Das Institute for Advanced Study veranstaltet einmal im Jahr die Marston Morse Lectures, um in aktuelle Hot Topics der Mathematik einzuführen. Letztes Jahr zum Beispiel Larry Guth über unerwartete Anwendungen von Polynomen in Kombinatorik, Kodierungstheorie und Inzidenzgeometrie. Dieses Jahr war der Titel Arithmetische hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten, perfektoide Räume und Galois-Darstellungen und wie letztes Jahr sind auch diesmal wieder die drei Vortrags-Videos online.


Der erste Vortrag beginnt erstmal mit einem 15-minütigen Crash-Kurs in Galois-Theorie und der Definition der absoluten Galois-Gruppe Gal(\overline{\bf Q}/{\bf Q}) und gibt dann noch eine Einführung in den Beweis des großen Satzes von Fermat: eine Lösung a^p+b^p=c^p gibt eine elliptische Kurve y^2=x(x-a^p)(x+b^p), auf deren p-Torsionspunkten Gal(\overline{\bf Q}/{\bf Q}) wirkt. Diese Darstellung der Galois-Gruppe hat bestimmte “Verzweigungseigenschaften”, aus denen folgt, dass die Darstellung zu einer gewissen Modulform mit bestimmten Eigenschaften assoziiert ist – Eigenschaften, von denen Wiles und Wiles-Taylor aber bewiesen haben, dass sie unmöglich sind. Offensichtlich eine überzeugende Anwendung von Galois-Darstellungen. Im Rest des Vortrages werden dann die Modulkurve SL(2,Z)\backslash H^2 und ihre Überlagerungen eingeführt, die F_p-Homologie der entsprechenden (über {\bf Q} definierten) algebraischen Kurven gibt (mittels einer nicht näher erläuterten Maschinerie namens “etale Kohomologie”) Darstellungen der absoluten Galois-Gruppe.

Die absolute Galois-Gruppe Gal(\overline{\bf Q}/{\bf Q}) will man über ihre Homomorphismen zu endlichen Gruppen GL(n,F_p) verstehen. Eine offene Vermutung von Serre besagt, dass man alle solchen Darstellungen durch die Torsionsuntergruppen der Homologiegruppen lokalsymmetrischer Räume erhält. Der zweite Vortrag behandelt arithmetische hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten, speziell die Bianchi-Mannigfaltigkeiten SL(2,O_K)\backslash H^3. Die haben keine algebraische Struktur, sind also (anders als noch im 2-dimensionalen Fall) den klassischen Methoden aus der Theorie der Shimura-Varietäten nicht zugänglich. Trotzdem erhält der Autor auf den (in diesem Fall oft sehr großen) Torsionsgruppen Galois-Darstellungen mit gewissen Eigenschaften (die Spur der Bilder von Frobeniuselementen gibt Eigenwerte gewisser “Hecke-Operatoren”), eine alte Vermutung von Ash, die wohl ursprünglich auf Berechnungen von Grunewald zurückgeht. In der zweiten Hälfte des Vortrags wird das dann an konkreten Beispielen vorgeführt.

Im dritten Vortrag geht es schließlich um den allgemeinen Satz, dass sich jedes System von Hecke-Eigenwerten in der F_p-Homologie eines lokalsymmetrischen Raumes durch eine Galois-Darstellung realisieren läßt. Und irgendwie kommen dabei dann auch die perfektoiden Räume ins Spiel …

Kommentare (8)

  1. #1 Thilo
    18. September 2014

    Was ist ein perfektoider Raum? http://www.ams.org/notices/201409/rnoti-p1082.pdf

  2. #2 Thilo
    28. Juli 2017

    The perfection concept: test case for an absent theory http://www.math.columbia.edu/~harris/otherarticles_files/perfectoid.pdf

  3. #3 rolak
    28. Juli 2017

    Durch Erinnerung und Lückenhaftigkeit (nicht lückenhafte Erinnerung) fiel auf, daß die Videos von der ias nach YT ausgelagert wurden und die alten urls ins Leere führen. Einen Wegweiser haben sie immerhin noch stehenlassen…
    Nur die die clips der im just einkommentierten pdf erwähnten, 6-teiligen IHES-Vortragsreihe vom perfektoiden Peter waren auf die Schnelle nicht auffindbar…

  4. #4 Thilo
    28. Juli 2017

    Oh, das war mir gar. nicht aufgefallen. Jetzt sind die Videos aber wieder im Artikel verlinkt.

  5. #5 Thilo
    25. November 2017
  6. #6 hubert taber
    29. Juli 2018

    auch kurz und bündig zu den diversen “räumen”:
    http://scienceblogs.de/mathlog/2018/07/20/die-g-vermutung/#comment-234555

    mfg. h.t.

  7. #7 Thilo
    1. August 2018

    Im neuen SPIEGEL gibt es einen Artikel, in dem steht, dass jeder mathematisch Gebildete die Arbeiten über perfektoide Räume verstehen könne. Das halte ich für etwas übertrieben.