Viele Bündel in einem großen Bündel wiederzufinden funktioniert nicht bloß bei Landwirtschaftlern oder Herstellern von Kameraausrüstungen (das Video zum Bild unten ist hier), sondern auch ganz universell.
universalbundle

Es gibt ein universelles Geradenbündel, indem man in gewisser Weise jedes andere Geradenbündel wiederfinden kann (jedenfalls in dem Sinne, dass man jedes andere Geradenbündel durch Zurückziehen aus dem universellen Bündel bekommt). Dieses Bündel hatten wir vor 2 Wochen definiert, seine Basis ist der \mathbb RP^\infty (die Menge aller 1-dimensionalen Unterräme des \mathbb R^\infty) und über jedem Punkt des \mathbb RP^\infty ist die entsprechende Gerade des \mathbb R^\infty angeheftet (das Bündel ist also eine Teilmenge von \mathbb RP^\infty\times\mathbb R^\infty).
Das klingt natürlich alles ziemlich unendlich-dimensional, aber für ‘praktische’ Zwecke braucht man immer nur endlich-dimensionale Teile der Konstruktion. Wenn man etwa die Konstruktion für 2-dimensionale Geradenbündel, also Geradenbündel über dem Kreis, veranschaulichen will, kann man sich auf \mathbb RP^1\times\mathbb R^2 beschränken, d.h. auf das Bündel mit \mathbb RP^1 (das war die Menge der Geraden durch 0 im \mathbb R^2) als Basis, und der entsprechenden Gerade im \mathbb R^2 über jedem Punkt.

Als ein Beispiel hatten wir letzte Woche beschrieben, wie man die Gauß-Abbildung aus der Differentialgeometrie als klassifizierende Abbildung des Normalenbündels ansehen kann.

Ähnlich elementar kann man das noch für zwei andere einfache Beispiele von Geradenbündeln vorführen, nämlich die beiden Geradenbündel über dem Kreis S^1: den Zylinder und das Möbiusband, die wir uns mal als Teilmenge von S^1\times\mathbb R^2 denken.
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Die klassifizierende Abbildung f:S^1\rightarrow \mathbb RP^1 bildet jeden Punkt der Basis S^1 auf den der über ihr liegenden Gerade im \mathbb R^2 entsprechenden Punkt im \mathbb RP^1 ab.

Man “sieht”, dass im Fall des Kreiszylinders die Abbildung f einfach konstant ist: über jedem Punkt hat man die Gerade {x=0}.

Wie kann man die Abbildung f beim Möbiusband beschreiben? Wenn man den Basis-Kreis 1-mal durchläuft, dann hat man über dem Punkt natürlich wieder dieselbe Gerade, aber sozusagen mit umgekehrter Richtung. Um das mathematischer zu beschreiben, parametrisieren wir die Punkte des Kreises durch den Winkel φ (mit 0\le\phi<2\pi), dann hat man über dem Punkt φ die Gerade mit Anstiegswinkel \frac{\phi}{2} – so dass man nacheinmaligem Durchlaufen (\phi=2\pi) wieder in derselben Gerade landet, wenn auch mit umgekehrter Richtung. Die Abbildung f:S^1\rightarrow \mathbb RP^1 ist also dadurch gegeben, dass man bei einmaligem Durchlaufen des Kreises auch \mathbb RP^1 einmal durchläuft.

Nun kann man andererseits \mathbb RP^1 auf kanonische Weise mit dem Kreis identifizieren: man betrachte die Abbildung z\rightarrow z^2 des Einheitskreises (in der komplexen Zahlenebene) auf sich:
coveringcircle
(einfarbige Stücke oben entsprechen einfarbigen Stücken unten), der Quotient ist \mathbb RP^1. Aber der Quotient ist natürlich auch ein Kreis, denn man erhält ihn aus einem Intervall durch Identifizieren der Endpunkte.
Nachdem man auf diese Weise \mathbb RP^1 mit einem Kreis identifiziert hat, entspricht die Abbildung f:S^1\rightarrow \mathbb RP^1 einfach der Identität.

Zusammenfassend: für den Kreiszylinder ist die klassifizierende Abbildung konstant, für das Möbiusband ist sie die Identitätsabbildung.

Die Stiefel-Whitney-Klassen w_1\in H_1(S^1,\mathbb Z_2) definiert man – wie vor 2 Wochen diskutiert – durch Zurückziehen der universellen Stiefel-Whitney-Klasse w_1\in H_1(\mathbb RP^1,\mathbb Z_2) mittels der klassifizierenden Abbildung f. Im Falle des Kreiszylinders ist f konstant, die induzierte Abbildung in Kohomologie also 0, deshalb ist w1=0. Im Falle des Möbiusbandes ist f die Identität, die induzierte Abbildung in Kohomologie also ein Isomorphismus, deshalb ist w1 das nichttriviale Element in H_1(S^1,\mathbb Z_2).
Insbesondere unterscheiden die Stiefel-Whitney-Klassen diese beiden Geradenbündel über dem Kreis.

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Kommentare (1)

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