Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegungen viskoser (dickflüssiger) Flüssigkeiten und Gase. Also das was man braucht, um zum Beispiel die Aerodynamik eines Flugzeugs zu modellieren.

Numerische Simulationen der Navier-Stokes-Geichungen sind oft sehr instabil.

Auch aus Theoretiker-Sicht sind selbst die grundlegendsten Fragen ungelöst: gibt es zu jedem Startwert eine “glatte” Lösung oder “explodiert” die Lösung? (Der mathematische Fachbegriff für solche Explosionen ist “blow up”.) Diese Frage ist eines der sieben mit einem Preisgeld von 1 Million Dollar ausgelobten Milleniumprobleme des Clay-Instituts.

Ein am Montag auf dem ArXiv erschienener Preprint “Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation” von Terence Tao beweist nun, dass jedenfalls die Lösungen einer “gemittelten” Navier-Stokes-Gleichung explodieren.

Der “Nutzen” für das eigentliche Problem ist erstmal nur, dass damit verschiedene Ansätze zum Beweis der Existenz glatter Lösungen der Navier-Stokes-Gleichung von vornherein nicht funktionieren können. Aber es macht es vielleicht doch etwas wahrscheinlicher, dass auch die ursprünglichen Navier-Stokes-Gleichungen, also die Bewegungen von Flüssigkeit und Gasen explodieren könnten. Tao schreibt in seinem Blog:

There is a real (but remote) possibility that this sort of construction can be adapted to the true Navier-Stokes equations. The basic blowup mechanism in the averaged equation is that of a von Neumann machine, or more precisely a construct (built within the laws of the inviscid evolution {\partial_t u = \tilde B(u,u)}) that, after some time delay, manages to suddenly create a replica of itself at a finer scale (and to largely erase its original instantiation in the process). In principle, such a von Neumann machine could also be built out of the laws of the inviscid form of the Navier-Stokes equations (i.e. the Euler equations). In physical terms, one would have to build the machine purely out of an ideal fluid (i.e. an inviscid incompressible fluid). If one could somehow create enough “logic gates” out of ideal fluid, one could presumably build a sort of “fluid computer”, at which point the task of building a von Neumann machine appears to reduce to a software engineering exercise rather than a PDE problem (providing that the gates are suitably stable with respect to perturbations, but (as with actual computers) this can presumably be done by converting the analog signals of fluid mechanics into a more error-resistant digital form). The key thing missing in this program (in both senses of the word) to establish blowup for Navier-Stokes is to construct the logic gates within the laws of ideal fluids. (Compare with the situation for cellular automata such as Conway’s “Game of Life“, in which Turing complete computers, universal constructors, and replicators have all been built within the laws of that game.)

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Kommentare (11)

  1. #1 Bjoern Feuerbacher
    9. Februar 2014

    Es wäre mir neu, dass die Navier-Stokes-Gleichungen nur für inkompressible Fluide gelten würden… Meine Hydrodynamik-Vorlesung ist zwar schon ein paar Jährchen her, aber zumindest Wikipedia stimmt mir zu.

  2. #2 Thilo
    9. Februar 2014

    Stimmt, die Inkompressibilität spielt keine Rolle. Ich habe das Wort dann mal herausgenommen.

  3. #3 rolak
    9. Februar 2014

    nur für inkompressible Fluide

    Und wo steht das oben im post, Bjoern? Was ich sehe, sind genau die Punkte, die Navier-Stokes gegenüber Euler leistet.

  4. #4 Max Erwengh
    9. Februar 2014

    Es ist eigentlich die Viskosität die bei Navier-Stokes hinzukommt. Die Euleur Gleichung beinhaltet natürlich auch kompressibilität (v*div)v, jedoch kann man selbst bei Luft bis zu bestimmten Geschwindigkeit von einer inkompressiblen Flüssigkeit sprechen, wodurch der Term verschwindet.

  5. #5 Max Erwengh
    9. Februar 2014

    Sorry was ich geschrieben hab stimmt nicht so ganz

  6. #6 Bjoern Feuerbacher
    10. Februar 2014

    @rolak: Es steht nicht mehr oben, weil Thilo es, wie er gerade geschrieben hat, herausgenommen hat…

  7. #7 rolak
    10. Februar 2014

    steht nicht mehr oben

    Da verwechselst Du etwas, Bjoern, er hat das ‘inkompressibel’ herausgenommen (nachdem mein Kommentar bereits abgeschickt war und angezeigt wurde), das ausschließlich in Deiner Bemerkung vorkommende auschließende ‘nur’, um das es mir -wie an der Fettung zu sehen-  eben ging, stand dort noch nie.

  8. #8 Bjoern Feuerbacher
    11. Februar 2014

    @rolak: Ja. das stand da nicht – aber war ja wohl impliziert. Wenn jemand schreibt “Gleichung xy gilt für yz Flüssigkeiten”, dann meint er normalerweise damit, dass die auch nur für solche yz Flüssigkeiten gilt und nicht auch für andere.

  9. #9 rolak
    11. Februar 2014

    dann meint er normalerweise damit

    Genau Bjoern, solltest Du ganz dringend beim deutschen Sprachamt einfordern, diese döselige Buchstabenkombination ‘nur’ vom Markt zu nehmen, da sie doch implizit eh immer gilt — wer so was tatsächlich hinschreibt, befleißigt sich doch nur eines verschwenderischen Manierismus’.

    Selbstverständlich gilt bei jeder Erweiterung, das trotz der Beschränkung der Beschreibung auf das Erweiternde das Erweiterte ebenfalls noch umfasst wird, in diesem Falle die reibungsfreien (also nicht viskosen) Fluide, was bei Deiner wunderlichen Interpretation der deutschen Sprache ja eigentlich nicht der Fall sein dürfte.
    Und genauso selbstverständlich gibt es auch NSG für inkompressible Fluide, was jetzt leider oben nicht mehr aufgeführt ist.

  10. #10 Thilo
    27. Februar 2014
  11. #11 Thilo
    27. Juli 2015

    Zu den explodierenden Flussigkeiten und allgemein zu Terence Tao gibt es nun einen langen Artikel in der New York Times: http://www.nytimes.com/2015/07/26/magazine/the-singular-mind-of-terry-tao.html?_r=0