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Dreieckszahlen, Reptilien und vieles mehr …
Wie jeden Monat wieder das aktuelle Blatt des KIAS-Wandkalenders, der Lesbarkeit halber wieder in zwei Hälften:

Foto 1 (1)
Bei der 1 geht es natürlich um die Identität 1=0,9999… Der Eintrag bei der 2 gehört in die Theorie der aperiodischen Teilungen, es geht um tiles (Teile), mit denen man die Ebene komplett überdecken kann. Ein solches Teil heißt rep-n-tile, wenn es sich in n kongruente Stücke zerlegen läßt. Das Bild bei der 2 zeigt die beiden einzigen rep-2-tiles.

Der Eintrag bei der 3 (Bild unten) spielt auf Carl Friedrich Gauß’ Tagebucheintrag vom 10.Juli 1796 an: EYPHKA num = Δ + Δ + Δ. Jede Zahl kann als Summe dreier Dreieckszahlen zerlegt werden – schon Fermat hatte in einer Randnotiz behauptet, dafür einen wunderbaren Beweis zu haben, aber erst der 18-jährige Gauß fand diesen. (Eine Dreieckszahl ist eine Zahl, die sich wie im Titelbild oben als Anzahl der Steine in einem gleichzeitigen Dreieck darstellen läßt, also 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,…)

Allgemeiner läßt sich jede Zahl als Summe von n n-Ecks-Zahlen darstellen (Fermatscher Polygonalzahlensatz). Insbesondere, und darauf soll der Eintrag bei der 4 hinweisen, ist jede Zahl die Summe von 4 Quadratzahlen, wobei zufälligerweise die hier verwendete Bedeutung des Wortes Quadratzahl mit der sonst in der Zahlentheorie gebräuchlichen (Quadrat einer ganzen Zahl) übereinstimmt, denn die Zahl der Steine in einem Quadrat ist als Quadrat der Steine auf einer Kante gerade eine Quadratzahl im herkömmlichen Sinne. Der 4-Quadrate-Satz ist natürlich ein klassischer zahlentheoretischer Satz, der schon 1770 von Lagrange bewiesen worden war, also vor Gauß Beweis für Dreieckszahlen 1796. Die allgemeine Form des Fermatschen Polygonalzahlensatzes bewies Cauchy 1813.

Die 5 zeigt das Fünferlemma, ein zur homologischen Algebra gehörendes wichtiges Hilfsmittel der algebraischen Topologie: wenn die beiden Zeilen exakte Folgen sind und man von den 5 vertikalen Abbildungen weiß, dass die vier äußeren Abbildungen Isomorphismen sind, dann ist auch die mittlere der 5 Abbildungen ein Isomorphismus. Man verwendet das Lemma in der Topologie typischerweise, um Aussagen über relative Homologiegruppen auf bereits bewiesene Aussagen über absolute Homologiegruppen zurückzuführen unter Benutzung der langen exakten Sequenz, bei der eben um die relative Homologegruppe herum vier absolute Homologiegruppen stehen.

Die 6 zeigt eine Variante des Basel-Problems, über die (in leicht abgewandelter Form) wir hier schon einmal geschrieben hatten. Bei der 8 wird die Acht auf die Seite gestellt und bei der 31 die ganze Gleichung auf den Kopf, diesen Eintrag hatten wir ja neulich als Rätsel gestellt.

Eine (abstrakte) projektive Ebene ist eine Inzidenzstruktur, bei der es durch je zwei Punkte eine Gerade und zu je zwei Geraden einen Schnittpunkt gibt. Bei endlichen projektiven Ebenen gibt es eine Zahl n (die “Ordnung” der projektiven Ebene), so dass auf jeder Gerade n+1 Punkte liegen, jeder Punkt zu n+1 Geraden gehört, und es insgesamt je n2+n+1 Punkte und Geraden gibt. Erst mit großem Computereinsatz konnte in den 80er Jahren bewiesen warden, dass es keine projektive Ebene der Ordnung 10 (also mit 121 Punkten und Geraden) gibt.

Den 14-flächigen Würfel kannte ich bisher nicht, mit Google findet man Verweise auf Star Trek. Beim Bild zur 20 ist bemerkenswert, dass die Länge der Strecke nicht von der Länge der Basis abhängt, die 45 und 36 cm langen Senkrechten können beliebig nah oder weit voneinander entfernt sein.

Die 28 exotischen 7-Sphären schließlich sind eine berühmte Entdeckung von John Milnor, für die (unter anderem) er 2011 den Abelpreis erhielt und über die wir hier geschrieben hatten, siehe auch dieses Video.
Foto 2

Kalenderblätter vom Juni, Mai, März und April.

Kommentare (13)

  1. #1 Hendrik
    1. Juli 2014

    Wo bekommt man diesen Kalender ?

  2. #2 Hans
    1. Juli 2014

    Wo kann man diesen wunderbaren Kalender erstehen?

  3. #3 Thilo
    1. Juli 2014

    Das ist leider ein Einzelstück unseres Instituts, ich hatte in http://scienceblogs.de/mathlog/2014/04/28/kias-kalender-mrz-und-april/ amEnde des Artikels mal ein Gesamtbild des ca. 2 Meter hohen Kalenders gepostet.

  4. #4 rolak
    2. Juli 2014

    21 und 23 gefallen mir am spontan besten – doch die 45/36/20-Grafik betört als mögliche Denksport-Aufgabe. Gibts da vieleicht eine hübsche elegante Lösung oder ist der (auch nicht sooo komplexe) Weg über die Geradengleichungen bereits das Maß der Dinge?

  5. #5 Thilo
    2. Juli 2014

    Man kann Ähnlichkeit von Dreiecken ausnutzen oder (was auf dasselbe hinausläuft) den Strahlensatz. Wenn man die Abschnitte der Basisseite mit a,b bezeichnet und die gesuchte Streckenlänge mit x, dann hat man \frac{a}{a+b}=\frac{x}{36}, \frac{b}{a+b}=\frac{x}{45} und weil die Summe der beiden linken Seiten 1 ist, folgt 1=\frac{x}{36}+\frac{x}{45}. Dann muß man nur noch wissen, dass \frac{1}{36}+\frac{1}{45}=\frac{1}{20} Ist.

  6. #6 rolak
    2. Juli 2014

    muß man nur noch wissen

    Der für Unwissende beim Berechnen auftretende Term 36*45/81 erblickt in ‘meiner’ Variante auch das Licht der Schmierpapier-Oberfläche (und wer den ausrechnet statt zu kürzen hat eh verloren). Rechnerisch halte ich die Lösungen daher für gleichwertig, beide sind nicht nur Bierdeckel-, sondern sogar Briefmarken-gerecht.
    Trotzdem ist Deine wohl einen Tick leichter, Thilo, da afaik Strahlensatz im schulischen Ausbildungskanon vor Geradengleichungen kommt.

  7. #7 michael
    2. Juli 2014

    Wenn die senkrechten Seiten die Längen a und b (statt 45 und 36) haben, ist x die Hälfte des Harmonischen Mittels von a und b, so ich richtig gerechnet habe.

    Aber wozu ist das harmonische Mittel überhaupt gut?

  8. #8 Thilo
    2. Juli 2014

    x ist die Hälfte des harmonischen Mittels, schließlich ist es ja kleiner als beide.

    Mit dem harmonischen Mittel kann man zum Beispiel Durchschnittsgeschwindigkeiten berechnen. Wenn man eine Hälfte der Strecke mit 45 km/h fährt und die andere Hälfte mit 36 km/h, ist man insgesamt mit 40 km/h gefahren.

  9. #9 Frank Wappler
    http://es.gibt.Sachen—die.es.nur.insofern.gibt—als.man.sie.so.benennen.kann...
    2. Juli 2014

    Das aktuelle Blatt des KIAS-Wandkalenders (Juli 2014) zeigt im Feld für den 8. Juli:

    > \text{lim}_{\, x \rightarrow 8} \frac{1}{|x - 8|} = \infty

    Existiert der Grenzwert, so konvergiert die Funktion, andernfalls divergiert sie […]

    Hmm …

    Hat der Platz im Kalender, im Feld des 8. Juli 2014, denn nicht ausgereicht um

    \forall \, T \in \mathbb{R} \, \, \exists \, \delta \in \mathbb{R} : x \in (8 - \delta \, \, ... \, \, 8 + \delta) \, \implies \, \frac{1}{|x - 8|} > T

    hinzudrucken? …

  10. #10 Carsten Milkau
    Halle (Saale)
    5. August 2014

    Also dass der Begriff “Quadratzahl” im Sinne der 4-Ecks-Zahl und der 2-ten Potenz einer Zahl hier übereinstimmt, ist nun wirklich kein Zufall, denn genau darum heißt die zweite Potenz ja eben “Quadrat”. 😉

    Und noch ein Klugschiß für Frank: ^^ die Kurzschreibweise “lim … = ∞” ist prägnant, üblich und vor allem auch gerechtfertigt, wenn man topologische Konvergenz in der Einpunktkompaktifizierung R ∪ {∞} von R betrachtet. Man kann sogareine Nichtstandard-Metrik (abgeleitet von der stereographischen Projektion) definieren, die eine schöne metrische Konvergenz gegen ∞ ergibt.

    Interessanter fände ich eine Geschichte zu der Symbolik, es sieht ein bißchen danach aus als wird die 8 beschossen und liegt dann darnieder. Aber was ist ihr in der Mitte passiert?

  11. #11 Thilo
    20. August 2014

    Der Kalender für 2015 wird übrigens (in üblicher Wandkalendergröße) hier auf dem ICM für 5 Dollar verkauft. Ich werde mal versuchen herauszufinden, ob man ihn auch irgendwo online bestellen kann.

  12. #12 rolak
    20. August 2014

    Es werden noch Wetten angenommen, wie groß der Faktor von Kalender nach Porto ist 😉 Interessant wäre es aber schon.

  13. […] Eintrag bei der 2 bezieht sich auf die rep-2-tiles, über die wir im Juli geschrieben hatten und der Eintrag bei der 3 vergleicht das Volumen einer Pyramide mit dem eines Prismas gleicher […]