Hochsymmetrische Fraktale und Peano-Kurven

Im Januar-Heft der Annals of Mathematics findet sich eine Arbeit eines hinduistischen Mönchs über den Beweis der Cannon-Thurston-Vermutung für Flächen: “Cannon-Thurston maps for surface groups”.

Eine Methode zur Konstruktion von Fraktalen mit vielen Symmetrien sind Limesmengen Kleinscher Gruppen: man nimmt eine diskrete Gruppe von Isometrien des hyperbolischen Raumes, schaut sich den Orbit eines Punktes unter dieser Gruppenwirkung an und definiert die Limesmenge als diejenigen Punkte in der Sphäre (dem “Rand im Unendlichen” des hyperbolischen Raumes), die sich durch Punkte im Orbit beliebig gut annähern lassen. (Oder formal ausgedrückt: man nimmt den Abschluss des Orbits und schneidet ihn mit der Sphäre im Unendlichen.) Wenn die Gruppe nur von einer einzelnen Isometrie erzeugt wird, besteht die Limesmenge nur aus maximal zwei Punkten. Im Allgemeinen können diskrete Gruppen von Isometrie des hyperbolischen Raumes aber sehr kompliziert sein und entsprechend kompliziert sehen dann auch die Limesmengen aus.

Eine naheliegende Frage ist dann, wieweit die fraktale Geometrie der Limesmenge schon durch die algebraischen Eigenschaften der Gruppe bestimmt wird. Einerseits findet man leicht Beispiele von abstrakt isomorphen Gruppen, deren Limesmengen sehr unterschiedlich aussehen (siehe unten Beispiele von Fundamentalgruppen von Flächen, deren Limesmengen Kreise oder zum Beispiel auch Peano-Kurven sein können), andererseits hatte Thurston aber vermutet, dass für jede zu einer geometrisch endlichen Gruppe isomorphen Gruppe die Limesmenge sich als stetiges Bild der Limesmenge der geometrisch endlichen Gruppe darstellen läßt. (Im Fall der Fundamentalgruppen von Flächen heißt das, dass sich jede Limesmenge einer solchen Gruppe durch den Kreis parametrisieren läßt.)
Eine andere eng mit der vorherigen zusammenhängende Vermutung von Thurston war, dass für jede endlich erzeugte Kleinsche Gruppe mit zusammenhängender Limesmenge die Limesmenge sogar lokal zusammenhängend ist. (Lokaler Zusammenhang ist in der fraktalen Geometrie oft eine wichtige und schwer zu beweisende Eigenschaft. Zum Beispiel ist der Rand der Mandelbrotmenge lokal zusammenhängend, was zahlreiche Anwendungen in der komplexen Dynamik hat.)
Diese Vermutung (und die vorhergehende im Falle von Fundamentalgruppen von Flächen) ist jetzt in Mj’s Arbeit bewiesen worden.

Galerie (McMullen)

Die Limesmenge einer Gruppe Γ kodiert Informationen über den Quotientenraum . Zum Beispiel: wenn endliches Volumen hat, dann ist die Limesmenge die gesamte Sphäre (und damit aus Sicht der fraktalen Geometrie natürlich eher uninteressant).

3-dimensionale Mannigfaltigkeiten wie untersucht man in der Topologie oft, indem man sich in der 3-Mannigfaltigkeit liegende inkompressible (d.h. π₁-injektive) Flächen anschaut.

Der einfachste Fall sind totalgeodätische Flächen : deren Hochhebung in die universelle Überlagerung entspricht einer hyperbolischen Ebene und die Limesmenge von ist (falls S ebenfalls endliches Volumen hat) einfach der diese hyperbolische Ebene im Unendlichen berandende Kreis.

In der Regel sind Flächen in hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten nicht total-geodätisch. In jedem Fall låßt sich eine π₁-injektive Abbildung aber zu einer Abbildung hochheben, nach Wahl (irgend)einer hyperbolischen Metrik auf S ist das eine Abbildung .

Wenn zum Beispiel M ein Faserbündel über dem Kreis mit Faser S ist, dann kann man leicht zeigen, dass die Limesmenge der Gruppe die gesamte Limesmenge von Γ (im Fall einer Mannigfaltigkeit endlichen Volumens also die gesamte Sphäre) sein muss.

Andererseits ist der Rand im Unendlichen von aber einfach ein Kreis. Wenn man die Abbildung auf den Rand im Unendlichen fortsetzen könnte, hätte man also einerseits eine Abbildung (also eine geschlossene Kurve) andererseits müßte diese Abbildung als Bild die gesamte Sphäre haben (weil die Limesmenge die ganze Sphäre ist), man hätte also eine sphärenfüllende Kurve.

Nun weiß man natürlich seit mehr als 100 Jahren, dass es solche sphärenfüllenden Kurven gibt (Stichwort Peano-Kurven, siehe TvF 29), aber diese hier sollen zusätzlich noch sehr hohe Symmetrie haben, nämlich unter dem Bild von in der Isometriegruppe des hyperbolischen Raumes invariant sein.