Topologie von Flächen CCL

1,2,…,n-1 funktionieren, gehts dann auch für n? Aus der Schule kennt man die Geschichte mit den Eulerzahlen: die Formel 22n-1+1 liefert die Primzahlen 3,5,17,257 und 65537 und Fermat vermutete, dass sie immer Primzahlen liefere, erst Euler fand die Teilbarkeit von 232+1=424967297 durch 641. Gerade die Zahlentheorie kennt noch viel beeindruckendere Beispiele. Zum Beispiel sind für n=1,…,533359 jeweils n5+5 und (n+1)5+5 teilerfremd, aber für n=533360 sind beide Ausdrücke durch 1968751 teilbar.

Immersionen von S1,…,Sn-1 in den Rn

Die letzten Wochen hier ging es um Immersionen von Flächen in den R3: die Immersionen der Sphäre, welche alle regulär homotop waren (insbesondere konnte man die Sphäre umstülpen), die Immersionen des Torus, von denen es bis auf reguläre Homotopie 4 verschiedene gab, analog der Fläche mit g Henkeln, die 4g verschiedene Immersionen hat.

Der “Trick” hinter der Bestimmung der möglichen Immersionen war in jedem Fall, statt des nichtlinearen Problems (der Bestimmung der Immersionen) das lineare Problem der Bestimmung der injektiven linearen Abbildungen (d.h. der potentiellen Differentiale von Immersionen) zu betrachten: dieses hat – wie man mittels algebraischer Topologie schnell beweisen kann – für
die Fläche mit g Henkeln bis auf Homotopie genau 4g Lösungen.

Der nichttriviale Punkt hierbei ist natürlich der Beweis, dass diese beiden Probleme – das nichtlineare und das lineare – tatsächlich äquivalent sind. Diese Äquivalenz ist für Immersionen von Sphären in höherdimensionale Räume – zunächst von S2 in R3, dann auch von Sk in Rn für n>k – durch Smale bewiesen worden. (Noch allgemeiner dann für Immersionen von k-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in Mannigfaltigkeiten der Dimension n>k durch Smales Schüler Morris Hirsch.)

Allgemein spricht man (heute, d.h. seit Gromovs Buch) in einem solchen Fall – wenn ein nichtlineares Problem sich auf seine Linearisierung zurückführen läßt – von einem h-Prinzip.

Für Immersionen von Sphären S1,…,Sn-1 in den Rn gilt also ein h-Prinzip.

Immersionen von Sn in den Rn

Was ist für Immersionen der Sn in den Rn?
Das ist viel komplizierter, schon für n=2. (Und für n>2 weiß man in diesem Fall wohl gar nichts.)

Das linearisierte Problem läuft auf die Berechnung von πnSO(n) hinaus, z.B. für n=2 hätte man wegen π2SO(2)=0 dann also eine eindeutige Lösung.

In Wirklichkeit gibt es aber keine Immersionen der S2 in den R2. Der vielleicht einfachste Beweis geht so: wegen dim(S2)=dim(R2) wäre jede Immersion auch eine Submersion. Eine Submersion einer kompakten Mannigfaltigkeit ist aber nach dem (einfach und elementar zu beweisenden) Satz von Ehresmann immer ein Faserbündel, in diesem Fall wegen dim(S2)=dim(R2) also eine Überlagerung und wegen π1S2 dann sogar ein Diffeomorphismus auf sein Bild. Aber natürlich gibt es keine Untermannigfaltigkeit des R2, die diffeomorph zur S2 ist. (Letzteres kann man auf viele Arten beweisen, ein einfaches Argument: die Untermannigfaltigkeit müßte abgeschlossen und – wegen der Dimensionsgleichheit – auch offen sein, damit aber – weil R2 zusammenhängend ist – gleich dem ganzen R2.)

Das h-Prinzip für Immersionen im Rn gilt also nur für Untermannigfaltigkeiten der Dimension 1,…,n-1, nicht für Dimension n.

Der Grund, warum der Beweis von Hirsch nicht funktioniert, ist der Induktionsschritt (beim Induktionsbeweis über die Simplizes einer Triangulierung). Für den Induktionsschritt muß man wissen, wann die Immersion einer k-1-dimensionalen Sphäre zu einer Immersion eines k-dimensionalen Balles fortgesetzt werden kann. Für k≤n-1 geht das gerade dann, wenn die entsprechende Abbildung in die Stiefel-Mannigfaltigkeit nullhomotop ist (und das beweist dann per Induktion das h-Prinzip). Für k=n ist es aber schwieriger.

Zum Beispiel zeigt das folgende Bild eine Immersion der S1 in den R2, die regulär homotop zur Standard-Einbettung ist, aber selbst nicht zu einer Immersion der D2 fortgesetzt werden kann.

Andererseits gibt es für jedes n Immersionen fn : S1 –> R2, die sich auf genau n verschiedene Weisen zu Immersionen der D2 fortsetzen lassen. (“Verschieden” heißt natürlich wieder: nicht regulär homotop.) Das Bild ist aus einem Artikel von Poenaru.

Eine kürzliche Dissertation in Darmstadt diskutiert dann allgemein, welche Immersionen der S1 in eine Fläche sich zu einer Immersion der D2 fortsetzen lassen, schon die Formulierung der Ergebnisse sieht sehr kompliziert aus. Also: für k=n hat man nicht nur kein h-Prinzip, es ist auch alles wahnsinnig kompliziert.

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Kommentare

  1. #1 Bjoern
    16. Dezember 2012

    Aus der Schule kennt man die Geschichte mit den Eulerzahlen: …

    Öh, an welcher Schule macht man denn das?! In den Lehrplänen in Bayern und Baden-Württemberg kommt das nicht vor…

  2. [...] Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202, Teil 203, Teil 204, Teil 205, Teil 206, Teil 207, Teil 208, Teil 209, Teil 210, Teil 211, Teil 212, Teil 213, Teil 214, Teil 215, Teil 216, Teil 217, Teil 218, Teil 219, Teil 220, Teil 221, Teil 222, Teil 223, Teil 224, Teil 225, Teil 226, Teil 227, Teil 228, Teil 229, Teil 230, Teil 231, Teil 232, Teil 233, Teil 234, Teil 235, Teil 236, Teil 237, Teil 238, Teil 239, Teil 240, Teil 241, Teil 242, Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250 [...]

  3. [...] Teil 240, Teil 241, Teil 242, Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259, Teil [...]

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  7. [...] Teil 240, Teil 241, Teil 242, Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259, Teil [...]