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Kusszahlen, Leech-Gitter und Anordnungen von Kugeln – wie jeden Monat wieder einige Kommentare zu den Einträgen unseres aktuellen Wandkalenders.
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Die Formel bei der 1 prüft man wohl am schnellsten nach, indem man alles auf den Hauptnenner (a-b)(a-c)(b-c) bringt.

Bei Sn:An im Eintrag zur 2 geht es um die Alternierende Gruppe An, die eine Untergruppe vom Index 2 in der Symmetrischen Gruppe Sn ist. (Als “symmetrische Gruppe” bezeichnet man die Gruppe der Permutationen von n Elementen, bekanntlich hat diese Gruppe n! Elemente. Die “alternierende Gruppe” besteht aus denjenigen Permutationen, die eine gerade Anzahl von Fehlständen aufweisen. Diese Gruppe hat n!/2 Elemente.)

Die 7 ist eine Mersenne-Primzahl, die 10 eine Dreieckszahl. Die Berechnungen bei 9 und 11 ergeben sich aus den Formeln \coth(\log(y))=\frac{y^2+1}{y^2-1} und \cosh(\log(2))=\frac{1}{2}(2+\frac{1}{2})=\frac{5}{4} .

Wie das Titelbild oben zeigt, kann man 12 gleichgroße Kugeln im 3-dimensionalen Raum so anordnen, dass sie eine zentrale Kugel gleicher Größe berühren. Es war lange offen, ob es auch mit 13 Kugeln geht, widerlegt wurde das erst in den 50er Jahren von Schütte, van der Waerden und Leech. Die einzigen höheren Dimensionen, in denen diese Kusszahl bekannt ist, sind 4, 8 und 24. Im 24-dimensionalen Raum gibt es eine sehr elegante Anordung der Kugeln, nämlich auf den Punkten des Leech-Gitters, dem der Eintrag zur 24 gewidmet ist.

Die 17 ist eine Fermatsche Primzahl.
Die Berechnung der Reihe \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{2^n} im Eintrag zur 26 kann man mittels der Identität \sum_{n=1}^\infty 3\frac{n^2}{2^n}+3\frac{n}{2^n}+\frac{1}{2^n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^3}{2^n}-\frac{n^3}{2^n}=2(-\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty\frac{n^3}{2^n})-\sum_{n=1}^\infty\frac{n^3}{2^n}=-1+\sum_{n=1}^\infty\frac{n^3}{2^n} auf die Berechnung der Summen \sum_{n=1}^\infty \frac{n^k}{2^n} für k=2,1,0 zurückführen, diese wiederum kann man sukzessive aus \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} =1 berechnen, man erhält \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}=2 , \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n} =6 und schließlich \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{2^n}=26 .

Die im Stellenwertsystem zur Basis 29 als 2929 geschriebene Zahl ist die Primzahl 67.

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Kommentare (6)

  1. #1 volki
    2. Oktober 2014

    Haben die sich bei 23 verechnet? Ich bekomme (2+3)^2 -3=22.

  2. #2 Frank Wappler
    http://five.to.the.power.of.two--is.equal.to.twenty-six--for.a.sufficiently.powerful.notion.of.power
    2. Oktober 2014

    Thilo schrieb (Oktober 2, 2014):
    > KIAS-Kalender Oktober 2014

    Die vier Ecken des im Eintrag 3 gezeigten Tetraeders (von denen drei ein gleichseitiges
    Dreieck bilden) sind zueinander eben.

    p.s.
    volki schrieb (#1, 2. Oktober 2014):
    > Haben die sich bei 23 verechnet? Ich bekomme (2 + 3)^2 – 3 = 22.

    Nice catch!

  3. #3 Thilo
    2. Oktober 2014

    Das mit der 23 ist natuerlich witzig. Ich werde mal bei Gelegenheit einen der Macher fragen, ob der Fehler schon jemandem aufgefallen war.

  4. #4 Thilo
    2. Oktober 2014

    @Frank Wappler:
    Ja, ich haette wohl noch sagen sollen, dass d die Seitenlaenge des gleichseitigen Dreiecks ist, was aus dem Bild nicht ganz klar wird. Die Bedingung aus dem Wikipedia-Artikel,damit die 4 Punkte in einer Ebene liegen, gibt dann, dass die Determinante der Matrix [0,d^2,d^2,a^2,1,d^2,0,d^2,b^2,1,d^2,d^2,0,c^2,1,a^2,b^2,c^2,0,1,1,1,1,1,0]) gleich 0 sein muss und diese Determinante ist aber gerade die Differenz der beiden in der Gleichung vorkommenden Terme.

  5. #5 Frank Wappler
    http://Das.Lernen.ohne.Blog.ist.möglich—aber.sinnlos
    2. Oktober 2014

    Thilo schrieb (#4, 2. Oktober 2014):
    > Ja, ich haette wohl noch sagen sollen, dass d die Seitenlaenge des gleichseitigen Dreiecks ist, was aus dem Bild [3] nicht ganz klar wird.

    So viel Detailversessenheit kann man sicherlich nicht verlangen; das Bild erscheint im Rahmen des (auf einem Kalenderfeld) Möglichen doch ziemlich eindeutig.

    Mir ging es vielmehr darum, auf eine offenbar bekannte Definition (von “Ebenheit”) hinzuweisen (und bestimmt nicht zum ersten Mal), die sich anbietet, oder sicherlich geeignet zu verallgemeinern ist, um endlich mal ganz klar zu sagen, was denn mit dem Begriff “Fläche” gemeint sein mag, der in diesem ScienceBlog schon häufiger benutzt wurde.

  6. […] Quadratgitter, Dreiecksgitter und vieles mehr im neuen Kalenderblatt, wie jeden Monat hier mit einigen Kommentaren versehen. Es gibt nur 3 regelmäße Pflasterungen der Ebene, […]