Das Möbiusband aus dem Silvesterartikel ist nicht nur eine Kuriosität, sondern in der Algebraischen Topologie der elementarste Baustein bei der Definition “charakteristischer Klassen”, der sogenannten Stiefel-Whitney-Klassen, die einerseits bei der (Nicht)immersierbarkeit von Mannigfaltigkeiten in den euklidischen Raum (dem Thema der letzten Wochen) eine wichtige Rolle spielen, und mit denen man andererseits entscheiden kann, wann eine Mannigfaltigkeit eine Orientierung oder eine Spin-Struktur besitzt.

Orientierbarkeit

Die Orientierbarkeit von Flächen hatten wir natürlich in TvF 11 schon einmal diskutiert: Orientierbarkeit hieß, dass man links und rechts unterscheiden kann.

Auf dem Möbiusband konnte man das nicht: wenn die Ameise einmal herumläuft, ist die linke Seite zur rechten geworden.

Vektorräume
Um dies präziser zu fassen, schauen wir uns zunächst den Vektorraum R2 an. Auf diesem hat man 2 Äquivalenzklassen von Basen: einerseits diejenigen Basen, welche sich durch eine Basiswechsel-Matrix mit det(B)>0 in die Basis (e1,e2) überführen lassen, und andererseits diejenigen Basen, diee sich durch eine Basiswechsel-Matrix mit det(B)>0 in die Basis (e2,e1) überführen lassen. Wir nennen erstere Basen positiv und letztere negativ. (Das ist natürlich reine Willkür.)

Anders gesagt: auf der Menge der Basen definieren wir eine Äquivalenzrelation; zwei Basen sollen äquivalent sein, wenn der Basiswechsel positive Determinante hat. Dann gibt es zwei Äquivalenzklassen, die wir willkürlich mit positiv und negativ bezeichnet haben.

Vektorbündel
Um Orientierbarkeit von Flächen zu definieren, betrachten wir das Tangentialbündel der Fläche als eine Ansammlung von Vektorräumen, ein sogenanntes Vektorbündel.

Auf jedem Vektorraum gibt es 2 Orientierungen. Eine Orientierung der Fläche F ist nun (per Definition) eine Orientierung der Tangentialebenen TxF, die “stetig vom Basispunkt x abhängt”. (Letzteres soll heißen: zu jedem Punkt x gibt es eine Umgebung U und eine Trivialisierung TF|U=UxR2, bei der für alle y in U eine positive Basis von TyF einer positiven Basis von R2 entspricht.)

Geschlossene Wege

Auf dem Möbiusband gibt es eine solche Orientierung nicht: wenn wir auf dem mittleren Kreis einmal um das Möbiusband herumgehen, und entlang des Weges mittels lokaler Trivialisierungen positive Basen wählen, bekommt man nach einmaligem Durchlaufen des Kreises die ursprünglich negative Basis.

Orientierbarkeit <==> w1=0

Das Beispiel des Möbiusbandes motiviert die Definition einer die “Nichtorientierbarkeit” messenden Invariante w1 wie folgt: wenn γ ein geschlossener Weg in unserer Fläche F ist und man nach einmaligem Durchlaufen des Weges γ die Orientierung ändert (also die ursprünglich positive Basis zur negativen wird), dann definieren wir w1(γ)=1, andernfalls definieren wir w1(γ)=0.

Formal ist das ein Homomorphismus von π1F nach Z/2Z, also ein Element in der 1.Kohomologie H1(F;Z/2Z). Die Kohomologieklasse w1 heißt 1-te Stiefel-Whitney-Klasse des Tangentialbündels von F. (Die Definition, die wir eben gegeben haben, ist eine ad-hoc-Definition. Es gibt auch allgemeinere und systematischere Definitionen von Stiefel-Whitney-Klassen wn in Hn(F;Z/2Z), dazu in den nächsten Wochen.)

Offensichtlich ist eine Richtung der Äquivalenz “Orientierbarkeit <==> w1=0″: wenn die Fläche F orientierbar ist, dann ist sie natürlich insbesondere entlang jedes geschlossenen Weges orientierbar, also ist w1(γ)=0 für jeden geschlossenen Weg γ

Zur anderen Richtung: sei V(F) die Stiefel-Mannigfaltigkeit (TvF 248) von F, also die Menge der (orthonormalen) Basen der Tangentialebenen. Die Basiswechsel definieren eine Wirkung von GL(2,R) auf V(F). Zwei Basen sind genau dann äquivalent, wenn der Basiswechsel in GL+(2,R) liegt, d.h. in der Gruppe der Matrizen mit positiver Determinante. Weil es in jedem Vektorraum 2 Äquivalenklassen von Basen gibt, ist E:=V(F)/GL+(2,R) eine 2-fache überlagerung von F, p:E–>F.
Eine Orientierung, d.h. eine Festlegung einer Äquivalenzklasse als “positiv”, ist ein Schnitt
s:F–>E mit ps=id.
Aus w1(γ)=0 folgt jedenfalls, dass es einen Schnitt über γ gibt. Insbesondere ist [γ] dann im Bild von p*1E–>π1F, denn die Hochhebung mittels des Schnittes ist ja wieder ein geschlossener Weg β, dessen Bild unter p* eben γ ist. (Bei w1(γ)=1 wäre β kein geschlossener Weg, weil seine Endpunkte entgegengesetzt orientierten Basen entsprächen.) Aus w1=0 folgt also Surjektivität von p*.
Überlagerungen p:E–>F werden klassifiziert durch die Bilder im(p*1E–>π1F) der Fundamentalgruppe. Insbesondere folgt aus Surjektivität von p*, dass die Überlagerung trivial ist, womit es insbesondere einen Schnitt s:F–>E mit ps=id gibt, also eine Orientierung.

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Kommentare (22)

  1. #1 Frank Wappler
    ((Ap~Bp) (Aq~Bq)) for p =/= q and ((Ap~Bp) (Ap~Bp)) := Max_{ j, k in { 1, 2 } }_[ ((Aj~Bk) (Aj~Bk)) ]
    5. Januar 2013

    Thilo schrieb (Januar 4, 2013):
    > Die Orientierbarkeit von Flächen […] Um dies präziser zu fassen, schauen wir uns zunächst den Vektorraum R2 an.
    > […] einerseits […] die Basis ( e1, e2 )
    > […] und andererseits […] die Basis ( e2, e1 )

    Eine verblüffende Vorstellung, Basen eines Vektorraumes dahingehend unterscheiden zu wollen, in welcher Reihenfolge man ihre Elemente hinschreibt!

    Offenbar — vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Vektorraum) — spricht man für diesen Fall stattdessen/genauer von “(verschieden) geordneten Basen”.

    Schon wieder was gelernt!
    (Wieder etwas gelernt, von dem ich kaum erwartet hätte, es durch eine Artikelserie zu erfahren, die “Topologie von Flächen” heißt.)

    Wäre es wohl bitte möglich zu skizzieren, wie etwas Entsprechendes und Geeignetes, z.B. “berandete orientierbare Fläche”, mal allein unter Verwendung des (für Topologie sicher maßgeblichen) Begriffs “offene Menge” und der (ansonsten wohl bekannten) Begriffe der Mengenlehre auszudrücken ist?
    (Falls das in dieser Artikelserie natürlich nicht schon längst erfolgt, mir aber entgangen sein sollte.)

  2. #2 Thilo
    6. Januar 2013

    Orientierbarkeit nur “über offene Mengen” (also mit der topologischen Struktur, ohne die Differentialstruktur) zu definieren, macht man wohl analog zum Artikel oben am Besten mit der Orientierungsüberpagerung. Die kann man auch ohne Basen des Tangentialraumes rein topologisch definieren, siehe Thm.VIII.2.11. in Dold oder http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Orientation_covering : statt des Tangentialraumes benutzt man die lokale Homologie, um punktweise Orientierungen zu definieren. Die Mannigfaltigkeit ist dann wieder orientierbar gdw. die Orientierungsüberlegerung trivial ist.

  3. #3 Frank Wappler
    8. Januar 2013

    Thilo schrieb (#2, 6. Januar 2013):
    > Orientierbarkeit nur “über offene Mengen” (also mit der topologischen Struktur, ohne die Differentialstruktur) zu definieren […] benutzt man die lokale Homologie, um punktweise Orientierungen zu definieren.

    Und wie wäre “lokale Homologie” als rein “topologischen Struktur” definiert? (Ob “der Dold” da wirklich weiterhilft?)

    Beim Versuch, dieser Frage anhand der vorliegenden Artikelserie nachzugehen, bin ich in http://scienceblogs.de/mathlog/2011/06/03/topologie-von-flachen-clxx/ auf Begriffe wie “Punkt“, “Strecke” und “Dreieck” gestoßen.

    Punkt” bzw. “Element” ist ja sicherlich ein ganz unmittelbarer Begriff der Topologie bzw. Mengenlehre.

    Ich bilde mir auch ein, ausdrückliche und rein “topologische Bedingungen” dafür nennen zu können, welche topologische Räume “Strecken” genannt werden (sollten), und welche nicht.
    (Falls das anzuzweifeln wäre, und möglicherweise ja zurecht, dann würde ich meinen entsprechenden Definitions-Versuch gern nachreichen; insbesondere auch als Illustration für die Art von Antwort, die ich schon auf meine obige Frage, vom 5. Januar 2013, erwartet hätte.)

    Dann aber kommt der Begriff “Dreieck“; oder, was unter Einsatz von “topologischen Mitteln” vermutlich das Selbe ist: “einfache, berandete, orientierbare Fläche”. Und ich frage mich nach wie vor: Wie macht man das?.

  4. #4 Thilo
    8. Januar 2013

    Eine Strecke (singulärer 1-Simplex) ist in der Topologie das Bild einer stetigen Abbildung f:[0,1]–>X vom abgeschlossenen Einheitsintervall in den topologischen Raum X.
    Ein singulärer 2-Simplex (vulgo: Dreieck) ist das Bild einer stetigen Abbildung vom abgeschlossenen Standard-2-Simplex in den topologischen Raum X. Dabei ist der Standard-2-Simplex die konvexe Hülle der Punkte (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) im R^3.

  5. #5 Frank Wappler
    http://think.intrinsically--act.publicly
    9. Januar 2013

    Thilo schrieb (#4, 6. Januar 2013):
    > Eine Strecke (singulärer 1-Simplex) ist in der Topologie das Bild einer stetigen Abbildung f:[0,1]–>X vom abgeschlossenen Einheitsintervall in den topologischen Raum X.

    Wodurch wäre ein solcher, geeigneter topologischer Raum “X“, also eine/jede hinreichende Menge S zusammen mit einer geeigneten Kollektion T von bestimmten (aber sicherlich nicht von allen) Teilmengen von S
    (die “offen” genannt werden), denn an sich charakterisiert?

    Ich vermute (leider weiß ich keine Quellen, wo das eventuell schon mal durchdacht und eventuell besser organisiert worden wäre), dass das Paar ( S, T ) dafür die folgenden Bedingungen erfüllen sollte:

    (S0) Natürlich die Bedingungen entsprechend http://de.wikipedia.org/wiki/Topologischer_Raum#Definition;

    (S1) Dieser topologische Raum muss ein http://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenh%C3%A4ngender_Raum sein und ein http://de.wikipedia.org/wiki/Hausdorff-Raum sein;

    (S2) Menge S enhält genau zwei verschiedene Elemente, \alpha und \omega, deren Komplement bzgl. der Menge S jeweils ein zusammenhängender Teilraum und Element der Kollektion T ist (und deren gemeinsames Komplement bzgl. der Menge S ebenfalls ein zusammenhängender Teilraum sowie Element der Kollektion T ist);

    (S3) Für alle Elemente der Menge S außer \alpha und \omega, besteht das jeweilige Komplement bzgl. der Menge S aus je zwei disjunkten Elementen der Kollektion T, die beide (einzeln) zusammenhängende Teilräume sind.

    Aber nochmals:
    eine entsprechende Definition des Begriffs “einfache berandete orientierbare Fläche”, allein “mit solchen topologischen Mitteln”, traue ich mir z.Z. nicht zu
    (und hier erst recht nicht ohne die Möglichkeit einer Kommentar-Vorschau bzw. irgendeiner Dokumentation, wie hier dargestellt würde, was man alles zwischen “$latex” und “$” hineintippen müsste).

    > Ein singulärer 2-Simplex (vulgo: Dreieck) ist das Bild einer stetigen Abbildung vom abgeschlossenen Standard-2-Simplex in den topologischen Raum X. Dabei ist der Standard-2-Simplex die konvexe Hülle der Punkte (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) im R^3.

    Ist denn der Begriff “konvexe Hülle” allein “mit topologischen Mitteln” (wie z.B. oben benutzt) definierbar ??
    Oder etwa (ausgerechnet!?) der Begriff http://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_Menge !? …

  6. #6 Thilo
    11. Januar 2013

    Nein, aber es handelt sich ja um Punkte im R^3, wo man die konvexe Huelle der drei Punkte P,Q,R im ueblichen Sinne definieren kann, als Menge aller Punkte aP+bQ+cR mit a,b,c nichtnegativ und a+b+c=1.

  7. #7 Frank Wappler
    http://Im.Übrigen.bewerte.ich.das.Vorenthalten.einer.Kommentarvorschau.als.Missachtung.der.Leserschaft
    12. Januar 2013

    Thilo schrieb (#6, 11. Januar 2013):
    > Nein, aber […]

    Aber Topologie sollte in dieser deiner Artikelserie doch sicher nicht zu kurz kommen, oder?

    > es handelt sich ja um Punkte im R^3, wo man die konvexe Huelle der drei Punkte P,Q,R im ueblichen Sinne definieren kann, als Menge aller Punkte aP+bQ+cR mit a,b,c nichtnegativ und a+b+c=1.

    Fein — das beschreibt offenbar eine (durch die drei “Punkte im R^3” bzw. reelle Tripel “P“, “Q” und “R“) bestimmte Menge “M” solcher Elemente;
    in Anlehnung an die Menge reeller Zahlen “[0,1]“, die oben (Thilo, #4, 6. Januar 2013) im Zusammenhang mit dem Begriff “Strecke” zu betrachten war.

    In ähnlicher Weise lassen sich wohl auch bestimmte Teilmengen dieser (durch “P“, “Q” und “R” bestimmten) Menge M ausdrücken:

    Z.B. die Menge “N_int” aller “Punkte im R^3

    a P + b Q + c R

    mit a, b und c positiv und a + b + c = 1.

    Oder für jedes Element “F” aus dieser Menge N_int, das durch je zwei bestimmte positive Werte “a_F” und/oder “b_F” und/oder “c_F” gegeben bzw. charakterisiert ist, jeweils die Menge “N_pF” aller “Punkte im R^3

    a P + b Q + c R

    mit a > a_F, sowie b und c nichtnegativ und a + b + c = 1.

    Oder entsprechend die Mengen “N_qF” bzw. “N_rF” aller “Punkte im R^3

    a P + b Q + c R

    mit b > b_F, sowie a und c nichtnegativ und a + b + c = 1; bzw.
    mit c > c_F, sowie b und c nichtnegativ und a + b + c = 1.

    Oder für jedes Element “F” aus Menge N_int, jeweils die Menge “N_pqF” aller “Punkte im R^3

    a P + b Q + c R

    mit a > a_F und b > b_F sowie c nichtnegativ und a + b + c = 1.

    Oder entsprechend die Mengen “N_prF” bzw. “N_qrF” aller “Punkte im R^3

    a P + b Q + c R

    mit a > a_F und c > c_F sowie b nichtnegativ und a + b + c = 1; bzw.
    mit b > b_F und c > c_F sowie a nichtnegativ und a + b + c = 1.

    Oder für je drei verschiedene Elemente “H”, “J” und “K” aus Menge M, jeweils die Menge “N_HJK” aller “Punkte im R^3

    a H + b J + c K

    mit a, b und c positiv und a + b + c = 1.

    Lässt sich die Gesamtheit dieser (durch “P“, “Q” und “R” bestimmten) Teilmengen N der Menge M als http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Topologie%29 eines topologischen Raumes auffassen?

    Falls so, ließe sich ein solcher topologischer Raum auch durch bestimmte (topologische) Eigenschaften an sich beschreiben?

    Dann wäre das offenbar die Charakterisierung eines topologischen Raumes als “berandete, orientierbare Fläche”; in Anlehnung an die oben (#5, 9. Januar 2013) skizzierten Eigenschaften eines topologischen Raumes as “Strecke“.

    p.s.
    Die (meines Wissens in den ScienceBlogs sowieso weitgehend undokumentierte) Notation
    “$latex <LaTeX-Code>$”
    zur Darstellung von Formeln, die im Herbst letzten Jahres noch funktionierte, ist nun/hier offenbar auch kaputt …

  8. #8 Rasmi
    xsnlPcZveBE
    13. Januar 2013

    nicht so viel Bedeutung beigemessen, doch ancnescheiuligh hatte ich ein gutes He4ndchen. Sascha hatte ein e4hnliches Thema und auch Martin hat sich seine Gedanken zu Youtube und Werbung

  9. #9 Fakhri
    ZSzFZCXWThDHVpuUHY
    13. Januar 2013

    Ich erinnere mich an die Geobusiness Tagung in Mainz beim ZDF, wo der daalimge Pre4sident der ADV versucht hat zu erkle4ren, warum man mit den Geodaten Milliarden verdienen kann. Das war nachher in der Diskussion eigentlich nur noch peinlich ffcr ihn. Eben verbohrter Verteidiger von Erbhf6fen im Kampf um Existenzberechtigungen. Der Artikel von ttm ist nicht Bildzeitung er ist eigentlich noch viel zu lieb geschrieben. Der erste Satz von AS macht klar. Der Autor ist ein Beamter. Man muss ja fragen, auch wenn man was positives verbreiten will . Wann hf6rt das endlich mal auf in diesem Land und wann merkt die Politik endlich, das man eine AdV fcberhaupt nicht braucht. Weil, einig sind die sich nicht untereinander, ich meine die c4mter der einzelnen Le4nder.Aber: Der Film ist echt gut. Ehrlich. Er ist ffcr fast alle Zielgruppen gut, denen man erkle4ren will, was Geodaten machen und welche Methoden notwendig sind ffcr die Erfassung. Kann man Mutti zeigen und auch in der Schule. Ist ein Pluspunkt ffcr die AdV. Verstanden habe ich aber nicht den Hinweis im Film auf das Thema Navigation. Das machen doch die Anbieter selber mit den Daten. Grade die AdV hat es doch verpasst hat wegen der Unkenntnis der potentielle Me4rkte ATKIS Daten routingfe4hig zu machen. Da haben dann andere die Milliarden gemacht. In Industrieunternehmen we4ren hier im Management Kf6pfe gerollt. Aber, man ist ja hoheitlich und nicht angreifbar. Als Politiker, der die enormen Etats der LVAb4s sieht wfcrde ich mich schon fragen, ob nicht einfach einiges durch OSM, BING oder Google ersetzen kann. Bin mal gespannt, ob bei der AdV wieder ein Schild steht auf einer Standparty Geschlossene Gesellschaft damit ja keiner dazu kommt der da nicht hingehf6rt.

  10. #10 Thilo
    14. Januar 2013

    @Frank Wappler
    Die technischen Probleme sind mir schon bekannt, aber mehr als die Redaktion zu Nerven kann ich da auch nicht tun.

    Zur Frage: das Dreieck ist eine Teilmenge im R^3 und man versieht es natürlich einfach mit der Unterraumtopologie http://de.wikipedia.org/wiki/Teilraumtopologie

  11. #11 Wuttikarn
    NvgyRcRUqzpddPLSx
    14. Januar 2013

    Einen aktuellen Einblick in die Schweizer abAlpenmusikbb beeitt Theresa Beyer mit ihrem Bericht vom Tanz- und Folkfestival Rudolstadt. Wir sind auch gespannt, wie sich die Alpentf6ne akustisch und visuell unterscheiden vom

  12. #12 Frank Wappler
    14. Januar 2013

    Thilo schrieb (#10, 14. Januar 2013):
    > das Dreieck ist eine Teilmenge im R^3 und man versieht es natürlich einfach mit der Unterraumtopologie http://de.wikipedia.org/wiki/Teilraumtopologie

    Das unterstellt offenbar, dass zusammen mit der Angabe der Menge „R^3“ auch eine bestimmte Topologie gegeben wäre. Welche topologische Eigenschaften hätte die denn ?!?

    Oder, falls das (vermutlich) einfacher ist, und weil das (vermutlich) relevanter ist:
    Durch welche topologischen Eigenschaften wäre denn (z.B.) die o.g. „Unterraumtopologie“ charakterisiert?

    p.s.
    > Die technischen Probleme sind mir schon bekannt, aber mehr als die Redaktion zu Nerven kann ich da auch nicht tun.

    Die Bestätigung, dass überhaupt Probleme bestehen, und dass diese Probleme „technisch“ bedingt sind (und nicht etwa durch Leser und/oder Kommentatoren), ist ja an sich schon ein Fortschritt. Und zusammen nervt’s sich bestimmt zielführender als allein.

  13. #13 Anupa
    CWZtizpAKpukgyW
    14. Januar 2013

    Ich finde hier diesen He4ndlerblog leiedr etwas, naja unpassend. Es wird nicht mit Features sondern viel mehr mit Werbung ausgeffcllt. Der Blog sollte dazu dienen, das zum einen die He4ndler sich informiert und auch beraten ffclhen! Ich kann ausser einem Kommentar nichts hinzuschrieben.Wieso stehen hier keine Infos darfcber wann beispielsweise uns He4ndlern einmal die Emailadresse der Kunden mitgeteilt wird, damit wir schneller und besser einen Support- Service anbieten kf6nnen?

  14. #14 Frank Wappler
    http://if.you.know.a.problem.that.you.haven’t.been.able.to.solve--and.if.you.haven’t.been.able.to.find.a.simpler.problem.that.you.haven’t.considered.yet.either--then.cast.your.problem.as.a.definition
    16. Januar 2013

    Frank Wappler schrieb (#11, 14. Januar 2013):
    > Durch welche topologischen Eigenschaften wäre denn (z.B.) die o.g. „Unterraumtopologie“ charakterisiert?

    Als konkretes Beispiel für die Charakterisierung topologischer Räume durch solche (oder eng damit zusammenhängende) „topologische Eigenschaften“ kann man (auch) die folgende Frage zu einer Umkehrung des „Jordanschen Kurvensatzes“ (vgl. http://scienceblogs.de/mathlog/2011/04/22/topologie-von-flachen-clxiv/ ) betrachten:

    Wenn ein zusammenhängender topologischen Raum (S, T) gegeben ist, und wenn für jede Zerlegung der Menge S in drei nichtleere Teilmengen A, B und K, so dass
    – A offen und zusammenhängend ist,
    – B offen und zusammenhängend ist, und
    – K der http://de.wikipedia.org/wiki/Rand_(Topologie) sowohl von A als auch von B ist,
    jede so festgelegte Menge K (bzgl. ihrer von T her stammenden Teilraumtopologie) „eindimensional“ und „zusammenhängend“ und „geschlossen“ ist (bzw. eine „geschlossene http://de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Kurve “),
    und sofern diese Bedingungen widerspruchsfrei sind,
    wie nennt man dann einen so definierten topologischen Raum (S, T) ?

  15. #15 Thilo
    18. Januar 2013

    Die obige Charakterisierung trifft jedenfalls nicht nur auf den R^2 zu, sondern auch auf die 2-Sphäre.

    Unter den kompakten Räumen kann man die Sphäre tatsächlich durch diese Bedingungen charakterisieren, siehe http://www.ams.org/journals/proc/1992-115-03/S0002-9939-1992-1124153-0/home.html . Für nichtkompakte Räume könnte man die 1-Punkt-Kompaktifizierung betrachten und daseoblem auf die Charakterisierung der Sphäre zurückzuführen versuchen, aber ganz so einfach ist das wohlmnicht, wie das Beispiel des offenen Kreisringes zeigt, auf den diese Charakterisierung ja ebenfalls zutrifft.

  16. #16 Frank Wappler
    http://Ein.Memorandum.bedient.eher.die.Vorausschau.des.Schreibers--als.der.Erinnerung.des.Lesers
    22. Januar 2013

    Thilo schrieb (#15, 18. Januar 2013):
    > Die obige Charakterisierung trifft jedenfalls nicht nur auf den R^2 zu, sondern auch auf die 2-Sphäre.

    Trifft diese obige Charakterisierung (s. #14) denn wirklich auf beides zu?

    (Ich hätte gehofft nur auf „die 2-Sphäre“ …
    Aber bei genauerem Hinsehen scheint mir die obige Formulierung sowieso nicht unbedingt ganz „wasserdicht“, denn, z.B., Zerlegungen der Menge S in „offenes“ A, „offenes B“ und „Rest“ werden darin ja gar nicht erwähnt, und insofern auch nicht von vornherein und ausdrücklich ausgeschlossen, falls dieser „Rest“ nicht ganz genau der Rand sowohl von A als auch von B wäre. Man denke vielleicht an „die 2-Sphäre mit einem Punkt verdoppelt“.

    Interessant fände ich diesbezüglich auch, wie man aus einer geeignet genau formulierten solchen Charakterisierung betreffend einer Jordan-Kurve dann auf Beziehungen zwischen mehreren Jordan-Kurven schließen könnte.)

    Jedenfalls hat die obige Charakterisierung zumindest im Prinzip „ein gewisses Etwas“ („Selbstständigkeit“? „Zugänglichkeit“?), das (mir) fehlt, wenn, wie in #4, von Abbildungen die Rede ist und Kenntnis/Charakterisierung des entsprechenden Urbildes vorausgesetzt/unterstellt wird.

    > Unter den kompakten Räumen kann […]

    http://scienceblogs.de/mathlog/page/2/?s=kompakt

    ??

  17. […] Möbiusband – nicht nur das einfachste Beispiel einer nicht-orientierbaren Fläche (letzte Woche), auch das einfachste Beispiel eines “getwisteten” Bündels von Geraden […]

  18. […] Vor 3 Wochen hatten wir eine Invariante w1 definiert, die jeder geschlossenen Kurve (in einer Fläche F) den Wert 0 oder 1 zuordnet, je nachdem ob entlang dieser Kurve die Orientierung umgedreht wird oder nicht. Man kann sich überlegen, dass entlang der Ränder von 2-Simplizes die Orientierung immer erhalten bleiben muß; w1 ist also eine Abbildung, die 1-Zykeln einen Wert in zuordnet und dabei Ränder auf 0 abbildet – nach obiger Definition ist w1 also ein Element der 1.Kohomologiegruppe mit Werten in . (Letztere wird mit bezeichnet.) […]

  19. […] Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil […]

  20. […] Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259, Teil 260, Teil […]

  21. […] Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259, Teil 260, Teil 261, Teil 262, Teil […]

  22. #22 Roosevelt Fegett
    1. März 2017

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