wegen zusammenfügen) einen oder mehrere Erzeuger der Fundamentalgruppe, und das Fundamentalpolynom (als einzige 2-Zelle) gibt dann eine Relation zwischen diesen Erzeugern.

    Im Beispiel prüft man leicht nach, dass alle 8 Ecken demselben Punkt in der Fläche entsprechen, alle Kanten sind also geschlossene Wege, die Fundamentalgruppe hat die Erzeuger a,b,c,d mit der Relation abcBddAc.

    Eine Referenz ist S.50ff. in http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATch1.pdf

  3. #3 Sim
    14. Dezember 2012

    Vielen Dank schon mal für die Antwort.

    Nur was ich am Beispiel nicht verstehe ist: wieso alle 8 Ecken demselben Punkt entsprechen sollen? Ich nehme den Anfangspunkt von a und sehe, dass es sich gleichzeitig um den Endpunkt von c handelt und dann damit auch um den Endpunkt von b und dann noch den Anfangspunkt von c, aber dann kann ich keine weiteren Identifizierungen mehr feststellen. Dahingegen ist der Endpunkt von a = der Anfangspunkt von b = der Anfangs und Endpunkt von d.

    Oder seh ich da etwas falsch?

  4. #4 Thilo
    15. Dezember 2012

    Jetzt hab ichs mir 3mal aufgezeichnet und war mal ueberzeugt, das es nur eine Eckeist und dann wieder nicht. Bei dritten Mal seh ichs jetzt aber ein, dass es zwei Ecken sind. Die geschlossenen Wege sind dann ab, c und BddA (und nochmal c), man hat also drei Erzeuger, deren Produkt das Inverse des zweiten Erzeugers ist

    Andererseits handelt es sich bei der Fläche wegen Eulercharakteristik (korrigiert)2-4+1=-1 um die nichtorientierbare Fläche vom Geschlecht 2, d.h. Man nimmt eine Brezel, schneidet eine Kreisscheibe heraus und klebt ein Möbiusband stattdessen hinein. Die übliche Präsentation der Fundamentalgruppe bekommt man dann mit Seifert-van Kampen: a,b,c,d,e | [a,b][c,d]=2e>, wobei die eckigen Klammern den Kommutator meinen. Ich bin jetzt zu müde, um einen Isomorphismus der obigen zur üblichen Präsentation der Fundamentalgruppe zu suchen. Vielleicht morgen.

  5. #5 Sim
    17. Dezember 2012

    Vielen Danke auf jeden Fall nochmal für deine Mühe. Das hilft mir schon weiter.

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