Pascals magisches Sechseck, Rep-4-tile, Two Twos und allerlei Zahlenspielereien – auch diesen Monat wieder die obligatorischen Bilder vom KIAS-Mathekalender:
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Die Formel für die 2 ergibt sich unmittelbar aus 0=(1-1)^{2n}={2n \choose 0}-{2n \choose 1}+{2n \choose 2}-\ldots-{2n \choose 2n-1}+{2n \choose 2n}
durch Multiplikation mit (-1) und Addition von 2={2n \choose 0}+{2n \choose 2n}.
Ein Rep-4-tile (Bild unten) ist ein Teil, das in 4 kleinere Kopien seiner selbst zerlegt werden kann. Als Pascals mystisches Hexagramm bezeichnet man 6 auf einem Kegelschnitt liegende Punkte P_1,\ldots,P_6 – der Satz von Pascal besagt, dass die drei Punkte P_7,P_8,P_9 im Titelbild oben auf einer Geraden liegen, änlich wie beim Satz von Pappos, bei dem es aber um auf 2 Geraden liegende Punkte P_1,\ldots,P_6 geht.

Bei der 15, also der Berechnung von tan(15o) muss man noch beachten, dass \frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3} ist. Und bei der 18 muß man sich wieder einmal auf den Kopf stellen. Die Two Twos bei der 22 spielen wohl auf einen Londoner Slangausdruck den stationären Wert der Conway-Folgean.

Die 24 ist eine hochzusammengesetzte Zahl, weil sie mehr Teiler hat als jede kleinere Zahl. Und 28 ist eine Dreieckszahl, weil sich in einem Dreick der Länge 7 eben 28 Steine unterbringen lassen.

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Eine Version des Mathe-Kalenders für 2015 in handelsüblicher Größe wurde übrigens auf dem ICM für 5 Dollar verkauft. (Und wird, nehme ich an, sicherlich auch noch bei anderen Gelegenheiten vertrieben werden.)
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Kommentare (10)

  1. #1 Jakob H.
    1. September 2014

    Wahrscheinlich ist bei der 22 auch die Conway-Folge im Spiel.

  2. #2 Frank Wappler
    http://Ecken.und.Kanten
    2. September 2014

    Thilo schrieb (September 1, 2014):
    > 28 ist eine Dreieckszahl, weil sich in einem Drei[e]ck der Länge 7 eben 28 Steine unterbringen lassen.

    Falls entsprechend auch 1 deshalb eine Dreieckszahl wäre, weil “sich in einem Dreieck
    der [Seiten-]Länge 1 eben 1 Stein unterbringen
    ” ließe,
    dann ließen sich in einem Dreieck der Seitenlänge 7 aber sicher mindestens 49 derartige (gleiche) Steine unterbringen.

    Und falls, wie der Wikipedia-Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Dreieckszahl nahelegt, 28 deshalb eine Dreieckszahl wäre, weil “man diese Anzahl von Steinen benötigt, um ein gleichseitiges Dreieck zu legen“, dann wären auf jeder Seite der aus 28 Steinen gelegten Dreiecksseiten dieses gleichseitigen Dreiecks offenbar 10 Steine.

  3. #3 rolak
    2. September 2014

    Manchmal wunderts mich, daß er überhaupt den button findet zum Kommentar abschicken, dürfte doch in seiner Welt ein völlig anderes Erscheinungsbild haben…

  4. #4 Frank Wappler
    http://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_tiling
    2. September 2014

    p.s.
    Frank Wappler schrieb (#2, 2. September 2014):
    > […] wären auf jeder Seite der aus 28 Steinen gelegten
    Dreiecksseiten dieses gleichseitigen Dreiecks offenbar 10 Steine.

    Ach, nein!: dazu wären ja nur 27 Steine erforderlich.

  5. #5 rolak
    2. September 2014

    spielen wohl auf einen Londoner Slangausdruck an

    Nicht vielleicht doch ein wenig patriotischer, Thilo?

    noch bei anderen Gelegenheiten

    Da die Anreise auch dann ähnlich unangemessen wäre: Könnte man die – selbstverständlich +Porto/+Versandaufwand – evtl bei Dir bestellen?

  6. #6 Thilo
    2. September 2014

    Jakob wird wohl recht haben, dass bei der 22 der stationäre Wert der Conway-Folge gemeint ist.

  7. #7 Thilo
    2. September 2014

    @rolak: Vielleicht bei meinem nächsten Deutschlandbesuch. Hier aus Korea zu verschicken wäre ziemlich kompliziert, weil es hier für Privatkunden überhaupt keine Postämter mehr gibt. (Oder zumindest habe ich noch keines gesehen.) Hier erledigt man inzwischen alles per Internet, selbst Bestellungen bei McDonalds, Briefe zu schreiben kennt man nicht mehr. Eine Online-Bestelladresse für den Kalender habe ich aber auch nicht gefunden, vielleicht kommt die noch.

  8. #8 Frank Wappler
    http://feuchter.Dreick
    2. September 2014

    Thilo schrieb (September 1, 2014):
    > 28 ist eine Dreieckszahl, weil sich in einem Drei[e]ck der Länge 7 eben 28 Steine unterbringen lassen.

    Wahrscheinlicher:
    28 ist eine Dreieckszahl, weil die Parkettierung eines gegebenes Dreiecks mit 36 gleichen Dreiecken 28 (innere oder äußere) Ecken aufweist.

    Allgemeiner: für natürliche Zahlen n \ge 2 weist die Parkettierung eines Dreiecks mit (n - 1)^2 gleichen Dreiecken {n + 1 \choose 2} (innere oder äußere) Ecken auf; also (auch laut KIAS-Kalender) eine Anzahl von Ecken gleich der n-ten Dreieckszahl.

    (Die Auffassung der Werte 1 oder gar 0 als “Dreieckszahlen” wäre aber nur anders, formal bzw. als Konvention zu rechtfertigen.)

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