Die Euler-Charakteristik war hier schon häufiger Thema, beim Igelsatz (TvF 201) wie auch bei Zerlegungen von Flächen (TvF 3) oder dem Gauß-Bonnet-Theorem (TvF 71).

Der Igelsatz zeigt den Zusammenhang zwischen Euler-Charakteristik und Nullstellen von Vektorfeldern. Letztere haben offenkundig damit zu tun, wie getwistet das Tangentialbündel der Fläche ist. Die Twists im Tangentialbündel wiederum mißt man mit charakteristischen Klassen und es stellt sich heraus, dass man auch die Euler-Charakteristik aus einer solchen bekommen kann.

Um zu verstehen, wie man die Euler-Charakteristik aus einer charakteristische Klasse bekommen kann, bietet es sich an, auch wenn das im Rahmen dieser Reihe vielleicht eigentlich ein bißchen weit führt, einmal allgemein zu erklären, wie charakteristische Klassen konstruiert werden. Das wird jetzt also etwas allgemeiner und mit weniger Bildern versehen als sonst meistens.

In TvF 255 hatten wir das universelle Geradenbündel definiert, ein Geradenbündel über dem projektiven Raum \mathbb RP^\infty (der Menge aller 1-dimensionalen Unterräme im \mathbb R^\infty).

Analog kann man sich die Menge aller n-dimensionalen Unterräme im \mathbb R^\infty ansehen, die sogenannte Graßmann-Mannigfaltigkeit Gr(n,\infty). Über dieser kann man – analog zum 1-dimensionalen Fall – ein universelles n-dimensionales Vektorbündel konstruieren und jedes andere n-dimensionale Vektorbündel über einem Raum X bekommt man durch Zurückziehen des universellen Bündels mittels einer Abbildung f:X\rightarrow Gr(n,\infty).

Diese Graßmann-Mannigfaltigkeit ist nicht nur der klassifizierende Raum für n-dimensionale Vektorbündel, sondern auch für Prinzipalbündel mit Strukturgruppe O(n), der orthogonalen Gruppe. (Wenn man ein Vektorbündel und ein faserweises Skalarprodukt hat, dann kann die Menge aller Orthonormal-Basen der Fasern betrachten: das ist ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe O(n). Insbesondere kann man das auf das universelle Vektorbündel anwenden und bekommt so das universelle O(n)-Prinzipalbündel.) Man bezeichnet Gr(n,\infty) deshalb auch als BO(n). (Allgemein bezeichnet man EG\rightarrow BG das universelle Prinzipalbündel mit Strukturgruppe G.)

Charakteristische Klassen (TvF 257) eines n-dimensionalen Vektorbündels über einem Raum X bekommt man, indem man eine Kohomologieklasse h\in H^*(BO(n)) nimmt und dann die Klasse h mittels der klassifizierenden Abbildung f:X\rightarrow Gr(n,\infty)=BO(n) des Vektorbündels zurückzieht. Die so erhaltene Kohomologieklasse f^*h\in H^*(X) mißt sozusagen, wie getwistet das Vektorbündel ist.

Charakteristische Klassen konstruiert man also aus Elementen der Kohomologie H^*(BO(n)) des klassifizierenden Raumes. Diese wiederum ist aber von Borel berechnet worden, sie entspricht gerade den invarianten Polynomen auf o(n): H^{2k}(BO(n))=I^k(O(n)).

Die 2-dimensionalen Vektorbündel werden also klassifiziert durch das universelle Bündel über BO(2)=Gr(2,\infty) und ihre charakteristischen Klassen bekommt man durch invariante Polynome auf o(2).

Was sind invariante Polynome? Als ein Polynom vom Grad k auf einem Vektorraum V bezeichnet man eine symmetrische, multilineare Abbildung in k Variablen P:V\otimes\ldots\otimes V\rightarrow\mathbb R. “Symmetrisch” soll heissen, dass die Abbildung unter der Wirkung der Permutationsgruppe S_k invariant ist. (Solche symmetrischen Funktionen sind bereits eindeutig bestimmt durch ihre Werte auf Argumenten der Form (v,\ldots,v). Klassische Polynome vom Grad k sind der Fall V=\mathbb R mit Argumenten (x,…x).)
Hier geht es um den Vektorraum o(2) der schiefsymmetrischen Matrizen (die Lie-Algebra zu O(2)). Die Gruppe O(2) wirkt auf o(2) durch Konjugation von Matrizen (die sogenannte adjungierte Wirkung) und “invariante Polynome” sind per Definition Polynome auf dem Vektorraum o(2), die invariant unter Konjugation sind. Zum Beispiel die Spur (die auf o(2) allerdings immer 0 ist) oder die Determinante.

Die invarianten Polynome auf Lie-Gruppen sind schon von Cartan berechnet worden. Das (bis auf skalare Vielfache) einzige invariante Polynom auf o(2) ist die Determinante. Wenn man sich auf SO(2) einschränkt (also Polynome auf so(2)=o(2) betrachtet, die nur unter Konjugation mit Matrizen aus SO(2) invariant sind), dann gibt es noch ein weiteres invariantes Polynom, nämlich die Pfaffsche Determinante. (Letztere ordnet der schiefsymmetrischen Matrix (\begin{array}{cc}0 & a\\  -a & 0\end{array}) den Wert a zu.)

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Kommentare (9)

  1. #1 Niels
    5. März 2013

    @Thilo
    Sorry, das passt hier jetzt nicht wirklich, aber ich konnte leider keine bessere Stelle finden:

    Drüben bei Astrodicticum Simplex diskutieren wir über die globale Geometrie des Universums. Die kann ja euklidisch, sphärisch oder hyperbolisch sein.
    Uns interessiert der euklidischen Fall, speziell die Modelle für ein räumlich endliches Universum. Anscheinend gibt genau 10 verschiedene Arten/Klassen geschlossener endlicher dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten mit euklidischer Geometrie.
    Gibt es eine Möglichkeit, sich die irgendwie zu veranschaulichen?
    Wir verstehen alle leider viel zu wenig von Topologie, um das irgendwie selbst aus der mathematischen Beschreibung zu extrahieren.
    Für den Fall des 3-Torus gibt es die Veranschaulichung über den Quader oder Würfel, dessen sechs gegenüberliegende Flächen paarweise “zusammengeklebt” sind.
    Kann man sich eine der anderen 9 Möglichkeiten auch noch irgendwie vorstellen?

    Wäre super, wenn du dazu etwas schreiben würdest. Entschuldige bitte für die Thread-Kaperung.

  2. #2 Thilo
    5. März 2013

    Die 3-dimensionalen euklidischen Mannigfaltigkeiten bekommt man alle als Quotientenraume des R^3 bzgl. einer diskreten Gruppe G von Isometrien.

    Der einfachste Fall, der 3-Torus, entspricht der von 3 (linear unabhangigen) Verschiebungen erzeugten Gruppe G. Den Torus bekommt man dann aus einem Parallelepiped, indem man die Seitenflaechen mittels der Verschiebungen identifiziert. (Das ist dasselbe als wenn man den Quotienten des R^3 unter der Gruppenwirkung nimmt, also zwei Punkte des R^3 immer dann miteinander identifiziert, wenn sie durch ein Gruppenelement G, also eine Hintereinanderausfuehrung der Verschiebungen, ineinander abgebildet werden.)

    Allgemein braucht man also eine Gruppe von Isometrien des R^3 (Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen), und schaut sich dann den Quotientenraum an. Wie beim Torus kann man wieder versuchen, einen Fundamentalbereich zu finden, dessen Seiten nach passender Identifizierung dann den Quotientenraum geben.

    Damit der Quotientenraum eine geschlossene Mannigfaltigkeit ist, muss die Gruppe G auf jeden Fall 3 linear unabhangige Translationen enthalten. Es koennen aber noch weitere “Schraubungen” (Kombinationen aus Verschiebung und Drehung) hinzukommen. Der Fundamentalbereich ist dann nur ein Teil des Parallelepipeds.

    Eine Auflistung der moeglichen diskreten Gruppen und der entsprechenden 3-dimensionalen euklidischen Mannigfaltigkeiten findet man in Hantzsche-Wandt: “Dreidimensionale euklidische Raumformen”, online http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01448045?LI=true#page-1 Auf Seite 599 sind auch Bilder

    Modernere Darstellungen sind Kapitel 3.5 in Wolf: “Spaces of constant curvature” oder S.443-448 in Scott The geometries of 3-manifolds”. Aber wenn man mit topologischen Begriffen nicht so vertraut ist, kann man wahrscheinlich mit der Original-Arbeit von Hantzsche-Wandt eher etwas anfangen als mit Scott.

    Also z.B. vier der sechs orientierbaren (ausser dem Torus und der sogenannten Hantzsche-Wandt-Mf.) euklidischen 3-Mannigfaltigkeiten bekommt man (mit n=2,3,4,6) laut dem Artikel von Hantzsche-Wandt wie folgt:

    Der Fundamentalbereich ist ein Prisma, dessen Grundflaeche fuer n=2 ein Parallelogramm, fuer n=3 ein regelmaessiges Sechseck, fuer n=4 ein Quadrat, fuer n=6 ein regelmaessiges Sechseck ist. Dann werden gegenueberliegende Seiten des Prismas durch Verschiebungen identifiziert, sowie Grund- und Dachflaeche durch eine Drehung um 2pi/n. (Seite 600 bei Hantzsche-Wandt.)

    Die anderen Faelle sind etwas komplizierter, aber vielleicht helfen diese Beispiele erstmal weiter.

  3. #3 Thilo
    6. März 2013

    Hantzsche-Wendt muss es heißen, nicht Hantzsche-Wandt.

  4. #4 Niels
    6. März 2013

    Toll.
    Die Arbeit von Hantzsche und Wendt konnte ich tatsächlich recht gut verstehen. Deine Zusammenfassung war ebenfalls sehr hilfreich. Vielen Dank!

  5. […] gerade um charakteristische Klassen geht – Zusammenhänge und Krümmungen braucht man, um den letzte Woche beschriebene Konstruktion von charakteristischen Klassen mittels invarianter Polynome explizit zu […]

  6. […] Vor 2 Wochen hatten wir gesagt, daß die Euler-Klasse (die dem Polynom entsprechende Klasse) die einzige charakteristische Klassen von Flächen ist. (Jedenfalls in der Kohomologie mit reellen Koeffizienten.) […]

  7. […] Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259, Teil 260, Teil 261, Teil 262, Teil 263, Teil […]

  8. […] Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259, Teil 260, Teil 261, Teil 262, Teil 263, Teil 264, Teil […]

  9. […] TvF 263 hatten wir die Euler-Klasse als eine Kohomologieklasse in der Kohomologie der […]