Tarski

Das Banach-Tarski-Paradox behauptet, man könne eine Sphäre (den Rand einer Kugel) in Teile zerlegen, die anders zusammengesetzt 2 Sphären vom selben Radius wie die ursprüngliche ergeben. Das erinnert an die Geschichte von der Brotvermehrung oder die Drachen mit den nachwachsenden Köpfen, ist aber für den Mathematiker nur ein Beweis für die Existenz nicht-meßbarer Mengen und letztlich eine Folgerung aus dem Auswahlaxioms. Von dessen Richtigkeit gehen heute eigentlich alle Mathematiker aus, weil große Teile der Mathematik (eigentlich alle, die irgendwie mit unendlichen Mengen zu tun haben) auf diesem Axiom aufbauen.

Das Banach-Tarski-Paradox hatten wir hier im Blog schon mehrmals, zuletzt mit einem nicht sehr gelungenen Musikvideo. Vsauce hat jetzt ein besseres Video zum Thema:

Das Video beginnt zunächst mit Elementarerem, mit der 33-Quadrate-Illusion, Abzählbarkeit und Hilberts Hotel. Wer das schon kennt oder wem 22 Minuten zu lang sind, der kann auch bei Minute 8 einsteigen, ab dann geht es wirklich um Mathematik, die mit dem Banach-Tarski-Paradox zu tun hat, letztlich um die Konstruktion der Zerlegung.

Und ab Minute 19 geht es dann um philosophische und physikalische Implikationen: Kann ein solcher Prozeß (zur Konstruktion der Zerlegung) in der Realwelt wirklich stattfinden? Oder nur in der Mathematik? Trennen sich hier Mathematik und Physik? (“Does the Banach-Tarski paradox take it too far?”) Am Ende bleiben viele Fragen offen…

 

 

Bildquelle: wp

Kommentare (4)

  1. #1 BreitSide
    Beim Deich
    23. September 2015

    Schön! Wenn die “handfeste” Realität nicht so gequantelt wäre ;-( Die Sphäre wäre ja dann auch nur halb so schwer. Macht ja auch nichts, die Ausgangssphäre wiegt ja schon nichts.

    Für VW wäre das ja ein Ding! Die könnte dann aus jedem Diesel 2 machen. Die aber immer noch genauso stänken, also doppelt… 😆

  2. #2 Dr. Webbaer
    23. September 2015

    But does the Banach-Tarski paradox take it too far, is it a place where math and physics seperate? – We still don’t know. (ca. 19:23 beginnend im webverwiesenen Vid)

    “We do know.”

    Die Mathematik als Lernkunst des Primaten hat keine direkte Entsprechung in der Natur oder Welt, insofern sind insbesondere die Axiomatiken dieser Lernkunst, der Mathematik, die einen Teil der Formalwissenschaft ausmacht, grundsätzlich von dem, was passiert, weltlich, von der Welt oder Natur eben getrennt, zu bearbeiten. [1]

    Insofern könnte auch in anderen Mathematiken “1+1=3” gelten, keineswegs die Notation betreffend, wir stellen uns hier spaßeshalber intelligente Würmer im Rahmen des Höhlengleichnisses vor, die die Primaten (vs. Bären) im übetragenden Sinne auch sind, und auch Old Einstein hat mit seinem ‘Gott würfelt nicht!’ seine Befugnisse als erkennendes Subjekt, als Erkenntnissubjekt oder Weltteilnehmer (vs. Weltbetreiber) überschritten.

    Axiomatiken bleiben insofern ein “heißes Eisen”.

    MFG + weiterhin viel Erfolg in SK,
    Dr. W

    [1]
    Für den Systematiker sind bekanntlich Aussagen zu einer Sache oder zu einem diesbezüglichen Verhalt zuvörderst als Aussagen einer Person(enmenge) zu einer Sache oder zu einem diesbezüglichen Verhalt zu bearbeiten.
    Die Naturwissenschaft ist insofern Veranstaltung, in der sich um Erkenntnis bemüht wird, in “n:m”-Beziehungen, das Fachwort, zwischen Erkenntnissubjekt und Idee (“Bild”), jedenfalls nur so verständlich und verwaltbar.

    Gödel könnte hier vielleicht noch mit seiner Einsicht hervorgekramt werden, die meint, dass ‘es in hinreichend starken Systemen, wie der Arithmetik, Aussagen geben muss, die man weder formal beweisen noch widerlegen kann’ (das Zitat entstammt der d-sprachigen bekannten Online-Enzyklopädie), wobei der Gag sozusagen darin besteht, dass im Gödelschen Sinne ‘hinreichend Starkes’ Inkohärenz bedeuten muss (dass es aber auch anders gehen könnte).

  3. #3 Dr. Webbaer
    23. September 2015

    *
    mit seiner Einsicht