Zu einem Google-Doodle hat es nicht gereicht (das hatte gestern Friedrich Nietzsche), aber immerhin erinnert die Hauptseite der Wikipedia daran, dass heute vor 170 Jahren die Quaternionen erfunden wurden.

Deren Erfinder, William Rowan Hamilton, soll übrigens die Erfindung der Quaternionen – und nicht etwa die ebenfalls von ihm stammende Hamiltonsche Formulierung der Mechanik – als seinen bleibenden Beitrag zur Mathematik angesehen haben. Aus heutiger Sicht sicher eine Fehleinschätzung, denn auch innermathematisch spielt die Hamiltonsche Mechanik und vor allem ihre Verallgemeinerung zur Symplektischen Geometrie heute eine ungleich größere Rolle. Damals im 19. Jahrhundert jedenfalls waren die Quaternionen in Dublin ein eigenes Examensfach und 1895 wurde sogar ein „Weltbund zur Förderung der Quaternionen“ gegründet.

Die wichtigste Anwendung der Quaternionen ist wohl, dass man mit ihnen Drehungen einfacher beschreiben kann. Die Einheits-Quaternionen bilden eine Gruppe isomorph zur Lie-Gruppe SU(2), die wiederum die Drehgruppe SO(3) zweifach überlagert. (Also: jedem Einheitsquaternion entspricht eine Drehung, wobei A und -A derselben Drehung entsprechen.) Weil man Quaternionen einfacher multiplizieren kann als Matrizen, verwendet man sie wohl z.B. in der Computergrafik.

Ursprünglich hatte Hamilton ja eine Multiplikation auf dem Anschauungsraum R3 gesucht, analog zur Multiplikation auf der Ebene mittels komplexer Zahlen. Heute weiß man, dass das nicht geht und bemerkenswerterweise ist der Grund dafür ein topologischer:

Wenn es auf einem Rn eine Multiplikation (bilinear, ohne Nullteiler) gibt, dann erhält man (mittels der Homotopieäquivalenz Sn-1~Rn-{0}) eine Multiplikation (sogenannte H-Raum-Struktur) auf der Einheitssphäre Sn-1. Diese wiederum kann man benutzen, um n-1 linear unabhängige Vektorfelder auf der Sn-1 zu konstruieren. Mittels Bott-Periodizität (bzw. aus Bott-Periodizität folgenden Teilbarkeitseigenschaften charakteristischer Klassen) wurde aber Ende der 50er Jahre gezeigt, dass es n-1 linear unabhängige Vektorfelder auf der Sn-1 nur für n=1,2,4,8 geben kann. (Siehe John Milnor: “Some consequences of a theorem of Bott”.) Es gibt also nullteilerfreie Multiplikationen nur auf dem R1, R2 (komplexe Zahlen), R4 (Quaternionen) und R8 (Oktaven).

Kommentare (16)

  1. #1 michael
    17. Oktober 2013
  2. #2 Thilo
    17. Oktober 2013

    Jetzt sollte es gehen.

  3. #3 k.lauer
    17. Oktober 2013

    ehrlich gesagt, habe ich kein wort verstanden.

    gibt es für Quaternionen und was sich damot machen lässt, eine einfache Erklärung?

  4. #4 k.lauer
    17. Oktober 2013

    ehrlich gesagt, habe ich kein wort verstanden.

    gibt es für Quaternionen, und was sich damit so alles anrichten lässt, eine einfache Erklärung?

  5. #5 Thilo
    17. Oktober 2013

    Man kann damit 3-dimensionale Drehungen beschreiben und man kann recht schnell berechnen, was für eine Drehung man insgesamt bekommt, wenn man einen Gegenstand nacheinander mehrmals um unterschiedliche Achsen gedreht hat. Sowas ist wohl beim Programmieren von Computerspielen nützlich.

  6. #6 Thilo
    17. Oktober 2013
  7. #7 bfr
    17. Oktober 2013

    Warum ist der Name Hamilton auf dem Grabstein so unlesbar? Ausgeickst? Vandalismus?

  8. #8 Thilo
    17. Oktober 2013

    Das ist nicht der Grabstein, sondern der Gedenkstein an der Brücke, auf der Hamilton seine Erleuchtung gekommen ist. Der Legende nach soll er die in der vorletzten Zeile stehenden Gleichungen damals in das Brückengeländer geritzt haben.

  9. #9 MisterKanister
    17. Oktober 2013

    Quaternionen sind eine erweiterung der komplexen Zahlen. Also es sind einfach mehrere imaginäre Einheiten, anstatt nur einer.

    Gruss

  10. #10 sax
    17. Oktober 2013

    Neben der Tatsache dass man für die Multiplikation von zweier Quaternionen weniger (elementare) Multiplikationen braucht, als für die Multiplikation zweier Drehmatrizen, in denen die Drehungm mittels Eulerwinkeln beschrieben wird, haben Quaternionen einen weiteren Vorteil für die Numerik. Will man die zeitliche Etwicklung der Orientierung eines Partikels, bsp. bei DEM/Molekulardynamiksimultionen berechnen, enthalten die Differentialgleichungen für die Zeitentwicklung der Eulerwinkel Terme, die Proportional zu 1/sin(\theta) sind. (je nach verwendeter Definition auch phi oder psi). Wenn der Winkel nun sehr klein wird, braucht man extrem kleine Zeitschritte für die Simulation oder diese wird Instabil. Die Differentialgleichung, welche die Zeitentwicklung eines, die Orientierung beschreibenden Quaternions bestimmt, enthält hingegen keine singulären Terme und ist damit viel angenehmer zu simulieren. Man muss zwar sicherstellen, dass das Quaternion normiert bleibt, aber das ist in der Praxis kein großes Problem.

  11. #11 CM
    18. Oktober 2013

    Hm, mein Geschreibsel zum Thema MD-Simulationen & Co. wurde irgendwie verschluckt, aber dank ‘sax’ ist wohl alles abgedeckt.

  12. #12 Thilo
    18. Oktober 2013

    Tut mir leid, im Spamfilter hängt jedenfalls nicht. Die ständigen technischen Probleme sind schon ziemlich ärgerlich.

  13. #13 Thilo
    18. Oktober 2013

    Wenn nach Abschicken eines Kommentars “Service unavailable” erscheint, einfach mit dem Backbutton zurück und nochmal versuchen. Beim dritten oder vierten mal klappt es dann meistens:-)

  14. #14 Daniel Elstner
    Berlin
    18. Oktober 2013

    In der Tat ist die Verwendung von Quaternionen für Rotationen in der 3D-Grafik sehr verbreitet. Gegenüber Matrizen haben Quaternionen den Vorteil, dass sie trotz akkumulierenden Rundungsfehlern immer eine reine Rotation darstellen (nach Renormalisierung).

  15. #15 Swanhild Bernstein
    19. Oktober 2013

    Hamilton hat die Quaternionen als seine größte Entdeckung/Erfindung gesehen, weil er darüber nachgedacht hat wie man 3D Vektoren DIVIDIEREN kann. In der Algebra der rellen Quaternionen, die nicht kommutativ aber nullteilerfrei ist, gibt es zu jedem Element (ungleich Null) ein inverses Element. Auf diese Weise kann man auch eine Funktionentheorie aufbauen. Arbeiten dazu stammen aus den 30iger Jahren vom schweizer Mathematiker Fueter. Verallgemeinern läßt sich diese Theorie, wenn an Stelle der Quaternionen die Clifford-Algebren betrachtet werden. Eine Anwendung findet das ganze zum Beispiel als geometrische Algebren, die insbesondere von Hestenes begründet wurde. Anwendungen gibt es in der Robotik. Mit Hilfe der algebraischen Struktur kann man Nulllösungen eines Dirac-Operators betrachten, diese Nulllösungen heißen monogene Funktionen.
    Eine Anwendung ist das monogene Signal von Felsberg und Sommer, das das analytische Signal von Gabor in höhere Dimensionen verallgemeinert und deshalb in der Bildverarbeitung von Interesse ist.

  16. #16 michiS
    22. Oktober 2013

    ….war ben am wieder-checken von NJW’s Hamilton-Serie 13a-c: da setzt er mit seinen Proportionen statt Winkeln (notion of half-turn instead of angle: this is well suited to connect with the lovely algebraic structure of quaternions) noch etwas besonderes drauf !
    Oder ?: