Die Presse berichtet über ein neues Millionenproblem, eine Verallgemeinerung des großen Satzes von Fermat:

Es gibt keine Lösungen von A^x+B^y=C^z in natürlichen Zahlen A,B,C,x,y,z mit x,y,z≥3 und ggT(A,B,C)=1.

Für x=y=z bekommt man die Fermat-Gleichung. Falls diese eine Lösung in natürlichen Zahlen hätte, könnte man durch herauskürzen gemeinsamer Teiler eine Lösung mit ggT(A,B,C)=1 bekommen, weshalb obige Vermutung den Großen Fermatschen Satz als Spezialfall enthält.

Die Vermutung heißt Beal-Vermutung, Beal hatte sie 1997 aufgestellt und ein Preisgeld von zunächst 5000 $ ausgelobt, das jedes Jahr bis 2006 um 5000 $ steigen sollte. Gelöst wurde das Problem trotzdem nicht und jetzt hat er also das Preisgeld auf 1 Million Dollar aufgestockt.

Da es sich um eine Verallgemeinerung des Fermat-Problems handelt, werden einfachere Beweisansätze wohl kaum Erfolgsaussichten haben. Bemerkenswert ist vielleicht, dass man ebenso wie beim Fermat-Problem für hinreichend große Exponenten die Gültigkeit der Vermutung als Korollar aus der abc-Vermutung bekommen würde. Ein Beweis der abc-Vermutung wurde im vergangenen Jahr angekündigt, bisher gibt es aber weder eingereichte Arbeiten noch Vorträge auf Konferenzen oder Seminaren zu diesem Beweis.

Es gibt eine explizite Form der abc-Vermutung, mit der man dann sogar die Zahl der möglichen Gegenbeispiele stark einschränken könnte. Für diese potentiellen Gegenbeispiele haben Darmon und Granville in Bull. London Math. Soc. 27 (1995), no. 6, 513–543 gezeigt, dass es nur endlich viele Lösungen geben kann. (Quasi die verallgemeinerte Version der Mordell-Vermutung.) In manchen Fällen sind die Lösungen explizit bekannt, zum Beispiel für A^3 +B^y =C^2 mit y\in\left\{5,7,8,9\right\} (Bruin, J. Number Theory 111 (2005), no. 1, 179–189. Poonen, Schaefer, Stoll Duke Math. J. 137 (2007), no. 1, 103–158.) Es gibt auch einige Fälle, in denen die Nichtexistenz teilerfremder Lösungen bekannt ist. Bennett zeigte, dass A^{2n}+B^{2n}=C^5 keine teilerfremden Lösungen hat und Bennett und Chen haben bewiesen, dass A^2+B^6=C^n keine teilerfremden Lösungen besitzt. In allen Fällen werden Methoden ähnlich wie beim Beweis der Fermat-Vermutung (Galois-Darstellungen, elliptische Kurven etc.) verwendet. Die Arbeit von Bennett und Chen gibt einen Überblick über bekannte Resultate.

Kommentare (6)

  1. #1 Ulrich Berger
    11. Juni 2013

    “Es gibt keine Lösungen von A^x+B^y+C^z in natürlichen Zahlen …”
    Na, der Beweis ist einfach: A^x+B^y+C^z ist keine Gleichung und hat daher auch keine Lösung. q.e.d.

  2. #2 Thilo
    11. Juni 2013

    Tippfehler korrigiert.

  3. #3 Thilo
    14. Juni 2013

    BILD berichtet: http://www.bildblog.de/49761/irrer-ist-menschlich/
    Witzigerweise schreibt BILD den Namen 2x falsch und 1x (bei der Email-Adresse) richtig.

    Und natürlich handelt es sich nicht um die diophantische Gleichung ax+by=cz. Die hätte wohl selbst ein BILD-Redakteur lösen können.

  4. #4 Micheln L
    Deuschland
    1. März 2015

    Ich habe die einfache Losung für GrosseFermat Gleichung. Ich kann beweisen, dass Fermat nicht gelügt hat Aber Ohne Preis kann ich nicht geben. Da 2 Jahre habe ich mit Fermat Gleichung mit Millionene Rechnungen geringt.Und Endlich ich habe einfache Lösung gefunden.

  5. #5 Mathe ist irre –
    28. Mai 2018

    […] Thilo bei Scienceblogs näher ausführt, stellte Andrew Beal die Vermutung, die eine Verallgemeinerung des erst 1995 […]

  6. #6 Thilo
    28. Mai 2018

    Ein Pingback vom 18. Juni 2013 – ich bin beeindruckt.